2023-2024学年江苏省扬州市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是
( )
A. ±3是27的立方根B. 负数没有平方根，但有立方根
C. 25的平方根为5D. 27的立方根为3
3.下列各组数中互为相反数的一组是
( )
A. −3与 (−3)2B. −3与3−27C. −3与−13D. |−3|与3
4.如图，已知AB=AD，添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABC≅ΔADC的是
( )
A. CB=CDB. ∠BCA=∠DCA
C. ∠BAC=∠DACD. ∠B=∠D=90∘
5.若一个三角形的三边长分别为3，4，4.5，则这个三角形的形状是
( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
6.已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是
( )
A. 5B. 8C. 11D. 5或11
7.如图，在ΔABC中，AB=AC，AC的垂直平分线l交BC于点D.若∠BAD=78∘，则∠B的度数是
( )
A. 34∘B. 30∘C. 28∘D. 26∘
8.如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处，已知∠MPN=90∘，且PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为
( )
A. 26B. 28.8C. 26.8D. 28
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.−8的立方根是 ．
10.a+3的算术平方根是3．b−2的立方根是2，则a+3b的算术平方根为 ．
11.已知ΔABC≅ΔDEF，∠A=40∘，∠B=70∘，则∠F= ∘．
12.如图是马口生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”.已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏草坪，只为少走 米的路．
13.如图，在ΔABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE=5cm，ΔABD的周长为24cm，则ΔABC的周长为 cm．
14.如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 ．
15.如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则CD的长为 ．
16.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角ΔABC的高，则BD=12(BC+AB2−AC2BC).当AB=7，BC=6，AC=5时，CD= ．
17.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为 ．
18.如图，在长方形ABCD中，AB=8，GC=98，AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−49=0；
(2)2(x+1)2−49=1．
20.(本小题8分)
已知一个正数的两个平方根分别是2a+1与2a−5，实数b的立方根是2，求a+b的立方根．
21.(本小题8分)
如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知ΔABC的三个顶点均在格点上．
(1)画出ΔABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短；
(3)求△A1B1C1的面积．
22.(本小题8分)
如图，已知AB=DC，AB//CD，E、F是AC上两点，且AF=CE.求证：ΔABE≅ΔCDF．
23.(本小题8分)
如图，若AB//CD，AB=CD且CE=BF．
(1)求证：AE=DF；
(2)若∠AEB=62∘，∠C=47∘，求∠A的度数．
24.(本小题8分)
如图，在ΔABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
(1)若∠A=42∘，求∠DCB的度数．
(2)若AE=5，ΔDCB的周长为16，求ΔABC的周长．
25.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．
(1)求AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
26.(本小题8分)
如图所示，ΔACB和ΔECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘，D为AB边上一点．
(1)求证：ΔACE≅ΔBCD；
(2)若AD=5，BD=12，求DE的长．
27.(本小题8分)
如图，在等边ΔABC中，AB=18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CA边向点A以每秒4个单位的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：AP=__，AQ=__；
(2)在点P，Q的运动过程中，是否存在t，使得ΔAPC与ΔABQ全等？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；
(3)若P、Q两点分别从A、C两点同时出发，并且都按逆时针方向沿ΔABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．
28.(本小题8分)
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．
(1)如图1，ΔABC是等腰锐角三角形，AB=AC(AB>BC)，若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是ΔABC的一条内好线，则∠BDC=__度；
(2)如图2，ΔABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是ABC的一条内好线；
(3)如图3，已知ΔABC是内好三角形，且∠A=24∘，∠B为钝角，则所有可能的∠B的度数为__(直接写答案)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．
【解答】解：A、3是27的立方根，故本选项错误；
B、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确；
C、25的平方根是±5，故本选项错误；
D、27的立方根为3，故本选项错误；
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】对每个选项进行计算，得出的结果直接用于选项正确性的判断．
【解答】解：① (−3)2=3，和−3互为相反数，故A正确；
②3−27=−3，不是−3的相反数，故B错误；
③−3和−13互为倒数，不互为相反数，故C错误；
④|−3|和3相等，故D错误．
综上可知只有A正确．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】【分析】要判定ΔABC≅ΔADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90∘后可分别根据SSS、SAS、HL能判定ΔABC≅ΔADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定ΔABC≅ΔADC，
故A选项不符合题意；
B、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定ΔABC≅ΔADC，
故B选项符合题意；
C、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定ΔABC≅ΔADC，
故C选项不符合题意；
D、添加∠B=∠D=90∘，根据HL，能判定ΔABC≅ΔADC，
故D选项不符合题意；
故选：B．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据三边关系解答即可．
【解答】解：∵42+32≠4.52，不是直角三角形，
∵42+32=52，是直角三角形，
∵4.5<5，
所以这个三角形的形状是锐角三角形；
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为5时，底边长为21−2×5=11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；
当底边长为5时，腰长为(21−5)÷2=8，三角形的三边长为8，8，5，构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为5．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据三角形外角的性质得到∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AC的垂直平分线l交BC于点D，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，
∴∠ADB=2∠B，
∵∠BAD=78∘，
∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78∘=180∘，
∴∠B=34∘，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】由折叠的性质可知BC=PM+MN+PN，且AB与中边MN上的高相等，在中可求得MN及MN边上的高，则可求得答案．
【解答】解：
∵∠MPN=90∘，且PM=3，PN=4，
∴MN=5，边MN上的高=3×45=125，
又由折叠的性质可知BC=PM+MN+PN=3+5+4=12，AB=125，
∴S矩形ABCD=12×125=28.8，
故选：B．
9.【答案】−2
【解析】【分析】根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：−8的立方根是−2．
故答案为：−2．
10.【答案】6
【解析】【分析】先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵a+3的算术平方根是3，
∴a+3=9，
∴a=6，
∵b−2的立方根是2，
∴b−2=8，
∴b=10，
则 a+3b= 6+3×10= 36=6．
故答案为：6．
11.【答案】70
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A=40∘，∠B=70∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=70∘，
∵ΔABC≅ΔDEF，
∴∠F=∠C=70∘，
故答案为：70．
12.【答案】20
【解析】【分析】先判断ΔABC为直角三角形，然后根据勾股定理求出AC即可
【解答】解：在RtΔABC中，∵AB=40米，BC=30米，
∴AC= AB2+BC2=50，30+40−50=20，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
故答案为：20．
13.【答案】34
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质结合ΔABD的周长可求AB+BC=24，进而可求解ΔABC的周长．
【解答】解：∵DE是边AC的垂直平分线，AE=5cm，
∴AD=CD，AC=2AE=10，
∵ΔABD的周长为24cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=24(cm)，
∴CΔABC=AB+BC+AC=24+10=34(cm)．
故答案为34．
14.【答案】90∘
【解析】【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1=∠DEC，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：ΔACB≅ΔECD，
则∠1=∠DEC，
∵∠2+∠DEC=90∘，
∴∠1+∠2=90∘．
故答案为：90∘．
15.【答案】1
【解析】【分析】根据角平分线的性质得到CD=点D到AB的距离=1．
【解答】解：由作图知AD平分∠BAC，
∵∠C=90∘，点D到AB的距离为1，
∴CD=1．
故答案为：1．
16.【答案】1
【解析】【分析】根据BD=12(BC+AB2−AC2BC)和AB=7，BC=6，AC=5，可以计算出BD的长，再根据BC的长，即可计算出CD的长．
【解答】解：∵BD=12(BC+AB2−AC2BC)，AB=7，BC=6，AC=5，
∴BD=12(6+72−526)=5，
∴CD=BC−BD=6−5=1，
故答案为：1．
17.【答案】9
【解析】【分析】根据勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：∵正方形A、B的面积依次为2、4，
∴正方形E的面积为2+4=6，
又∵正方形C的面积为3，
∴正方形D的面积3+6=9，
故答案为9．
18.【答案】738
【解析】【分析】过E作EH⊥AG于H，连接EG，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过E作EH⊥AG于H，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90∘，
∵AE平分∠BAG交BC于点E，
∴BE=EH，
在与RtΔAHE中，
BE=EHAE=AE,
，
∴AH=AB=8，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴EH=CE，
在与中，
EH=ECEG=EG,
，
∴GH=CG=98，
∴AG=AH+GH=8+98=738，
故答案为：738．
19.【答案】解：(1)x2−49=0，
x2=49，
∴x=±7，
∴x1=7，x2=−7；
(2)2(x+1)2−49=1，
(x+1)2=25，
∴x+1=±5，
∴x1=4，x2=−6．

