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初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案
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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案，共30页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
特别说明：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
特别说明：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
特别说明：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
1．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．
(1)求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标．
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①求n的最小值；
②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，与x轴的交点坐标为和(2)①-4；②1﹣＜m＜0或2＜m＜1+
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令，解即可求得交点坐标．
（2）①把函数解析式变形为顶点式即可求得答案；②根据平面直角坐标系内点到x轴的距离的特点即可求解．
(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
，解得，
故抛物线的表达式为，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得或，
故抛物线与x轴的交点坐标为和．
(2)①，
故n的最小值为﹣4；
②令，解得或2或，
故m的取值范围为：或．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质、利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质和待定系数法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知x与y之间的函数关系式为（其中a、b是常数），且有下列对应关系：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点，点均在抛物线上，求m的值．
【答案】(1)(2)，．
【分析】
（1）利用待定系数法，将对应的x，y代入，解二元一次方程组即可；
（2）先将代入y与x之间的函数关系式求出的值，再将代入y与x之间的函数关系式求出m的值．
(1)解：由题意得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
(2)解：∵点在抛物线上，
∴．
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得，
解得，．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度较小，牢记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．
(1)求m的值以及二次函数的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．
【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)△POA的面积为3．
【分析】
（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；
（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．
(1)解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，
∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面积为3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．
类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2．已知二次函数的图象如图，它与x轴的两个交点分别为，对于下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】根据开口方向确定a的符号后再根据抛物线与x轴的交点坐标得到对称轴，确定b的符号，即可判断①，利用抛物线与y轴交点位置确定c的符号，即可判断②，令即可判断③，利用根与系数的关系即可判断④．
解：∵二次函数的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为，
∴，且该图象的对称轴为，
∴，
∴，
故①错误；
由图可知，抛物线交y轴负半轴，
∴，
又∵，，
∴，
故②错误；
由图可知，当时，，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
故④正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线的解析式以及它的图象与性质，解题关键是理解并掌握对称轴公式、一元二次方程根与系数的关系以及会根据点的坐标判断代数式的取值情况．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法正确的个数是（ ）．
①；②；③；④（其中）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据抛物线的性质，对称性，抛物线与x轴的交点，与y轴的交点，最值去分析判断即可．
解：∵ 抛物线经过点，开口向下，与y轴交点位于y轴的正半轴，且对称轴为直线，
∴ a＜0，c＞0，a+b+c=0，，，
∴ac＜0，，，，
故①②③都是错误的；
∵a＜0，
∴抛物线有最大值，且当x=-1时，取得最值，且最大值为a-b+c，
∴当m≠-1时，
，
故，
故④正确，
故选B．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，对称性，最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的性质和最值、对称性是解题的关键．
【变式2】如图，已知二次函数的图象交轴于，对称轴为．则下列结论：①；②；③；④若，是图象上的两点，则；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由图象可知当x=0时，c<0，再根据开口向上及对称轴，即可得a、b的取值范围，据此即可判定①；根据题意可求得函数图象与x轴的另一个交点坐标，再根据二次函数的性质，即可判定②；根据对称轴所在的直线为，可得b=2a，由当x=1时，a+b+c=0，即可判定③；首先可求得点关于对称轴对称的点的坐标为，再根据二次函数的性质，即可判定④；首先可求得点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，再根据函数图象即可判定⑤，据此即可解答．
解：由图象可知，当x=0时，y<0，
∴c<0，
该二次函数的图象开口向上，
，
，
，
∴①不正确；
∵对称轴为直线x=−1，二次函数的图象交轴于，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为，
该二次函数的图象开口向上，
当x=2时，
∴②正确；
，
，
二次函数的图象与轴的另一个交点为，
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，
∴③正确；
∵函数图象的对称轴为直线x=-1，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴，
