初中人教版22.1.1 二次函数课时训练

这是一份初中人教版22.1.1 二次函数课时训练，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
【类型一】把二次函数化为顶点式
1．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知抛物线，其顶点为D，若点D到x轴的距离为3，则m的值为（ ）
A．0或B．C．D．或
3．把二次函数化成的形式是（ ）
A．B．C．D．
【类型二】画二次函数的图象
4．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1B．C．﹣D．﹣
6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11B．﹣5C．2D．﹣2
【类型三】二次函数的性质
7．已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
【类型四】二次函数各项系数的符号
10．如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
B．
C． D．
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
13．在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
14．函数与的图象如图所示，则的大致图象为 （ ）
B．
C．D．
15．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【类型六】二次函数图象的平移
16．把函数的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
17．平移是初中重要的初等变换，如：向右平移两个单位得到，依据上述规律，则方程的根的情况（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
18．如图，抛物线与相交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论：①两抛物线的顶点关于原点对称；②；③；④．其中正确结论是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
二、填空题
【类型一】把二次函数化为顶点式
19．已知二次函数，若，则y的取值范围是______．
20．已知二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，则b＝________；顶点坐标是________．
21．将抛物线写成的形式是____________．
【类型二】画二次函数的图象
22．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________________．
23．二次函数的部分对应值如下表,利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______.
24．在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），则点B的坐标是______．
【类型三】二次函数的性质
25．点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.
26．如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是___．
27．如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且．与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为_____．
【类型四】二次函数各项系数的符号
28．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．
29．二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有______（请将结论正确的序号全部填上）
30．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是______（填写序号）．
【类型五】一次函数与二次函数图象判断
31．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第___象限．
32．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．
33．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是_______．
【类型六】二次函数图象的平移
34．抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标是______．
35．如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则m的值为______，n的最大值为______．
36．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，1)在抛物线y=x+2bx+c上
（1）c=______(用含b的式子表示)；
（2）若将该抛物线向右平移t个单位(t≥)，平移后的抛物线仍经过A(-1，1)，则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为_______．
三、解答题
37．已知二次函数（，是常数）．
(1)当，时，求二次函数的最大值；
(2)当时，函数有最大值为7，求的值；
(3)当且自变量时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
38．先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．在描点画图．
39．如图，抛物线，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求直线BC的解析式；
(2)抛物线上点P的横坐标为2，求四边形ACPB的面积．
40．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，过点作于，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标和线段的长度；
(3)把抛物线沿射线方向平移个单位，是新抛物线对称轴上一点，为平面上任意一点，直接写出所有使得以、、、为顶点的四边形为菱形的点的坐标．
参考答案
1．A
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式得到，再求解抛物线y＝x2﹣x﹣n的顶点坐标，再判断顶点位置即可.
解： 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣n＝0没有实数根，
解得：
抛物线y＝x2﹣x﹣n，
抛物线的顶点坐标为：
由，
可得，
在第一象限，
故选：A．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，抛物线的顶点坐标，掌握“一元二次方程根的判别式，抛物线的顶点坐标公式”是解本题的关键.
2．A
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标为，根据点D到x轴的距离为3，得到，由此求解即可．
解：抛物线的解析式，
故抛物线C的顶点为．
∵点D到x轴的距离为3，
∴．
当时，此方程无解；
当时，解得，．
综上所述，m的值为0或，
故选A．
【点拨】本题主要考查了点到坐标轴的距离，求抛物线顶点坐标，解一元二次方程，正确求出抛物线顶点坐标是解题的关键．
3．C
【分析】
利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
解：．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．
4．B
【分析】
由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断．
解：∵a=2，b>0，c<0，
∴-<0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
5．D
【分析】
根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．
解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
6．B
【分析】
根据表格中的数据和二次函数的性质可知x=0、x=1、x=-1对应的函数值是正确的，从而可以求得二次函数的解析式，再将x=2和x=-2代入解析式，即可判断哪个y值是错误的，本题得以解决．
解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线x=0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2），
∴，
解得，，
∴y=﹣3x2+1，
当x=﹣2时，y=﹣11，
当x=2时，y=﹣11，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象，解题关键是明确题意，求出函数的解析式，利用二次函数的性质解答．
7．C
【分析】
先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
解：线段（除外）位于第四象限，
过点且平行轴的直线在轴的下方，
抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，
，
画出函数图象如下：
结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，
即，解得，
又，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．
8．C
解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴b=2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac ③∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；
④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．
故选C．
9．D
【分析】
先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
10．D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式，判断的大小关系
③根据时，，比较与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
解：①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
②得