【解析】【分析】(1)利用直接开平方法解方程；
(2)利用直接开平方法解方程．
20.【答案】解：∵一个正数的两个平方根分别是2a+1与2a−5，
∴2a+1+2a−5=0，
解得：a=1，
∵实数b的立方根是2，
∴b=8，
则a+b=1+8=9，
则a+b的立方根为39．

【解析】【分析】根据平方根的性质及立方根的定义求得a，b的值，然后求得a+b的值，进而求得其立方根．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，点P即为所求；
(3)△A1B1C1的面积为2×4−12×1×2−12×1×3−12×1×4=72．

【解析】【分析】(1)分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)连接A1B，与直线l的交点即为所求点；
(3)利用割补法求解即可．
22.【答案】证明：∵AB//CD，
∴∠A=∠DCF，
∵AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF，
即AE=CF，
在ΔABE和ΔCDF中，
AB=CD∠A=∠DCFAE=CF,
∴ΔABE≅ΔCDF(SAS)．

【解析】【分析】根据SAS证明即可．
23.【答案】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
∴CF=BE，
在ΔCDF和ΔBAE中，
CD=AB∠C=∠BCF=BE
∴ΔCDF≅ΔBAE(SAS)，
∴AE=DF；
(2)解：∵ΔCDF≅ΔBAE，
∴∠C=∠B=47∘，
∵∠AEB=62∘，
∴∠A=180∘−∠AEB−∠B=180∘−62∘−47∘=71∘．

