2023-2024学年江苏省苏州市工业园区东湖实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市工业园区东湖实验中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  袋子里有个红球，个白球，个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  反比例函数与正比例函数一个交点为，则另一个交点是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的直径，是上一点若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知二次函数，下列说法正确的是(    )

A. 对称轴为 B. 顶点坐标为
C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是

7.  梦溪笔谈是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，是以点为圆心、为半径的圆弧，是的中点“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：当，时，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点，点若将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点恰好落在轴正半轴上时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______ ．

11.  如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距、与旗杆相距，则旗杆的高为______

12.  如果是方程的一个实数根，则的值为______ ．

13.  已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为______ ．

14.  如图，是的切线，为切点，连接，若，，，则的长度是______ 参考数据：，，

15.  如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点点，分别是，的中点，则的长为______ ．

16.  如图，矩形中，，点在边上，且，于点，连接，，的延长线交于点，交于点，则            ．

 

三、解答题（本大题共11小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解下列方程：
；
．

19.  本小题分
化简求值：，其中．

20.  本小题分
今年月日是第个“世界读书日”某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对本校学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图不完整，请你根据图中提供的信息解答下列问题．

本次抽样调查的样本容量是多少？
请将条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在小时对应的圆心角度数；
根据本次抽样调查，试估计该校名学生中日均阅读时间不少于小时的有多少人．

21.  本小题分
一只不透明的袋子中装有个小球，分别标有编号，，，，这些小球除编号外都相同．
搅匀后从中任意摸出个球，这个球的编号是的概率为______ ；
搅匀后从中任意摸出个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出个球求第次摸到的小球编号比第次摸到的小球编号大的概率是多少？用画树状图或列表的方法说明

22.  本小题分
如图，四边形中，对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且，，求证：四边形是平行四边形．

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
连接，，求的面积；
直接写出关于的不等式：的解集．

24.  本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：这个方程总有两个实数根；
若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．

25.  本小题分
如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么何时与相似？

26.  本小题分
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，设衬衫的单价降了元．
完成如表用含的整式填空；

求衬衫的单价降了多少元？

27.  本小题分
问题提出如图，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小；
再探究一般情形，如图，求与的数量关系．
问题拓展将图特殊化，如图，当时，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

3.【答案】 

【解析】解：袋子里有个红球，个白球，个黑球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能大于观察选项，只有选项D符合题意．
故选：．
摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．
本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．

4.【答案】 

【解析】解：反比例函数与正比例函数一个交点为，
另一个交点与点关于原点对称，
另一个交点是．
故选：．
根据反比例函数的关于原点对称的性质知，反比例函数与正比例函数的另一个交点与点关于原点对称．
本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．

5.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

6.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口向下，时，有最大值为，
故选：．
利用二次函数的性质进行判断即可．
本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图：

是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，，
，
，，共线，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
故选：．
连接，根据是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，，知，，，共线，由，，知是等边三角形，的，即得，故．
本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求的长度．

8.【答案】 

【解析】解：过点作轴，过点作于，过点作轴，
，
点，点，
，点到轴的距离为，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
≌，
，，
，
故选：．
过点作轴，过点作于，过点作轴，先求出，再证明∽得出，，，再证明≌，推出，，从而求出点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
根据二次根式的性质和二次根式的乘法运算计算即可．
本题考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简求值，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简．

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义，形如，且、、是常数，解之即可．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：竹竿和旗杆均垂直于地面，
，
∽，
，即，
；
故答案为：．
由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
本题考查的是相似形三角形的应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，则，
所以．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得到，则，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的计算方法．

13.【答案】 

【解析】解：点在二次函数的图象上，
，
，
解得或舍去，
故答案为：．
将点代入函数解析式求解即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：连接，
是的切线，为切点，
，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
连接，由切线的性质证明，则，，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点．
，，，
，
平分，，，
，
设，
则有，
，
，
，，
．
故答案为：
过点作于点证明，利用面积法求出，再求出，利用三角形中位线定理求解．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题属于相似形的综合题，有一定难度，主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形是解题的关键．
根据证≌即可得，然后证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即，作于，得出是的中点，即，令，分别求出和的长度，可得出，作于，得是的中点，求出，得，进而可以解决问题．
【解答】
解：，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
如图，作于，连接，

点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
令，则，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
点是的中点，作于，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，
故答案为：．

17.【答案】解：


． 

【解析】先根据平方差公式进行变形，再根据二次根式的性质进行计算，再算减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

18.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
，，，
所以，． 

【解析】利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法、因式分解法；熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先化简，再带入求解．
本题考查了分式的化简及二次根式的运算，因式分解是解题的关键．

20.【答案】解：，
即样本容量是；
人，
补全的条形统计图如右图所示；

人均阅读时间在小时对应的圆心角度数是：；
人，
答：估计该校名学生中日均阅读时间不少于小时的有人． 

【解析】根据统计图中的数据可以求得样本容量；
根据中的结果可以求得阅读时间在小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据可以求得日人均阅读时间在小时对应的圆心角度数；
根据统计图中的数据可以估计该校名学生中日均阅读时间不少于小时的有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】 

【解析】解：一共有个编号的小球，编号为的有一个，
任意摸出个球，这个球的编号是；
画树状图如下：

一共有在个等可能的结果，其中第次摸到的小球编号比第次摸到的小球编号大出现了次，
第次摸到的小球编号比第次摸到的小球编号大．
直接利用概率公式求出即可；
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第次摸到的小球编号比第次摸到的小球编号大的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．

22.【答案】证明：与是对顶角，
，
在和中，
，
≌；
，
，
，
，
四边形为平行四边形． 

【解析】由条件可利用，可得，则可求得，可求得，则可证得四边形为平行四边形．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法即、、、和和全等三角形的性质即对应边相等、对应角相等是解题的关键．

23.【答案】解：反比例函数的图象过点和点，
，
，
，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为，反比例函数为；
令，则，
解得，
，
；
观察图象，关于的不等式：的解集为或． 

【解析】利用待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的表达式；
由一次函数解析式求得点的坐标，然后根据求得即可；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

24.【答案】证明：

，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；

解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为． 

【解析】先计算，化简得到，易得，然后根据的意义即可得到结论；
利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．

25.【答案】解：设经过秒时，以与相似，则，，，
，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得；
即经过秒或秒时，与相似． 

【解析】设经过秒时，以与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，∽，即；当时，∽，即，然后方程解方程即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．

26.【答案】   

【解析】解：衬衫的单价降了元，
每天的销售量为：，
每件衬衫的利润为：，
故答案为：，；
由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：衬衫的单价降了元．
由衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件，即可得出答案；
由总利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

27.【答案】解：问题探究如图中，在上截取，使得．

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
；

结论：；
理由：在上截取，使，连接．

，
，
．
，
≌．
．
，
．
，
，
；

问题拓展：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为．

，
，．
在中，，
，
，，
，
由知，，
，
∽．
，
，
，
由知，，
．
． 

【解析】问题探究如图中，在上截取，使得证明≌，推出，可得结论；
结论：；在上截取，使，连接证明方法类似；
问题拓展解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为用表示出，，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．