2022-2023学年江苏省扬州市仪征市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市仪征市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的二次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一组数据分别为：、、、、，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在(    )

A. 上 B. 内 C. 外 D. 内或外

4. 如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点、、在上，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是(    )
    

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 关于的方程的解是，均为常数，，则方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. 无法求解

8. 如图，点是正方形和正五边形的中心，连接、交于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 某地某日最高气温为，最低气温为，则该日气温的极差是______
10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，则圆锥底圆半径为______．
11. 一条弦所对的圆心角是，那么它所对的圆周角为______．
12. 已知一组数据，，，，，则这组数据的方差是______．
13. 为了农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地，大力开展种子实验，该实验基地两年前有种种子，经过两年不断的努力，现在有种种子，若培育的种子平均每年的增长率为，则根据题意可列方程是______．
14. 如图，已知点，，依次在上，，则的度数为______

15. 如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是______

16. 已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是______．

17. 如图，矩形，过、两点的恰好与相切，若，，则的半径为______．

18. 新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”如与是“同类方程”现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”那么代数式能取得最大值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    某食品商店将甲、乙、丙种糖果的质量按：：配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为元、元、元若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
21. 本小题分
    某校为了提升九年级学生的身体素质，释放学业压力，锻炼意志，激发进取精神，开展“奔跑吧，你最棒”活动，每天利用大课间让学生在操场上伴随着音乐进行米跑步．为了解学生跑步后身体状况，随机抽取部分学生测量跑步后的脉搏次数，其中脉搏次数满足的结果如下单位：次：
    
    根据以上信息回答下列问题：
    填写表格：

脉搏次数满足的这组数据，众数是______；
根据运动后正常脉搏公式可知：九年级学生米跑步后分钟脉搏次数都属于身体素质较好的情况，如果该校九年级有名学生，那么身体素质较好的学生大约有多少人？

22. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
    已知是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，求的周长．
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
    外接圆的圆心坐标为______，外接圆的半径是______；
    作出弧，并求弧的长度．

24. 本小题分
    如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长．

25. 本小题分
    直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元件的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，那么可卖出件．通过市场调查发现，售价每增加元，销售量减少件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利元．问：该商品每件售价多少元？
26. 本小题分
    数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
    成果一：制作了三分角仪．图是示意图，点在半径的延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点在上，点落在上，当与半相切时，、就将三等分了；
    成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图，具体步骤为：将六等分，等分点分别是点、、、、、；分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点；以点为圆心，长为半径作弧，交于点、，则点、、、将四等分．
    
    请你说明三分角仪的正确性；
    证明点、、、是四等分点．
27. 本小题分
    阅读下面材料，回答下列问题：
    构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，得以迅速解决．
    材料：已知，求代数式的值；
    分析：这道题如果将代数式化简，再直接将代入求值比较困难，观察的值，发现，对比一元二次方程求根公式，不难发现是方程的根，所以，，所以原式．
    以，为根的方程可以是______；
    已知，请用材料中的方法求代数式的值；
    求代数式的值．
28. 本小题分
    【问题提出】
    苏科版九年级上册教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：

小明发现问题中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题的证明：
是的直径，
______，
，
四边形内角和等于，
______．
请回答问题，并说明理由；
【深入探究】
如图，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．

直接写出四边形边满足的数量关系______；
探究、满足的位置关系；
如图，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程的二次项系数是，
故选：．
根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列为：、、、、，
中位数是．
故选：．
根据中位数的定义进行求解即可．
此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

3.【答案】 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，，
点在圆内．
故选：．
直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据解一元二次方程直接开平方法得到，然后解不等式即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
故选：．
利用圆周角定理可得，然后利用周角是进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
或，
，，
所以，这位同学是乙，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法：当二次项系数化为时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把方程变形为，
则方程看作关于的一元二次方程，
的解是，，
或，
解得，，
即方程的解是，．
故选：．
把方程变形为，所以可以把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用换元法解方程是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接、、、、，是正方形和正五边形的外接圆，
正方形内接于，
，
又正五边形内接于，
，


，
故选：．
根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：极差．
故答案为：．
根据极差的概念求解．
本题考查极差，正确理解极差的概念是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设圆锥底圆半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥底圆半径为．
故答案为：．
设圆锥底圆半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据扇形的面积公式得到得，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

11.【答案】或 

【解析】解：如图，；
则；
四边形是的内接四边形，
；
因此弦所对的圆周角度数为或．
故答案为或．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解．
本题考查了圆周角定理，正确理解弦所对的圆周角分两种情况进行讨论是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数是，
这组数据的方差为：


．
故答案为：．
根据题意得出这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
本题考查了方差：一般地设个数据，，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
利用该实验基地现有种子种数该实验基地两年前种子种数培育的种子平均每年的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：设与相交于点，

，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设与相交于点，利用三角形内角和定理以及对顶角相等可得，从而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

，，
．
是圆的切线，
．
同理．
．
．
．
故答案为：．
连接，由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得，由圆周角定理可求得．
本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键．
 

