江苏省苏州市教育科学研究院附属实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份江苏省苏州市教育科学研究院附属实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（24分）
1. 下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B.
C. D. （是常数）
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【详解】解：A. 是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B. ，不是二次函数，故此选项错误；
C. 是二次函数，故此选项正确；
D.当时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．其中是变量，是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
2. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式顶点坐标是，对称轴是直线；已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标是，
故选：B．
3. 下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
那么方程的一个近似根是( )
A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3
【答案】C
【解析】
【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故选：C
【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根．
4. 已知函数（为常数）的图象经过点，，，则有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=1,图象开口向上, 由于A（0.8,y1）在对称轴的左侧,根据二次函数图象的对称性可知, 对称点为（1.2,y1），在y轴的右边y随x的增大而增大,可判断y2＜y1＜y3．
【详解】解:∵函数y=3x2-6x+k（k为常数）,
∴对称轴为x=1,图象开口向上,
∴A（0.8,y1）在对称轴的左侧,根据二次函数图象的对称性可知, 对称点为（1.2,y1）,在y轴的右边y随x的增大而增大,
因为1.1＜1.2＜，于是y2＜y1＜y3.
故选C.
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象的性质.
5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由二次函数y=ax2+bx图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
6. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用图象直接得出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，可以理解为和有交点，
由图可得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合是解此题的关键．
7. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．
【详解】解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于的不等式的解集是( )
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，画出图象，根据图象，写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，
图象如图所示，直线：，则
∴当时，，
∴关于的不等式的解集为，
故选：D．
二、填空题（24分）
9. 若函数是关于的二次函数，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：形如为常数且，可得且，然后进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：或且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
10. 抛物线在x轴上截得的线段长度是________．
【答案】
【解析】
【分析】要求二次函数在x轴上截得线段的长度，先将二次函数与x轴的两个交点横坐标分别求出，再计算截得线段长度即可．
【详解】解：当，
解得：
∴所以截得线段长度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是________．
【答案】
【解析】
【分析】先将原函数化为：，再根据二次函数图象平移的规律即可求解．
【详解】解：原函数化为：，
则将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．
12. 已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____．
【答案】a≥1
【解析】
【分析】结合函数y=-x2+2x+1的图象和性质，及已知中当-1≤x≤a时函数的最大值是2，可得实数a的取值范围．
【详解】解：函数 y=-（x-1）2+2的图象是开口向下，且以x=1为对称轴的抛物线，
当且仅当x=1时，函数取最大值2，
∵函数y=-x2+2x+1，当-1≤x≤a时，函数的最大值是2，
∴a≥1，
故答案为a≥1．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
13. 抛物线的顶点在轴上，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点纵坐标为，即可求解．
【详解】解：∵，，顶点在x轴上
∴顶点纵坐标为0，即
解得
故答案为：16．
14. 如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为表示，而且左右两条抛物线关于轴对称，则左面钢缆的表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】由于两个函数图象都交于轴上的同一点，则的值相等；两条抛物线的形状及开口方向相同，则值相等；由于两条抛物线关于轴对称，则两个函数的值互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：把中的一次项系数变成相反数得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于轴对称两条抛物线的特征，熟练掌握关于轴对称的两条抛物线的二次项系数、常数项不变，一次项系数互为相反数，是解此题的关键．
15. 关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_________________．
【答案】##
【解析】
【分析】先计算，再利用因式分解法解方程得，，再根据题意得到，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意，，
解方程得，，
∵该方程有一个大于的非正数根，，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，正确得到关于a的不等式组是解答的关键．
16. 已知抛物线过，两点．若，则下列四个结论中正确的是______．（请将所有正确结论的序号都填写到横线上）：①；②；③点，在抛物线上，若，，则；④关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据抛物线过，两点，可得抛物线的对称轴为直线，再由，可得，故①错误；把点代入抛物线解析式可得，从而得到，故②正确；再由，可得抛物线的对称轴位于直线和之间，分两种情况分析，进而得到，故③正确；然后根据，，可得，再利用一元二次方程根的判别式，可得关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确．
【详解】解∶∵抛物线过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线过，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
即抛物线的对称轴位于直线和之间，
若点，都在对称轴左侧，
∵开口向上，
∴在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，
∵，
∴，
若点在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∵，，
∴点距离对称轴更远，
∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即，
关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2），；
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
【小问1详解】
或
∴；
【小问2详解】
，
，，，
△，
，