故②错误；
③经过

又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④正确；
⑤当时,, 当时,

函数有最小值

化简得，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．
11．B
解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．
12．D
解：根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴为直线x=，∴b＞0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.
∵c＜0，，∴一次函数的图象过第一、二、四象限.
∵ab＞0，∴反比例函数分布在第一、三象限．
∴一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是选项D.
故选D．
【点拨】1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质.
13．C
【分析】
根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
14．D
【分析】
根据反比例函数过一、三象限可确定出k的符号，根据二次函数图像的对称轴可以确定出a,b的符号，进而求解.
解：∵反比函数过一三象限，∴，
由二次函数开口向下可得，
又二次函数的对称轴，
∴，∴同号，∴，
∴
∴一次函数经过第一、二、三象限，
故答案为D．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数图象的知识，解题的关键是掌握一次和二次函数的图象性质，此类题属于中考常考题型．
15．C
试题分析：选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误；选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，此选项错误；
选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意，此选项正确；选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误.故选C.
【点拨】1一次函数图像；2二次函数图像.
16．A
【分析】
抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图像平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
解：∵y=x2−2x+3=(x−1)2+2，
∴把函数y=x2−2x+3y的图像向左平移1个单位长度，平移后图像的函数解析式为：y=[(x−1)+1]2+2=x2+2，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是熟练掌握图像平移时函数表达式的变化特点．
17．B
【分析】
先将方程变形整理，得出函数与函数都向右平移两个单位，可得交点个数与的交点个数相同，k=3＞0，反比例函数位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，画出的图像，二次函数顶点在（0，-1），对称轴y轴，函数图像经过三四象限，在三象限，随x的增大而增大，画出函数图像，得出两函数只有一个交点即可．
解：∵
∴
∴
∴函数与函数，都向右平移两个单位，
∴交点个数与的交点个数相同，
∵k=3＞0，反比例函数位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
列表
描点，连线如图
二次函数顶点在（0，-1），对称轴y轴，函数图像经过三、四象限，在三象限，随x的增大而增大，
列表
描点连线
∴两函数只有一个交点，
∴只有一个交点，
∴方程的只有一个根．
故选B．
【点拨】本题考查函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像，掌握函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像是解题关键．
18．D
【分析】
根据抛物线的解析式分别求得两个抛物线的顶点坐标，找到对称轴，然后根据抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答．
解：由抛物线y1= (x−3)2+1与y2=a(x+3) 2−1知，两抛物线的顶点坐标分别是（3，1），（-3，-1），则它们关于原点对称，故①结论正确；
由于B（5，3），且点A与点B关于直线x=3对称，所以A（1，3），
把A（1，3）代入y2=a(x+3) 2−1得，3=16a-1，解得a=，故②结论不正确；
由于A（1，3），且点A与点C关于直线x=-3对称，所以C（-7，3），故④结论正确；
由抛物线y1= (x−3) 2+1=x2-3x+知，P（0，）；
由y2=（x+3）2-1=x2+x+知，Q（0，）．
则PQ=-=，故③结论不正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时，充分利用了抛物线的轴对称性．
19．
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．
解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，
∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，
当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，
∴y的取值范围是-3≤y≤6，
故答案为：-3≤y≤6．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20． 4 （2，7）
【分析】
由对称轴公式即可求得b，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标．
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋3图象的对称轴为x＝2，
∴−＝2，
∴b＝4，
∴二次函数y＝−x2＋4x＋3，
∵y＝−x2＋4x＋3＝−（x−2）2＋7，
∴顶点坐标是（2，7），
故答案为：4，（2，7）．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知对称轴公式和二次函数解析式的三种表现形式是解题的关键．
21．
【分析】
提取二次项系数，再配成完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．
解：．
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
22．
【分析】
由抛物线图像可得，对称轴是x=－1，抛物线与x轴的一个交点为(－3,0)，则抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，根据二次函数的图像写出当时，x的取值范围即可．
解：由题意可得：对称轴是x=－1，抛物线与x轴的一个交点为(－3,0)，
抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，
当时，．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，根据二次函数图像的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题关键．
23．
【分析】
根据表格可知，函数值y=0对应的自变量值是：－1、3，在它们之间的函数值都是正数，由此可得y>0时，x的取值范围．
解：从表格可以看出，当x=－1或3时，y=0；
因此当－10.
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数的图象，明确二次函数的图象性质是解题关键.
24．(0,0)
【分析】
先将点A的坐标代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数联立成一元二次方程求得另一个交点坐标B．
解：抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，4），
则点A代入y=ax2，解得a=1；代入y=2x+b，解得：b=0；
将两方程联立得：x2=2x，解方程得：x=0或2，
则另一交点坐标B为（0，0）．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及直线与抛物线交点问题．
25．##
【分析】
根据a＜0，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，可求出t=，根据根据t+1＞t，，即可求出t的取值范围．
解：根据a＜0，可知抛物线开口向下，
根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，
则有时，y随x的增大而增大；
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有，
解得，
∵t+1＞t，，
又∵则有时，y随x的增大而增大；
∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，
当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，
随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有，
继续正方向移动，则有，
∴满足的t的取值范围：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线图像的性质，根据当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时求出t的临界值是解答本题的关键．
26．.
【分析】
将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而可知M的取值范围．
解：将与代入，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为.
【点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
27．
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
解：由图可知，
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为(0，2)；
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴．
故答案为．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
28．①③④．
【分析】
首先根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出b>0，根据a,b,c的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式，再根据对称性判断出②的正误；把 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
解：根据图象可得： ，
对称轴：