∴④不正确；
该函数图象与y轴的交点坐标为(0,c)，
点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，
时，，
∴⑤正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取相关信息，采用数形结合的思想是解题的关键．
类型三、二次函数与一次函数、不等式
3．抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．
注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（）
【答案】（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或
【分析】
（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题；
（2）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数表达式，设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得AE=2CE或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2或2(x+3)2=8，得出点E的坐标，再求出直线DE的解析式即可得出点Q的坐标．
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），
∴，解得：；
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴顶点D（-1，4）．
（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：；
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y=x+3．
设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），
∵直线AC将△ADC的面积分成1：2的两部分，且△ADE和△CDE等高，
∴AE=2CE或CE=2AE，
∵
∴或
∴2(x+3)2=2或2(x+3)2=8
∴x=-2或-4或-1或-5
∵-3＜x＜0
∴x=-2或-1
∴点E的坐标为（-2，1）或（-1，2）
当点E的坐标为（-2，1）时
设直线DE的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
将E（-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，
得：；
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y=3x+7．
当y=0时，
∴点Q的坐标为（，0）
当点E的坐标为（-1，2）时，
∵D（-1，4），
∴直线DE//y轴，
点Q的坐标为（-1，0）
∴点Q的坐标为（-1，0）或
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由直线AC将△ADE的面积分成1：2的两部分，找出关于x的一元二次方程．
举一反三：
【变式1】二次函数的图象如图所示：
(1)根据图象解答问题：方程 的两个根为 ；不等式的解集为 ；
(2)试根据图象信息，求二次函数的解析式．
【答案】(1)，；(2)
【分析】
（1）根据函数图象与轴交点的横坐标就是方程的两个根即可解出；根据不等式与函数图象的关系可知不等式对应着轴下方的图象，写出图象对应的范围即可；
（2）根据题中二次函数图象可知其与轴交于两点、，可设二次函数交点式，再将与轴的交点代入交点式方程求解，即可得出解析式．
(1)解：由图象可知，图象与轴交于两点、，
即当时，；当时，，
当时，得到方程的两个根为，；
不等式对应着，从不等式与函数图象的关系看来，不等式的解集意味着轴下方图象对应着的的取值范围，
不等式的解集为；
(2)解：由图象可知，图象与轴交于两点、，与轴交于点，
设二次函数交点式为，
将代入，得到，
，即，
二次函数的解析式为．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质．准确掌握二次函数图象与一元二次方程的根、二次不等式解集之间的关系是解决此类问题的关键．
【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题．
例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0．
解：令y＝x2﹣3x+2，画出y＝x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．
填空：
(1)x2﹣3x+2＜0的解集为 ；
(2)﹣x2+2＜0的解集为 ；
(3)用类似的方法解一元二次不等式﹣（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＞0．
【答案】(1)(2)或；(3)．
【分析】
（1）求出的解，然后根据函数图像取中间值即可；
（2）求出的解，然后根据函数图像取两边的值即可；
（3）求出的解，然后根据函数图像取中间值即可．
(1)解：解得，，
由图象可知：当时，y＜0．
所以，不等式的解集为；
(2)令，画出如图所示，
解得，，，
所以，由图象可知：不等式的解集为或；
(3)令，画出函数图像如图，
解得，，，
所以，由图象可知：一元二次不等式的解集为．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，读懂题目信息得到一元二次不等式的解集的求解方法是解题的关键．
类型四、二次函数与一元二次方程
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点M（1，3）和N（3，5）
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】(1)抛物线与x轴没有交点；
(2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．
【分析】
（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
(1)解：把点M（1，3）和N（3，5）代入抛物线解析式，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
令y=0，得，
∵△=（-3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
(2)解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴OA=OB，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入，得：
，解得：，
∴平移后的抛物线为，
∴该抛物线的顶点坐标为（，），
∵原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入，得：
，解得：，
∴平移后的抛物线为，
∴该抛物线的顶点坐标为（，），
∵原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的平移的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【分析】
(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案；
(2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案.
解：(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k－6=0，
解得k=－3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为－2或2，
当x=2时，y=－5；
当x=－2时，y=－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.