16.【答案】没有实数根 

【解析】解：根据函数的图象可得；，，
则一元二次方程中，，
则一元二次方程中根的存在情况是没有实数根，
故答案为：没有实数根．
先根据函数的图象可得；，再根据一元二次方程中，，即可得出答案．
此题考查了一元二次方程根的判别式，用到的知识点是一次函数图象的性质，关键是根据函数图象判断出的符号．
 

17.【答案】 

【解析】解：作线段的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，
则，
，
恰好与相切，
在中，，即，
解得：，
故答案为：．
先确定圆的圆心，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是切线的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：与是“同类方程”，
，
，
，
解得：，


，
当时，取得最大值为．
故答案为：．
根据“同类方程”的定义，可得出，的值，从而解得代数式的最大值．
此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：；
，
或，
所以，；
．
，
或，
所以，． 

【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
把方程看作关于的一元二次方程，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

20.【答案】解：这样定价不合理，理由如下：
加权平均数：
元．
算术平均数元，
，
将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数不合理，
答：该什锦糖果合理的单价为元． 

【解析】根据加权平均数的概念进行解答即可．
本题考查了加权平均数的计算公式，熟知加权平均数的概念，正确列出算式是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：总人数为人，
，
如下表所示：

脉搏次数满足的这组数据中，的最多有个，所以众数为；
故答案为：；
人，
答：体素质较好的学生大约有人．
先根据第一组的频数和频率求出总人数，再用除以总人数即可；
根据众数的定义即可求出答案；
用样本估计总体即可．
本题考查了频数率分布表，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：，，，


，
，
，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
解：把代入方程
得，
解得，
方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为、、，
因为，
所以的周长为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
先把代入方程得，则方程为，利用因式分解法解方程，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，即为的外接圆，，外接圆的半径；
故答案为：，；
如图，弧即为所求，
，，
，
，
弧的长度
线段，的垂直平分线的交点即为所求；
根据弧长公式计算即可．
本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，弧长的计算等知识，正确地作出图形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作于，
则四边形为矩形，
，，
由勾股定理得：，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作于，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

25.【答案】解：设该商品每件售价为元，则每件的销售利润为元，可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：该商品每件售价为元或元． 

【解析】设该商品每件售价为元，则每件的销售利润为元，可售出件，利用总利润每件的销售利润销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，，
即垂直平分，
，
，
平分，
，
，
为的切线，
与半相切，
平分，
，
即、将三等分；
如图，连接、、、、、，设的半径为，
点、、、、、为六等份点，
为半圆，，
为直径，
，
，，
由作法得，，
，
在中，，
，
为等腰直角三角形，
，
点为的中点，
同理可得点为的中点，
点、、、是四等分点． 

【解析】先利用垂直平分得到，则平分，再根据切线长定理得到平分，即，于是判断、将三等分；
如图，连接、、、、、，设的半径为，先证明为半圆，，则为直径，所以，再计算出，，利用由作法得，，则，接着利用勾股定理计算出，所以，则可判断为等腰直角三角形，所以，则点为的中点，同理可得点为的中点．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线长定理和正多边形和圆．
 

27.【答案】 

【解析】解：以，为根的方程可以是，
故答案为：，
，
，
是方程的根，
，



；
设，
，
，
是方程的根，
，



．
写出一个满足条件的方程即可；
是方程的根，可得，把所求式子变形再整体代入即可；
设，知是方程的根，可得，再代入可得答案．
本题考查二次根式的混合运算，涉及分式，一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意，仿照阅读材料的方法解决问题．
 

28.【答案】     

【解析】解：【问题提出】是的直径，
，
，
四边形内角和等于，
；
故答案为：，；
成立，理由如下：
连接、，
，，
，
，
；
同理，；
【深入探究】，理由如下：
连接、、、，
圆是四边形的内切圆，
，，，，
，
即，
故答案为：；
，理由如下：
连接、、、、，
四边形是圆的内接四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
连接，
，
，
是圆的内接圆，
是圆的直径，
连接、，
是四边形的内切圆圆心，
，，
，，
，，
，
，
，
，，，，
四边形是正方形，
，
点在上，
，，
，
，，
，
，
∽，
，即，
解得，
，
阴影部分的面积
根据直径所对的圆周角是直角，四边形的内角和定理进行求解即可；
连接、，根据同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理进行求解即可；
连接、、、，根据切线长定理进行求解即可；
连接、、、、，根据切线的性质，四点共圆的性质可得，再由同弧所对的圆周角相等，可得，根据三角形内角和定理，可得，则，即可证明；
连接，可得是圆的直径，连接、，先推导出，再证明四边形是正方形，可得，即可知点在上，根据已知求出，通过证明∽，求出，可求，则阴影部分的面积
本题考查圆的综合应用，熟练掌握四边形的内切圆性质，外接圆性质，三角形相似的判定及性质，切线的性质，四点共圆的性质是解题的关键．