，
故①正确；
把 代入函数关系式
由抛物线的对称轴是直线，可得当
故②错误；

即： 故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为①③④．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．
29．①③．
解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴当x=﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x=﹣1，∵P（﹣5，y1），Q（，y2），﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵=﹣1，∴b=2a，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣c；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，∵AO=1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AB=AC=4时，∵AO=1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c=，与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组，解得b=﹣；
同理当AC=BC时，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故⑤错误．
综上所述，正确的结论是①③．
故答案为①③．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的图象与系数的关系：当a＜0，抛物线开口向下；抛物线的对称轴为直线x=；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0）．
30．①④##④①
解：根据抛物线的对称轴直线x=﹣=1，可得2a+b=0，所以①正确；
根据x=﹣1时，y＜0，可得a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；
由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴x=﹣＞0，可得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，因此abc＞0，所以④正确．
【点拨】二次函数图象与系数的关系
31．四
解：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0．
因此，由于函数y=bx+c的，，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四
【点拨】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系：对于，函数，①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
32．②③
分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
此题得解．
解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；
②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，
∴当x＜0时，M=y1，
∴M随x的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴M的最大值为4，
∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；
④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，
解得：x1=2-（舍去），x2=2+；
当M=y2=2时，有2x=2，
解得：x=1．
∴若M=2，则x=1或2+，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为②③．
点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
33．﹣1，4，4+2，4﹣2．
解：设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+5），
则点Q为（a，﹣a+3），点B为（0，3），
当点P在点Q上方时，BQ==a，
PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2，
∵PQ=BQ，
∴a=﹣a2+a+2，
整理得：a2﹣3a﹣4=0，
解得：a=﹣1或a=4，
当点P在点Q下方时，BQ==a，
PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2，
∵PQ=BQ，
∴a=a2﹣a﹣2，
整理得：a2﹣8a﹣4=0，
解得：a=4+2或a=4﹣2．
综上所述，a的值为：﹣1，4，4+2，4﹣2．
故答案为﹣1，4，4+2，4﹣2．
【点拨】二次函数综合题.
34．
【分析】
根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，写出平移后的抛物线，再写出顶点坐标即可．
解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
可得：
所以顶点坐标为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是抛物线的平移，顶点坐标，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．
35． 5 4 5
【分析】
根据确定点B(1，5)，代入反比例函数解析式解困确定k值；根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，根据“波浪线”的最高值为5，确定n的最大值为5．
解：∵，
∴点B(1，5)，代入，
解得k=5；
根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，
∴m=，
∵抛物线的最大值为5，
∴n的最大值为5，
故答案为：5；4；5．
【点拨】本题考查了抛物线与反比例函数的综合，平移规律，熟练掌握抛物线的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
36． 2b ##0.4375
【分析】
（1）将点代入函数解析式求解即可；
（2）根据（1）所求，将点A和t代入表达式得到b、t的关系，根据t的取值范围，求出b的范围，进而即可求解．
解：（1）将点A(-1，1)代入y=x2+2bx+c得
化简得，，
故答案是：2b；
（2）由（1）
平移后得，
将点A(-1，1)代入
得，
化简得，
记得（舍去）
将代入
得
化简得，
∵，t≥
∴
∴平移后抛物线的项点纵坐标为：
当时，平移后抛物线的项点纵坐标有最大值为：，
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的相关知识结合不等式并灵活应用是解题的关键．
37．(1)当x=-3时，(2)b=±1
(3)二次函数的表达式：或
【分析】
（1）将b=3，c=4时代入并化简，从而求出二次函数的最大值；
（2）当c=6时，，根据函数的最大值列方程，从而求出的值；
