2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高二上学期阶段性学业水平检测2（暨拓展考试6）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高二上学期阶段性学业水平检测2（暨拓展考试6）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知数列，则该数列的通项公式可能为 .
【答案】，答案不唯一
【分析】通过观察数列的规律求得正确答案.
【详解】通过观察可知，该数列的绝对值是，即奇数列，
所以.
故答案为：，答案不唯一
2．计算 .
【答案】
【分析】根据等差数列的前项和公式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
3．若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线方程的特点求解.
【详解】由于 是双曲线方程， ；
故答案为：
4．在等差数列中，若，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列的性质由可得：，再利用等差数列的通项公式可得，进而求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，由等差数列的性质可得：，
又，所以，
故答案为：.
5．数列满足，则数列的第2023项为 .
【答案】/
【分析】根据递推关系可通过计算前面，发现数列是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.
【详解】由已知可得，
所以数列为周期数列，且，
所以，
故答案为：
6．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项.
【答案】
【分析】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案.
【详解】依题意，，
则，
当时，，
所以当时，，
所以数列的最大项为第项.
故答案为：
7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份面包数之和恰好是较少的两份面包数之和的倍，则最少的那份面包数是 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的前五项和为，且后三项和是前两项和的倍，
列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得结果.
【详解】设份面包数按照从小到大的顺序排列分别为，
它们组成以为公差的等差数列，
则，
又，可得
联立解得，即最少的那份面包数是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.
等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，
通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
8．已知正项数列满足，则数列的前项和为 .
【答案】
【分析】先判断出是等比数列，求得公比，根据等比数列前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意，正项数列满足，
所以数列是等比数列，设其公比为，，
由得，
由于，所以，
由于，所以解得，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和为.
故答案为：
9．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为 ，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰经过A，B，C中的两点．
【答案】5（或）（答案不唯一）
【分析】根据已知条件结合圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可
【详解】因为，
若过A，C两点，则由题意得，
此时离心率．
若过B，C两点，则由题意得，
此时离心率．
故答案为：5（或）（答案不唯一）
10．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意数列的通项公式为，,满足
，且对任意的恒成立，
当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得
，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
11．在数列中，，，，，，，则 ．
【答案】2
【分析】由递推公式化简，由裂项相消法与累乘法求解，
【详解】由得，
且，则，
故，
，
而，故，
故答案为：2
12．对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，...，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为 .
【答案】1250
【分析】根据给定条件，分五步证明对所有满足的数列，求出的最大值作答.
【详解】①存在大于1的项，否则此时有；
②，否则将拆分成个1后变大；
③当时，有，否则交换顺序后变为，
进一步有，否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大；
④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，
设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，
的值至少变为；
⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，
则有，从而有，
由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大为1250.
故答案为：1250
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
二、单选题
13．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题意得等比数列的前项和列不等式，然后再由，结合函数零点的判断得出答案.
【详解】设天后能打穿，则，化简为，
令，则，又因为由复合函数的单调性可知在内有唯一零点，
所以至少需要天.
故选：C.
14．已知数列的前项和满足：，已知，，则下面结论错误的是（ ）
A．，B．
C．与均为的最大值D．
【答案】C
【分析】利用等差数列的前n项求和公式代入，再联立方程可解.
【详解】等差数列的前项和是，且，，
，即，
，即，.
等差数列的前项为正数，从第项开始为负数，则，．
为的最大值．
故A，B，D正确，错误的是C．
故选：C.
【点睛】考查等差数列的求和公式，此题公差为负数，为递减的等差数列.
等差数列求和公式：.
15．已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则△FAB的周长可能为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，又，可得△FAB的周长为，又知，即可求解.
【详解】
由题意知：抛物线焦点恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于，
由抛物线定义知：，又，故△FAB的周长为，
由图知，故，结合选项知：△FAB的周长可能为5.
故选：B.
16．已知是各项均为正整数的无穷数列，且，对任意与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A．18B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】利用列举法，根据递推关系以及“”取最小值，结合分类讨论来求得正确答案.
【详解】当时，若成立，则，
要使最小，则需当时，成立，
且，此时，当时，显然成立，
同理时，当成立，且，此时，
则.
当且成立时，即，要使最小，
则，此时，当时，成立，
同理，当成立，且，此时.
当时，显然成立.当时，成立，
则，若成立，则，
要使最小，则，
此时.
综上所述，的最小值为.
故选：B
【点睛】本题主要考查利用递推关系式研究数列的性质.通过递推关系式，我们可以推导出数列的通项公式，从而了解数列的规律和特征.比如，等差数列的递推公式可以告诉我们数列中任意一项的值，而等比数列的递推公式则可以告诉我们数列中任意一项与前一项的比值.通过这些信息，我们可以更好地理解数列的性质，并对其进行分类和比较.
三、解答题
17．己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为.
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）先求得直线的方程并与双曲线的方程联立，由此求得的坐标，进而求得的面积.
【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，
所以，虚轴长，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以由解得，
所以.
四、应用题
18．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利.现用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率至少为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
参考数据：
【答案】(1)元
(2)当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息
【分析】（1）根据等比数列的知识求得正确答案.
（2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.
【详解】（1）个月后，本息和为，
个月后，本息和为，
以此类推，个月后，本息和为，
所以个月能获得利息元.
（2）设按季结算的利率为，
个季度后，本息和为，
个季度后，本息和为，
以此类推，个季度后，本息和为，
所以个季度能获得利息，
由，
得，即，
所以.
所以当每季度利率至少为时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
五、解答题
19．数列满足，其中为数列的前项和.
(1)判断数列是否是等比数列，并说明理由；
(2)若为数列的前项和，求与.
【答案】(1)答案详见解析
(2)，
【分析】（1）由化简已知条件，对分类讨论来求得正确答案.
（2）由（1）求得，由求得，对进行分类讨论，利用分组求和法求得.
【详解】（1）依题意，，
则，
所以，
由于，
若，则，则，
此时不是等比数列.
若，则，
此时数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）若，由（1）的数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
，当时，，
所以，
，所以当时，，
当时，.
所以，当时，，
.
当时，，
当时，，
所以
，
所以.
20．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
(2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长；
(3)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点.
【答案】(1)椭圆的方程为，“伴随圆”方程为
(2)
(3)证明详见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程及其“伴随圆”方程；
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简后利用判别式求得，利用点到直线的距离公式以及圆的弦长的计算公式求得.
（3）通过证明来证得直线过原点.
【详解】（1）依题意，，所以，，
所以椭圆的方程为，“伴随圆”方程为.
（2）设直线的方程为，
由消去并化简得，
由得，
圆心到直线的距离为，
所以.
（3）①当、都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆相切，且斜率存在的直线的方程为，
联立，消去得到，
即，，
整理可得，
设、的斜率分别为、，因为、与椭圆都只有一个公共点，
所以、是关于的方程的两个实数根，
因而，即⊥；
②当点，点的坐标满足，此时、分别与两坐标轴垂直，
则.
综上所述，.
所以，所以是“伴随圆”的直径，过原点.
【点睛】方法点睛：求定点问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
六、证明题
21．对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.
【答案】(1)5
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论.
【详解】（1）由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和；
（2）由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得：
（3）要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以，
所以，所以成立
【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高.