【变式2】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点作轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，所以．
(1)解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为．
(2)解：∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（此时，重合，不合题意舍去），
∴，
∴．
【点拨】本题考查一次函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，表示出，，解一元二次方程．
类型五、二次函数与实际问题
5．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式；
(2)当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；
(3)求出宾馆每天获得的最大利润．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=50-；(2)当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元
(3)宾馆每天获得的最大利润是11520元
【分析】
（1）根据当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到（200+x-20）（50-）=10560，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与x的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到利润的最大值．
(1)解：由题意可得，
y=50-，
即y与x的函数关系式为y=50-；
(2)解：由题意可得，
（200+x-20）（50-）=10560，
解得x1=60，x2=260，
∵每个房间每天的房价不得高于340元，
∴200+x≤340，
∴x≤140，
∴0≤x≤140（x为10的整数倍），
∴x=60，
∴200+x=260，
答：当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元；
(3)解：设利润为w元，
由题意可得：w=（200+x-20）（50-）=-0.1（x-160）2+11560，
∴当x＜160时，w随x的增大而增大，
∵每个房间每天的房价不得高于340元，
∴200+x≤340，
∴x≤140，
∴0≤x≤140（x为10的整数倍），
∴当x=140时，w取得最大值，此时w=11520，
答：宾馆每天获得的最大利润是11520元．
【点拨】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
举一反三：
【变式1】“一脉温泉韵，满城桂花香”，咸安因加大对桂花产业的宣传力度，年初，我区某工厂接到一批桂花制品的生产任务，要求必须在20天内完成．已知该产品的出厂价为65元/件，工人小王第x天（x为整数）生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝5x＋10，第x天生产该产品成本为P元/件，P与x的函数关系图象如下：
(1)求P与x之间的函数关系式；
(2)设小王第x天创造的利润为w元．
①求w与x的函数关系式；
②为响应国家的“乡村振兴”政策，小王决定，将这20天中单日所创造的最大利润捐给自己所在的村委会，试问，该村委会本次可获得多少元的捐款？
【答案】(1)（且x为整数）
(2)①（且x为整数）；②1280元
【分析】
（1）根据函数图象，结合x的取值范围，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据利润=售价-成本价，结合（1）中P与x的函数解析式，列出w与x的解析式即可；
②根据一次函数的性质和二次函数的性质，求出w的最大值，然后进行比较，得出答案即可．
(1)解：由图象可知，当时，；
当时，设P与x的函数解析式为，
将（10，45）和（20，55）分别代入，
，解得：，
∴P与x的函数解析式为，
∴P与x的函数解析式为：．
(2)①当时，，
当时，，
∴w与x的函数解析式为；
②当时，，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，
∵，
∴村委会本次可获得1280元捐款．
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，根据函数图象获得信息，利用待定系数法求出P与x的函数解析式，是解题的关键．
【变式2】科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
类型六、二次函数与几何综合
6．如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．
【分析】
（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于：当x=0时，；
当y=0时，，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，）
把A（3，0），B（0，）代入得：
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，
∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1，）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）
【点拨】本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)
【分析】
(1)将，代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
解：(1)将，代入二次函数表达式中，
∴ ，解得，
∴二次函数的表达式为：；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，
此时的周长也最小，
设直线AC的解析式为：，代入，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：，
二次函数的对称轴为，代入，得到，
∴P点坐标为(1,2)，
此时的周长最小值=；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知：，
∴ ，解得，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
【变式2】如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
x
1
－2
y
－1
17
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
特别说明：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
特别说明：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
特别说明：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
1．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．
(1)求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标．