【解析】【分析】(1)证明ΔCDF≅ΔBAE(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论；
(2)由全等三角形的性质可得出∠C=∠B=47∘，由三角形内角和定理可得出答案．
24.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠A=42∘，
∴∠ACB=∠ABC=69∘，
∵DE垂直平分AC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=42∘，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=69∘−42∘=27∘，
(2)∵DE垂直平分AC，
∴AC=2AE=10，
∴AB=AC=10，
∵ΔDCB的周长=CD+BD+BC
=AD+BD+BC
=AB+BC=16，
BC=16−AB=16−10=6，
∴ΔABC的周长=AB+AC+BC=26．

【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可；
(2)根据三角形的周长公式解答即可．
25.【答案】解：(1)∵AB=13，BC=5，AC⊥BC，
∴AC= AB2−BC2= 132−52=12，
(2)∵AC=12，CD=15，AD=9，
∴CD2=AC2+AD2，
∴ΔADC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=12BC⋅AC+12AD⋅AC=12×5×12+12×9×12=84．

【解析】【分析】(1)根据勾股定理得出AC即可；
(2)利用勾股定理的逆定理得出ΔADC是直角三角形，进而解答即可．
26.【答案】(1)证明：∵ΔACB和ΔECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．
∵∠ACE=∠DCE−∠DCA，∠BCD=∠ACB−∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90∘，
∴∠ACE=∠BCD．
在ΔACE和ΔBCD中AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC,
∴ΔACE≅ΔBCD(SAS)．
(2)解：又∠BAC=45∘
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90∘，
即ΔEAD是直角三角形
∴DE= AE2+AD2= 122+52=13．

【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
(2)根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45∘，所以ΔAED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．
27.【答案】解：(1)在等边ΔABC中，AB=18，
∴AB=BC=AC=18，
∵点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点C出发沿CA边向点A以每秒4个单位的速度移动，P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒，
∴AP=2t，CQ=4t，
∴AQ=AC−CQ=18−4t，
故答案为：2t；18−4t；
(3)存在．
在ΔAPC与ΔABQ中，
∵AC=AB，∠A=∠A=60∘，
若AP=AQ，则ΔAPC≅ΔAQB(SAS)，
此时2t=18−4t，
解得：t=3，
∴当运动时间t为3秒时，ΔAPC≅ΔAQB；
(4)∵点Q的速度大于点P的速度，
∴当点Q比点P多运动AC=18个单位时，两点第一次相遇，
即4t=2t+18，
∴t=9，
∵4t=36=2×9+18，
∴点P、Q在点B处相遇，
即经过9秒点P与点Q第一次在点B处相遇．

【解析】【分析】(1)根据路程=速度×时间，解决问题即可；
(2)根据全等三角形的判定，利用AP=AQ，构建方程求解即可；
(3)根据点Q比点P多运动AC=18个单位，构建方程求解即可．
28.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∵BD是ΔABC的一条内好线，
∴ΔABD和ΔBDC是等腰三角形，
∴BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
∴∠ABC=∠ACB=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴∠A=36∘，
∴∠BDC=2∠A=72∘，
故答案为：72；
(2)∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即ΔEAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即ΔEAB是等腰三角形，
∴AE是ABC的一条内好线；
(3)设BE是ΔABC的内好线，
①如图3，
当AE=BE时，则∠A=∠EBA=24∘，
∴∠CEB=∠A+∠EBA=48∘，
若BC=BE时，则∠C=∠CEB=48∘，
∴∠ABC=180∘−∠A−∠C=108∘，
若BC=CE时，则∠CBE=∠CEB=48∘，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=72∘<90∘(不合题意舍去)，
若CE=BE时，则∠C=∠CBE=180∘−48∘2=66∘，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=90∘(不合题意舍去)，
②如图4，当AE=AB时，则∠AEB=∠AEB=180∘−242=78∘，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=102∘>90∘，
∵CE=BE，
∴∠C=∠CBE=39∘，
∴∠CBA=∠ABE+∠CBE=117∘，
③如图5，当AB=BE时，则∠A=∠AEB=24∘，
∴∠ABE=132∘，∠BEC=156∘>0，
∵BE=CE，
∴∠C=∠CBE=12∘，
∴∠CBA=∠ABE+∠CBE=144∘，
设CE是ΔABC的内好线，
当CE=AE时，则∠A=∠ACE=24∘，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE=∠A+∠ACE=48∘，
∴∠ABC=84∘<0(不合题意舍去)，
设AE是ΔABC的内好线，
∵CE=AE，
∴∠C=∠CAE，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠CAE，
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠AEB=2∠CAE，
∵∠BAC=24∘=3∠CAE，
∴∠CAE=8∘，∠BAE=16∘，
∴∠ABC=148∘，
综上所述：∠ABC=108∘或117∘或144∘或148∘．
故答案为：108∘或117∘或144∘或148∘．

【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，由角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD=12∠ABC，由“内好线”定义可得BD=BC=AD，可得∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，由三角形的内角和定理可求解；
(2)只要证明ΔABE，ΔAEC是等腰三角形即可；
(3)当BE是内好线时，分三种情形讨论，由等腰三角形的性质可求解；当CE是内好线时，当AE为内好线时，利用等腰三角形性质即可解决问题．