∴，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法及公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和解分式方程．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

（1）求顶点D的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，再根据顶点式可得顶点坐标；
（2）先求解A，B，C的坐标，再求解三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点D坐标为；
【小问2详解】
令，则，
∴，
令，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
【点睛】本题考查的是把抛物线化为顶点式，抛物线与纵坐标的交点坐标，坐标与图形面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
19. 已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ．
【答案】（1）（﹣1，0）；（2）y＝x2+4x+3；（3）﹣3＜x＜0．
【解析】
【分析】（1）先求出点B，点A坐标，由对称性可求点C坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由图象可求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．抛物线与x轴的另一个交点为C，
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．
20. 已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
【答案】（1）证明见解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案．
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
详解】解：（1）∵，
∴方程没有实数解．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
（2）∵，
∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）．
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。
21. 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元
【解析】
【分析】（1）设出解析式，把代入求出系数即可；
（2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【小问1详解】
由题意，可设，把代入得：
，
所以y与x之间的关系式为：；
【小问2详解】
设利润W，则
＝
＝
＝
＝
因为，所以当时，W最大为400元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和二次函数的应用，正确运用待定系数法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 若两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数和，其中的图像经过点，，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）函数的表达式为或，28
【解析】
【分析】（1）根据新定义条件写出即可．
（2）把点代入的解析式，确定，得到，，计算，利用新定义，确定的解析式，根据开口方向，界点与对称轴的距离，判定最值界点，代入计算即可．
【小问1详解】
∵两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
∴与是“同簇二次函数”．
【小问2详解】
把点代入，得
，
解得，
∴，，
∴的开口向上，抛物线的顶点坐标为
∵，
∴，
∵与为“同簇二次函数”，
∴的开口向上，抛物线的顶点坐标为
∴，，
解得，
∴函数的表达式为或，
抛物线的对称轴为直线，
∵，且，
根据抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大性质，得到
∴当时，取得最大值，且为．
【点睛】本题考查了抛物线的新定义计算，抛物线的对称性，增减性，熟练掌握定义，灵活应用性质是解题的关键．
23. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），
（1）求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．
（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
【答案】（1）抛物线的表达式，支柱EF的长度是5.5米
（2）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，利用见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把代入抛物线的解析式求解 可求出支柱MN的长度．
（2）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
【小问1详解】
解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
所以抛物线的表达式．
当 时，
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．
【小问2详解】
如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键．
24. 已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点的坐标为，
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点，使∠ACM=45°，求点坐标．
【答案】（1）；
（2）
（3）M（4，5）
【解析】
【分析】（1）根据OC=3OA，A（-1，0），求出C点坐标（0，-3），把点A，C的坐标代入，求出a与c的值，即可求出函数解析式；
（2）先求出直线BC的函数关系式，如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，m-3）则D（m，），然后表示出DM的长，然后根据，转化为二次函数求最值；
（3）过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标；．
【小问1详解】
∵OC=3OA，A（-1，0），
∴C（0，-3）．
把点A，C的坐标代入得
解得：
∴抛物线的解析式；
【小问2详解】
令y=0，则，解得：，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=px+q，
由B（3，0），C（0，-3）在直线BC上得：
，解得：
得直线BC的解析式为y=x-3，
如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．
设M（m，m-3），则D（m，），
，
∴-1＜0，
∴当x=时，DM有最大值，
∴，
此时四边形ABDC面积有最大值为；
【小问3详解】
如图1，过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACM=45°，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH=CO=3，KH=OA=1，
∴K（2，1），
设直线CM的解析式为y=kx-3
∴2k-3=1，
∴k=2，
∴直线CM的解析式为y=2x-3，
联立，
解得x=0（舍去），或x=4，
∴M（4，5）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
25. 如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．
（1）若，，则的值是______．
（2）若时，求的最大值．
（3）在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值．
（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再与的值代入得到关于的方程，求解即可；
（2）由（1）知：，当时，可得到，再利用二次函数的最值求解即可；
（3）根据题意可得的最大值是，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：∵矩形中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，设的长为，的长为，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）知：，
当时，，
∵，
∴当时，有最大值，的最大值是．
∴的最大值是；
【小问3详解】
∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，
∴的最大值是，
由（1）知：，
当时，即，有最大值，
当时，的最大值是，
∴，
∴．
∴此时的值为．1
1.1
1.2
1.3
1.4
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16