(2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①求n的最小值；
②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，与x轴的交点坐标为和(2)①-4；②1﹣＜m＜0或2＜m＜1+
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令，解即可求得交点坐标．
（2）①把函数解析式变形为顶点式即可求得答案；②根据平面直角坐标系内点到x轴的距离的特点即可求解．
(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，
，解得，
故抛物线的表达式为，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得或，
故抛物线与x轴的交点坐标为和．
(2)①，
故n的最小值为﹣4；
②令，解得或2或，
故m的取值范围为：或．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质、利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质和待定系数法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知x与y之间的函数关系式为（其中a、b是常数），且有下列对应关系：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点，点均在抛物线上，求m的值．
【答案】(1)(2)，．
【分析】
（1）利用待定系数法，将对应的x，y代入，解二元一次方程组即可；
（2）先将代入y与x之间的函数关系式求出的值，再将代入y与x之间的函数关系式求出m的值．
(1)解：由题意得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
(2)解：∵点在抛物线上，
∴．
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得，
解得，．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度较小，牢记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）．
(1)求m的值以及二次函数的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积．
【答案】(1)m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；(2)△POA的面积为3．
【分析】
（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答；
（2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可．
(1)解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得：
m=3，
∴A（3，3），
把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得：
3=-9+3b，
解得：b=4，
∴y=-x2+4x，
答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x；
(2)解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E，
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点P（2，4），
把x=2代入y=x中得：
y=2，
∴D（2，2），
∴PD=4-2=2，
∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积，
∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE
=PD（OC+AE）
=×2×3
=3，
答：△POA的面积为3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键．
类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2．已知二次函数的图象如图，它与x轴的两个交点分别为，对于下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】根据开口方向确定a的符号后再根据抛物线与x轴的交点坐标得到对称轴，确定b的符号，即可判断①，利用抛物线与y轴交点位置确定c的符号，即可判断②，令即可判断③，利用根与系数的关系即可判断④．
解：∵二次函数的图象开口向上，且与x轴的两个交点分别为，
∴，且该图象的对称轴为，
∴，
∴，
故①错误；
由图可知，抛物线交y轴负半轴，
∴，
又∵，，
∴，
故②错误；
由图可知，当时，，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
故④正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线的解析式以及它的图象与性质，解题关键是理解并掌握对称轴公式、一元二次方程根与系数的关系以及会根据点的坐标判断代数式的取值情况．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图像如图所示．下列说法正确的个数是（ ）．
①；②；③；④（其中）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据抛物线的性质，对称性，抛物线与x轴的交点，与y轴的交点，最值去分析判断即可．
解：∵ 抛物线经过点，开口向下，与y轴交点位于y轴的正半轴，且对称轴为直线，
∴ a＜0，c＞0，a+b+c=0，，，
∴ac＜0，，，，
故①②③都是错误的；
∵a＜0，
∴抛物线有最大值，且当x=-1时，取得最值，且最大值为a-b+c，
∴当m≠-1时，
，
故，
故④正确，
故选B．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，对称性，最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的性质和最值、对称性是解题的关键．
【变式2】如图，已知二次函数的图象交轴于，对称轴为．则下列结论：①；②；③；④若，是图象上的两点，则；⑤若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由图象可知当x=0时，c<0，再根据开口向上及对称轴，即可得a、b的取值范围，据此即可判定①；根据题意可求得函数图象与x轴的另一个交点坐标，再根据二次函数的性质，即可判定②；根据对称轴所在的直线为，可得b=2a，由当x=1时，a+b+c=0，即可判定③；首先可求得点关于对称轴对称的点的坐标为，再根据二次函数的性质，即可判定④；首先可求得点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，再根据函数图象即可判定⑤，据此即可解答．
解：由图象可知，当x=0时，y<0，
∴c<0，
该二次函数的图象开口向上，
，
，
，
∴①不正确；
∵对称轴为直线x=−1，二次函数的图象交轴于，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点为，
该二次函数的图象开口向上，
当x=2时，
∴②正确；
，
，
二次函数的图象与轴的另一个交点为，
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，
