辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省葫芦岛市连山区2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共20分）
1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果三角形三个内角分别是x°，x°，y°，则下列结论正确的是（ ）
A．x+2y＝180B．2x+y＝180C．2x﹣y＝180D．3x+y＝180
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE＝42°，则∠B的大小为（ ）
A．42°B．45°C．48°D．58°
4．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短D．垂线段最短
6．一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝48°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠BDC的大小为（ ）
A．72°B．90°C．96°D．108°
8．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，下列做法正确的是（ ）
A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去
9．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的结论有（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ．
12．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝50°，则∠B＝ ．
13．如图，将△ABC沿DE翻折，若∠1+∠2＝70°，则∠B＝ ．
14．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
15．两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝4，DO＝1，平移距离为2，则阴影部分面积为 ．
16．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝90°，点D是AC边上的定点，点E是射线CB上的动点，沿DE折叠△CDE，点C落在点F处．当EF与△ABC的一边平行时，∠ADF的度数是 ．
三、解答题（17题8分，18题10分，共计18分）
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，若∠BAD＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
18．如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．
四、解答题（19题8分，20题8分，共计16分）
19．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
20．如图，某段河流的两岸是平行的，某校八年级数学兴趣小组在林老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在树A的对岸l正对位置选一点B，使得AB⊥l；
②从点B沿河岸直走25米有一树C，继续前行25米到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走到达E处，使得树A、树C、点E三点共线；
④测得DE的长为20米．
（1）根据他们的做法补全图形并标出点B、D、E的位置；
（2）求该段河流的宽度是多少米？
五、解答题（21题8分，22题10分，共计18分）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．
22．如图，AB＝AC，BE⊥AC，E为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BE，CD相交于点F，连接AF．求证：
（1）AD＝AE；
（2）FA平分∠DFE．
六、解答题
23．在△ABC中，∠C＝70°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点，点P是平面内一动点．
初探：（1）如图1，若点P在线段AB上运动，
①当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝ ；
②∠α，∠1，∠2之间的数量关系为： ．
再探：（2）若点P运动到边AB的延长线上，PD交BC于F，如图2，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？并说明理由．
拓展：（3）当点P在△ABC的内部，且D，P，E不共线时，记∠ADP＝∠1，∠BEP＝∠2，∠DPE＝∠α，探究∠α，∠1，∠2之间的关系，并直接写出探究结论．
七、解答题
24．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CF是△ABC的角平分线，BD与CF相交于点E．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求证：EF＝ED．
八、解答题
25．如图，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C（2，﹣2），AC⊥AB，且AC＝AB，CA，CB分别交坐标轴于D，E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：D为AC的中点．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．
解：A、没有经过顶点A，不符合题意；
B、高AD交BC的延长线于点D处，符合题意；
C、垂足没有在BC上，不符合题意；
D、AD不垂直于BC，不符合题意．
故选：B．
2．
解：∵三角形三个内角分别是x°，x°，y°，
∴x+x+y＝180（三角形的内角和等于180°），
∴2x+y＝180．
故选：B．
3．
解：∵DE∥AB，∠ADE＝42°，
∴∠CAB＝∠ADE＝42°，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣42°＝48°．
故选：C．
4．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
解：连接BC，如图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
5．
解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：B．
6．
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×2，
解得：n＝6，
故选：B．
7．
解：∵∠A＝60°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝36°，
∵∠BDC是△ACD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝96°．
故选：C．
8．
解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
9．
解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
同理可得PG＝PE，
∵AD∥BC，
∴点F、P、G三点共线，
∴FG的长即为AD、BC间的距离，
∴平行线AD与BC间的距离为3+3＝6，
故选：D．
10．
解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，①正确；
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．
解：根据三角形的三边关系，得
5﹣3＜m＜5+3，
∴2＜m＜8，
故答案为：2＜m＜8．
12．
解：∵∠ACD＝120°，∠A＝50°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝70°．
故答案为：70°．
13．
解：∵△ABC沿着DE翻折，
∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，
∵∠1+∠2＝70°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴70°+2（180°﹣∠B）＝360°，
∴∠B＝35°．
故答案为：35°．
14．
∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故答案为：360°．
15．
解：由平移的性质知，BE＝2，DE＝AB＝4，
∴OE＝DE﹣DO＝4﹣1＝3，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（4+3）×2＝7．
故答案为：7．
16．
解：∵∠A＝50°，∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝40°，
由折叠的性质得：∠CED＝∠FED，∠CDE＝∠FDE，∠F＝∠C＝40°，
∴∠CEF＝2∠CED，∠CDF＝2∠CDE，
当EF与△ABC的一边平行，有以下两种情况：
①当EF∥AC时，如图1所示：
则∠FEB＝∠C＝40°，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEB＝140°，
∴2∠CED＝140°，
∴∠CED＝70°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
∴∠CDF＝2∠CDE＝140°，
∴∠ADF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°；
②当EF∥AB时，又有两种情况：
（ⅰ）点E在BC的上方时，如图2所示：

∵∠B＝90°，EF∥AB，
∴∠CEF＝∠B＝90°，
∴2∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠FED＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（45°+40°）＝95°，
∴∠FDE＝∠CDE＝95°
∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣95°＝85°，
∴∠ADF＝∠FDE﹣∠ADE＝95°﹣85°＝10°；
（ⅱ）当点F在BC的下方时，如图3所示：

设∠DEB＝α，
∵∠B＝90°，EF∥AB，
∴∠FEB＝∠CEF＝90°，
∴∠FED＝∠DEB+∠FEB＝α+90°，
∴∠CED＝∠FED＝α+90°，
∵∠CED+∠FED+∠CEF＝360°，
∴α+90°+α+90°+90°＝360°，
解得：α＝45°，
∴∠DEB＝45°，
∵∠DEB＝∠C+∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEB﹣∠C＝45°﹣40°＝5°，
∴∠CDF＝2∠CDE＝10°，
∴∠ADF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣10°＝170°．
综上所述：∠ADF的度数是40°或10°或170°．
三、解答题（17题8分，18题10分，共计18分）
17．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，
∵∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+40°＝80°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．
18．
解：∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝30°
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵在△ADC中，∠A＝60°，∠ADC＝80°
∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
答：∠C的度数为40°．
四、解答题（19题8分，20题8分，共计16分）
19．
【解答】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD．
20．
解：（1）根据题意，图如下：
．
（2）根据题意，得，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝20（米），
故该段河流的宽度是20米．
五、解答题（21题8分，22题10分，共计18分）
21．
解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
设AD＝CD＝xcm，BC＝ycm，
分两种情况：
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为10cm，10cm，7cm；
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为14cm，14cm，11cm；
综上所述：△ABC各边的长为10cm，10cm，7cm或14cm，14cm，11cm．
22．
【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△AEB与△ADC中
，
∴△AEB≌△ADC（AAS），
∴AE＝AD，
（2）在Rt△AEF与Rt△ADF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴∠AFE＝∠AFD，
∴FA平分∠DFE．
六、解答题
23．
解：（1）①如图1中，连接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，
∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°．
故答案为：130°；
②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，
故答案为：∠1+∠2＝70°+∠α．
（2）结论：∠1＝70°+∠2+∠α．
理由：如图2中，
∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，
∴∠1＝70°+∠2+∠α．
（3）结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．
理由：如图3中，当P在△CDE 内部时，
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，
∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．
当P在四边形ABED内部时，∠1+∠2＝∠α+70°．
七、解答题
24．
【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴，
在△BEC中，＝90°+30°＝120°；
（2）证明：如图，作∠BEC 的平分线，交BC于点M，由（1）得∠BEC＝120°，
∴∠FEB＝∠DEC＝180°﹣∠BEC＝60°，
∵EM平分∠BEC，
∴，
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠FBE＝∠MBE，∠DCE＝∠MCE，
在△FBE 与△MBE 中，
，
∴△FBE≌△MBE（ASA），
∴EF＝EM，
同理可得△DCE≌△MCE（ASA），
∴ED＝EM，
∴EF＝ED．
八、解答题
25．
【解答】（1）解：如图，作CF⊥x轴于点F，则∠BOA＝∠AFC＝90°，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABO＝∠CAF＝90°﹣∠OAB，
在△AOB和△CFA中，
，
∴△AOB≌△CFA（AAS），
∵C（2，﹣2），
∴OF＝2，OA＝FC＝2，
∴OB＝FA＝OF+OA＝2+2＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
（2）证明：如图，作CF⊥x轴于点F，连接DF，则∠AFC＝90°，
∵OA＝OF，DO⊥AF，
∴DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴90°﹣∠DAF＝90°﹣∠DFA，
∴∠ACF＝∠DFC，
∴DC＝DF，
∴DA＝DC，
∴D为AC的中点．