适用于老高考旧教材2024版高考数学二轮复习考点突破练10概率与统计的综合问题文（附解析）

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(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,估计1 000粒赤霉素含量为60 ng/g的种子后天生长的优质数量.
附:线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
2.(2023广西南宁二模)为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆,某学校开展了航天知识竞赛活动,共有100人参加了这次竞赛,已知所有参赛学生的成绩均位于区间[50,100],将他们的成绩(满分100分)分成五组依次为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这100人的竞赛成绩的平均数;
(2)采用分层抽样的方法,从竞赛成绩在[80,100]上的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者,再从第四组和第五组的宣讲使者中随机抽取2人作为组长,求这2人来自同一组的概率.
3.(2023陕西安康二模)为了调查员工的工资与工龄的情况,人力资源部随机从公司的技术研发部门中抽取了16名员工了解情况,结果如下:
经计算得xi=9.97,s=≈0.212,≈18.439,(xi-)(i-8.5)=-2.78,其中xi表示工龄为i年的年薪,i=1,2,…,16.
(1)求年薪xi与工龄i(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为年薪与工龄具有线性相关关系(若|r|<0.25,则可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系).
(2)在抽取的16名员工中,如果年薪都在(-3s,+3s)之内,则继续推进工资改革,同时给每位老员工相应的补贴,如果有员工年薪在(-3s,+3s)之外,该员工会被人力资源部约谈并进行岗位调整,且需要重新计算原抽取的16名员工中留下的员工年薪的均值和标准差,请计算留下的员工年薪的均值和标准差.(精确到0.01)
附:样本(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的相关系数r=≈0.09,0.2122+9.972≈99.446,15×10.022=1 506.006,9.222≈85.008.
4.(2023四川眉山二模)某商店销售某种产品,为了解客户对该产品的评价,现随机调查了200名客户,其评价结果为“一般”或“良好”,并得到如下列联表:
(1)通过计算判断,有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系?
(2)利用样本数据,在评价结果为“良好”的客户中,按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈,求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.
附:
其中K2=,n=a+b+c+d.
5.(2020山东,19)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?
附:K2=.
6.(2023陕西咸阳二模)2021年,党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》,也就是我们现在所称的“双减”政策.某地为了检测“双减”政策的落实情况,从某初中选了6名同学,检测课外学习时长(单位:分钟),相关数据如下表所示.
(1)若从被抽中的6名同学中随机抽出2名,则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率.
(2)下表是某班统计了本班同学2022年1~7月份的人均月课外劳动时间(单位:小时),并建立了人均月课外劳动时间y关于月份x的线性回归方程x+4,y与x的原始数据如下表所示:
由于某些原因导致部分数据丢失,但已知xiyi=452.
(i)求m,n的值;
(ii)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差).
附:.
考点突破练10 概率与统计的综合问题
1.解(1)=30,
=6,
(xi-)(yi-)=210,(xi-)2=1000,
则=0.21,=-0.3,
故y关于x的线性回归方程为=0.21x-0.3.
(2)将x=60代入=0.21x-0.3,得到=12.3,
则估计1 000粒赤霉素含量为60 ng/g的种子后天生长的优质数量为1 000×=615.
2.解(1)依题意可得(0.015+a+0.025+0.035+0.005)×10=1,解得a=0.02,根据频率分布直方图知每组的频率依次为0.15,0.2,0.35,0.25,0.05,则平均数的估计值为55×0.15+65×0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.05=73.5,所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.
(2)由题意可知,竞赛成绩在[80,90),[90,100]两个组的人数之比为5∶1,若采用分层抽样从中抽取6人,则每组各抽取学生人数分别为6×=5,6×=1,分别记[80,90)内所抽取的5人编号依次为1,2,3,4,5,[90,100]上所抽取的1人编号为A,所以从6人中随机抽取2人的情况为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,A),(2,3),(2,4),(2,5),(2,A),(3,4),(3,5),(3,A),(4,5),(4,A),(5,A),共15种,其中这2人来自同一组(记为事件M)的有10种,则P(M)=.所以这2人来自不同组的概率为.
3.解(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,3,…,16)的相关系数为
r=≈-0.18,|r|=0.18<0.25,
因此可以认为年薪与工龄不具有线性相关关系.
(2)由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出工龄为13年的员工年薪在(-3s,+3s)=(9.334,10.606)以外,因此会被约谈并进行岗位调整,所以留下15名员工,剩下员工年薪的均值为×(16×9.97-9.22)=10.02万元,
=16×0.2122+16×9.972≈16×99.446=1591.136,
余下员工年薪的方差为×(1591.136-9.222-15×10.022)≈0.008,
所以标准差的估计值为≈0.09.
4.解(1)由题意,得k=≈11.11>6.635,因此有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系.
(2)利用分层抽样抽取这6名客户中男性有4人,记为A1,A2,A3,A4,女性有2名,记为B1,B2.从这6名客户中选取2名客户的所有可能的结果有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15个,其中至少有一名女性客户可能的结果有9个.所以抽取的2名客户中至少有1名女性客户的概率为,即.
5.解(1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为=0.64.
(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:
(3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.
6.解(1)用(x,y)表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序号分别为x和y,则所有可能的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件A,由已知序号为1,3,4,6的同学课外学习时长都不小于210分钟,∴事件A所有可能的结果有(1,3),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(4,6),共6个,∴P(A)=.
(2)(i)由表知×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
×(8+9+m+12+n+19+22)=,
∴(xi-)2=(-3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22+32=28,∴,即m+n=43-7,①
∴=4+4,即m+n=28-42.②
由①②,得,m+n=26,③
∵xiyi=8+18+3m+48+5n+114+154=452,
∴3m+5n=110.④
由③④,得m=10,n=16.
(ii)∵线性回归方程为x+4,∴当x=6时,预测值×6+4=,此时残差为19-.
赤霉素含量x
10
20
30
40
50
后天生长的优质数量y
2
3
7
8
10
工龄(单位:年)
1
2
3
4
5
6
7
8
年薪(单位:万元)
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
工龄(单位:年)
9
10
11
12
13
14
15
16
年薪(单位:万元)
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
性别
一般
良好
总计
男
20
100
120
女
30
50
80
总计
50
150
200
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
PM2.5
SO2
[0,50]
(50,150]
(150,475]
[0,35]
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
PM2.5
SO2
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75,115]
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
学生序号
1
2
3
4
5
6
学习时长/分
220
180
210
220
200
230
月份x
1
2
3
4
5
6
7
人均月劳动时间y
8
9
m
12
n
19
22
PM2.5
SO2
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10