∴③正确；
∵函数图象的对称轴为直线x=-1，
∴点关于对称轴对称的点的坐标为，
该二次函数的图象开口向上，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴，
∴④不正确；
该函数图象与y轴的交点坐标为(0,c)，
点(0,c)关于对称轴对称的点的坐标为(-2,c)，
时，，
∴⑤正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取相关信息，采用数形结合的思想是解题的关键．
类型三、二次函数与一次函数、不等式
3．抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为 ．
注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标（）
【答案】（1）y=-x2-2x+3，顶点D（-1，4）；（2）（-1，0）或
【分析】
（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题；
（2）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数表达式，设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），结合已知可得AE=2CE或CE=2AE，从而得出方程2(x+3)2=2或2(x+3)2=8，得出点E的坐标，再求出直线DE的解析式即可得出点Q的坐标．
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），
∴，解得：；
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴顶点D（-1，4）．
（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（-3，0），C（0，3）代入y=kx+a，得：；
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y=x+3．
设点E的坐标为（x，x+3）（-3＜x＜0），
∵直线AC将△ADC的面积分成1：2的两部分，且△ADE和△CDE等高，
∴AE=2CE或CE=2AE，
∵
∴或
∴2(x+3)2=2或2(x+3)2=8
∴x=-2或-4或-1或-5
∵-3＜x＜0
∴x=-2或-1
∴点E的坐标为（-2，1）或（-1，2）
当点E的坐标为（-2，1）时
设直线DE的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
将E（-2，1），D（-1，4）代入y=mx+n，
得：；
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y=3x+7．
当y=0时，
∴点Q的坐标为（，0）
当点E的坐标为（-1，2）时，
∵D（-1，4），
∴直线DE//y轴，
点Q的坐标为（-1，0）
∴点Q的坐标为（-1，0）或
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：由直线AC将△ADE的面积分成1：2的两部分，找出关于x的一元二次方程．
举一反三：
【变式1】二次函数的图象如图所示：
(1)根据图象解答问题：方程 的两个根为 ；不等式的解集为 ；
(2)试根据图象信息，求二次函数的解析式．
【答案】(1)，；(2)
【分析】
（1）根据函数图象与轴交点的横坐标就是方程的两个根即可解出；根据不等式与函数图象的关系可知不等式对应着轴下方的图象，写出图象对应的范围即可；
（2）根据题中二次函数图象可知其与轴交于两点、，可设二次函数交点式，再将与轴的交点代入交点式方程求解，即可得出解析式．
(1)解：由图象可知，图象与轴交于两点、，
即当时，；当时，，
当时，得到方程的两个根为，；
不等式对应着，从不等式与函数图象的关系看来，不等式的解集意味着轴下方图象对应着的的取值范围，
不等式的解集为；
(2)解：由图象可知，图象与轴交于两点、，与轴交于点，
设二次函数交点式为，
将代入，得到，
，即，
二次函数的解析式为．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质．准确掌握二次函数图象与一元二次方程的根、二次不等式解集之间的关系是解决此类问题的关键．
【变式2】先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题．
例题：解一元二次不等式x2﹣3x+2＞0．
解：令y＝x2﹣3x+2，画出y＝x2﹣3x+2如图所示，由图象可知：当x＜1或x＞2时，y＞0．所以一元二次不等式x2﹣3x+2＞0的解集为x＜1或x＞2．
填空：
(1)x2﹣3x+2＜0的解集为 ；
(2)﹣x2+2＜0的解集为 ；
(3)用类似的方法解一元二次不等式﹣（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＞0．
【答案】(1)(2)或；(3)．
【分析】
（1）求出的解，然后根据函数图像取中间值即可；
（2）求出的解，然后根据函数图像取两边的值即可；
（3）求出的解，然后根据函数图像取中间值即可．
(1)解：解得，，
由图象可知：当时，y＜0．
所以，不等式的解集为；
(2)令，画出如图所示，
解得，，，
所以，由图象可知：不等式的解集为或；
(3)令，画出函数图像如图，
解得，，，
所以，由图象可知：一元二次不等式的解集为．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，读懂题目信息得到一元二次不等式的解集的求解方法是解题的关键．
类型四、二次函数与一元二次方程
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点M（1，3）和N（3，5）
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【答案】(1)抛物线与x轴没有交点；
(2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．
【分析】
（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
(1)解：把点M（1，3）和N（3，5）代入抛物线解析式，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
令y=0，得，
∵△=（-3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
(2)解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴OA=OB，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入，得：
，解得：，
∴平移后的抛物线为，
∴该抛物线的顶点坐标为（，），
∵原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入，得：
，解得：，
∴平移后的抛物线为，
∴该抛物线的顶点坐标为（，），
∵原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的平移的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【分析】
(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案；
(2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案.
