2023-2024学年广东省广州侨中高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州侨中高一上学期10月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答.
【详解】显然都是实数，①正确，②错误；
是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误，
所以正确的个数为2.
故选：B
2．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集补集运算.
【详解】由，，得，
所以，
故选：B
3．若，则的值是（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.
【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.
故选：C.
4．已知集合，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数化简集合A，B，根据交集运算即可.
【详解】，
，
.
故选：D
5．已知全集，若集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式化简全集，求出集合M，再利用元素下集合、集合与集合间的关系逐项判断作答.
【详解】依题意，，又，则或，
因此，，不是的子集，，即ABC错误，D正确.
故选：D
6．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，因为，解得，
故选：B
7．已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上都不正确
【答案】C
【分析】先解不等式可得，，再由关于x的不等式的解也是不等式的解，则且，即可得出答案.
【详解】由，可得，即，
若，则不等式的解集为，
若，则不等式的解集为，
因为不等式的解也是不等式的解，
所以且，
所以且，
所以.
故选：C.
8．若正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将条件变形为，然后利用常数代换结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，又为正实数，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
二、多选题
9．实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质、特殊值法和作差法判断可得解.
【详解】解：因为，所以，故选项A正确；
令、，，，满足，
此时，故选项B错误；
因为，所以，，
所以，故选项C正确；
因为，则，
因为，，所以，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A，C，D根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断.
【详解】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．的一个必要不充分条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．已知p：，，则p的否定对应的x的集合为
D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为3
【答案】AC
【分析】根据必要条件、充分条件的定义，集合的基本关系，以及全称命题的否定逐一判断即可．
【详解】解：对于A，因为由，得成立，即成立，反之不成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B不正确；
对于C，已知p：，，即，，故对应的x的集合为，故C正确；
对于D，由，，故集合N的个数为，故D不正确．
故选：AC
12．下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得不等式成立B．若，则函数的最大值为
C．若，则的最小值为1D．函数的最小值为4
【答案】ABD
【分析】根据存在的定义，结合基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：当时，显然不等式成立，因此本选项正确；
B：当时，，
因为，当且仅当取等号，即
当时取等号，于是，所以本选项正确；
C：因为，所以由
当且仅当时取等号，因此本选项不正确；
D：，
当时，即当时取等号，因此本选项正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用基本不等式，运用时要注意不等式成立的条件.
三、填空题
13．已知，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由不等式的基本性质求解即可
【详解】解：，，
则，，
故由不等式的可加性可知，，
故的取值范围是．
故答案为：．
14．设集合且,则a的取值组成的集合是 .
【答案】
【分析】由,可得,即可得到或,分别求解可求出答案.
【详解】由题意,,
①若,解得或,
当时,集合中,,不符合集合的互异性,舍去;
当时,,符合题意.
②若,解得,,符合题意.
综上,的值是-2或0.
故答案为: .
15．已知命题是真命题，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】结合命题真假，得出的范围，得到的最小值，结合命题为真命题，即可求解.
【详解】当时，可得，当且仅当时，等号成立，即，
因为命题为真命题，所以，所以的最大值为.
故答案为：.
16．已知若正数、满足，则的最小值为 ．
【答案】/0.8
【分析】由可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得答案.
【详解】已知正数、满足，则，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．设集合．
(1)，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据补集和交集概念进行求解；
（2）先得到，分和两种情况，得到不等式，求出m的取值范围.
【详解】（1）当时，，故或，
又，故
（2）“”是“”的必要条件，故，
当时，，∴，符合题意；
当时，需满足，解得
综上所述，m的取值范围为或.
18．已知集合，，且.若命题q：“”是真命题，求m的取值范围.
【答案】.
【分析】由题意分析知，根据正难则反的原则即可得到答案.
【详解】q为真，则，因为，
所以，解得，则,
若，则，解得，
则若，.
即m的取值范围为.
19．求解或证明下列各组中两个代数式的大小：
(1)已知均为正实数，比较与﹔
(2)已知，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法比较即可；（2）利用作差法并结合即可证明.
【详解】（1）由题意得，
，
因为均为正实数，所以，，
所以，即
（2）由题意得，，
因为，所以，，，
所以，即
20．已知命题“使不等式成立”是假命题
(1)求实数m的取值集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）首先根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后由或求解即可；
（2）根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
故集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是
21．已知，，．
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，满足恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)36
(2)
【分析】（1）利用基本不等式得到，再利用换元法与二次不等式的解法即可得解；
（2）利用代入法将不等式左式问题转化为，从而利用基本不等式“1”的妙用求得不等式左式的最小值，进而得到关于m的不等式，由此得解．
【详解】（1），，当时，，
当且仅当时等号成立，
令，得，解得：（舍去）或，
，解得，当且仅当时等号成立，
的最小值是36；
（2）当时，，可得．
由得，
又，，，
当且仅当，即时等号成立．
当时，求的最小值是10．
则有，解得，即m的取值范围为.
22．今年第5号台风“杜苏芮”显得格外凶悍。自福建南部沿海登陆以来，“杜苏芮”一路北上，国内不少城市因此遭遇了百年一遇的极端强降水天气，并伴随着洪涝、塌方、泥石流等次生灾害，其中对黑龙江哈尔滨等地影响尤为巨大，此次强降雨时段，不仅带来了严重的城市内涝，部分公路、桥梁发生不同程度水毁。哈尔滨五常市某农场已发现有的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天的速度扩散.灾情发生后，某公司立即组织人力进行救援，每位救援人员每天可抢修农田，劳务费为每人每天400元，公司还为每位救援人员提供240元物资补贴.若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作，渗水造成总损失为元（总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用）.
(1)写出关于的函数解析式；
(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小，并求出总损失.
【答案】(1) ；
(2)元.
【分析】（1）根据的关系，结合总损失的计算方法进行求解即可；
（2）利用基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为每位救援人员每天可抢修农田，需要天完成抢修工作，
所以可得，
显然可得，且，
因为总损失=因渗水造成的直接损失+各项支出费用，
所以，
把代入中，得 ；
（2）
即，当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以应安排名人员参与抢修，才能使总损失最小，此时总损失为元.