（3）当，对称轴为x=-b，分-b<1、、-三种情况进行讨论，根据函数的增减性，找出最大值，然后列方程求出b的值，从而得出二次函数的表达式．
(1)解：当b=3，c=4时，2b=6，
∴，
∴ 当x=-3时，
(2)解：当c=6，函数值时，
∵a=-1＜0，函数开口向下，函数有最大值，
∴ 当x=-b时，y最大值=
∴ b=±1
(3)解：当c=3b时，
∴ 抛物线对称轴为：x=-b
①-b<1时，即b＞-1，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下， y随x的增大而减小，有最大值，
∴ 当x=1时，y最大.
∴
∴ b=11.
②，即-5≤b＜-1，当x=-b时， y最大.
∴
∴ ， （舍去）
③当-时，即b＜-5，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，有最大值，
∴当x=5时， y最大.
∴-，
∴ b=（舍去）
综上可得： b=﹣5或b=11
∴二次函数的表达式：或
【点拨】本题考查了二次函数的性质和应用，一元一次方程解法，一元二次方程解法，掌握二次函数的性质和解方程的方法是解题的关键．
38．开口方向向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，0），画图见分析．
【分析】
先将解析式化成顶点式，再确定开口方向、对称轴和顶点坐标，然描点、连线即可．
解：
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线x=2，顶点坐标为（2，0）
当x=0时，y=-8，即于y轴的交点坐标为（0，-8）．
画出对称轴、描出顶点、与y轴交点，然后连线如下：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数图象开口、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解得本题的关键．
39．(1)y=-x+4；(2)18
【分析】
（1）由抛物线的解析式求出A、B、C的坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；
（2）连接OP，先求出P点坐标，再用三角形的面积公式求得结果．
解：(1)令x=0，得y=-x2+3x+4=4，
∴C（0，4），
令y=0，得y=-x2+3x+4=0，
解得x=-1或x=4，
∴A（-1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），C（0，4）代入得
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4；
(2)当x=2时，y=-x2+3x+4=6，
∴P（2，6），
连接OP，如图，
∴S四边形ACPB=S△OAC+S△OBP+S△OCP=
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法则，三角形的面积，解题关键是掌握待定系数法，坐标系内求图形面积的方法．
40．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4）(2)平行四边形，理由见分析
(3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，）
【分析】
（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
(1)解：对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，
∴x1＝4，x2＝1，
∴点A（1，0），点B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4）；
(2)解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：
∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
∴PQ＝CO，PQOC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；
(3)解：∵D是OC的中点，点C（0，4），
∴点D（0，2），
由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，
当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，
∴Q（2，﹣2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QHCO，故∠AQH＝∠ODQ，
而∠DQE＝2∠ODQ.
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
∴直线QE的表达式为y＝2x﹣6，
联立y＝x2﹣5x+4得，
解得或（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
BF2＝m2+42＝m2+16，
EF2＝（m﹣4）2+52，
当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝ ；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）.
【点拨】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
41．(1)(2)，；
(3)，或，或，或，
【分析】
（1）将，代入，求出的值，进而可得抛物线解析式；
（2）延长交轴于点，待定系数法求出直线的解析式为，由，设，则，，则，可得，求出的最大值，进而可得此时点坐标；
（3）设向右平移个单位，则向下平移个单位，由抛物线沿射线方向平移个单位，可得，平移后的函数解析式为，设，，，分两种情况讨论：①当与是对角线，，由，可得，求得，或，；②当与是对角线，，由，得，可得，或，．
(1)解：将点，代入，得，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
(2)解：如图1，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入，，
则直线与轴的交点坐标为，
，轴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴当时，有最大值，此时，；
(3)解：设向右平移个单位，则向下平移个单位，
∵沿射线方向平移个单位，
∴，
解得，（不合题意，舍去）
∵，
∴平移后的解析式为，
∴对称轴为直线，
设，，，
，，
∴，
由题意知，以为顶点的四边形为菱形时，分两种情况求解：①如图2，当与是对角线，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴或，
∴，或，；
②如图3，当与是对角线，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴，或，；
综上所述，点坐标为，或，或，或，．
【点拨】本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，二次函数与线段的综合，二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，菱形的性质等知识．分类讨论，对二次函数知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
-1
-1.5
3
3
1.5
1
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
-5
-2
-1
-2
-5
…