解：(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k－6=0，
解得k=－3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为－2或2，
当x=2时，y=－5；
当x=－2时，y=－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【点拨】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.
【变式2】如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若过点作轴于点，交直线于点．当时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，所以．
(1)解：∵抛物线与轴交于点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为．
(2)解：∵当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（此时，重合，不合题意舍去），
∴，
∴．
【点拨】本题考查一次函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，表示出，，解一元二次方程．
类型五、二次函数与实际问题
5．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式；
(2)当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；
(3)求出宾馆每天获得的最大利润．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=50-；(2)当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元
(3)宾馆每天获得的最大利润是11520元
【分析】
（1）根据当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到（200+x-20）（50-）=10560，然后求解即可；
（3）根据题意，可以写出利润与x的函数关系式，然后将函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，即可得到利润的最大值．
(1)解：由题意可得，
y=50-，
即y与x的函数关系式为y=50-；
(2)解：由题意可得，
（200+x-20）（50-）=10560，
解得x1=60，x2=260，
∵每个房间每天的房价不得高于340元，
∴200+x≤340，
∴x≤140，
∴0≤x≤140（x为10的整数倍），
∴x=60，
∴200+x=260，
答：当房价为260元时，宾馆每天的利润为10560元；
(3)解：设利润为w元，
由题意可得：w=（200+x-20）（50-）=-0.1（x-160）2+11560，
∴当x＜160时，w随x的增大而增大，
∵每个房间每天的房价不得高于340元，
∴200+x≤340，
∴x≤140，
∴0≤x≤140（x为10的整数倍），
∴当x=140时，w取得最大值，此时w=11520，
答：宾馆每天获得的最大利润是11520元．
【点拨】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
举一反三：
【变式1】“一脉温泉韵，满城桂花香”，咸安因加大对桂花产业的宣传力度，年初，我区某工厂接到一批桂花制品的生产任务，要求必须在20天内完成．已知该产品的出厂价为65元/件，工人小王第x天（x为整数）生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝5x＋10，第x天生产该产品成本为P元/件，P与x的函数关系图象如下：
(1)求P与x之间的函数关系式；
(2)设小王第x天创造的利润为w元．
①求w与x的函数关系式；
②为响应国家的“乡村振兴”政策，小王决定，将这20天中单日所创造的最大利润捐给自己所在的村委会，试问，该村委会本次可获得多少元的捐款？
【答案】(1)（且x为整数）
(2)①（且x为整数）；②1280元
【分析】
（1）根据函数图象，结合x的取值范围，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据利润=售价-成本价，结合（1）中P与x的函数解析式，列出w与x的解析式即可；
②根据一次函数的性质和二次函数的性质，求出w的最大值，然后进行比较，得出答案即可．
(1)解：由图象可知，当时，；
当时，设P与x的函数解析式为，
将（10，45）和（20，55）分别代入，
，解得：，
∴P与x的函数解析式为，
∴P与x的函数解析式为：．
(2)①当时，，
当时，，
∴w与x的函数解析式为；
②当时，，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，
∵，
∴村委会本次可获得1280元捐款．
【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，根据函数图象获得信息，利用待定系数法求出P与x的函数解析式，是解题的关键．
【变式2】科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点拨】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
类型六、二次函数与几何综合
6．如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．
【分析】
（1）由直线与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于：当x=0时，；
当y=0时，，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，）
把A（3，0），B（0，）代入得：
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，
∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1，）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）
【点拨】本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．
举一反三：
【变式1】如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)
【分析】
(1)将，代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
解：(1)将，代入二次函数表达式中，
∴ ，解得，
∴二次函数的表达式为：；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，
此时的周长也最小，
设直线AC的解析式为：，代入，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：，
二次函数的对称轴为，代入，得到，
∴P点坐标为(1,2)，
此时的周长最小值=；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知：，
∴ ，解得，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
【变式2】如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
x
1
－2
y
－1
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