2023-2024学年河南省济源市第四中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省济源市第四中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点；
B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生；
D．与大小相仿的所有三角形
【答案】B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可
【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；
对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的确定性，属于基础题
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断.
【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误；
B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误；
C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确；
D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误；
故选：C.
3．若，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出或，求解即可.
【详解】因为，所以或，
由可解得（不符合，舍去）或，
由可解得，
综上，，则.
故选：C.
4．集合，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解.
【详解】因为集合，
所以方程有相等实根2，
根据根与系数的关系可知，，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题.
5．集合M=的非空子集个数是（ ）
A．3B．7C．15D．31
【答案】C
【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数.
【详解】由M=知：
∴非空子集个数为：，
故选：C
【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.
6．已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据Venn图用集合之间的运算关系表示阴影部分，结合集合运算的性质进行求解即可.
【详解】或，
阴影部分用集合表示，
因为，所以，又因为，
所以，因此的元素有3个，
故选：C
7．对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（ ）．
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．
【详解】解：中，由，充分性成立；
由，不能得出，时，，，必要性不成立；
命题是假命题；
中，推不出，如，时，充分条件不成立；
命题是假命题；
中，时，得出，
是的必要条件；
命题是真命题；
中，是无理数是无理数，即充分性成立；
是无理数是无理数，即必要性成立；
“是无理数”是“是无理数”的充要条件，命题是假命题；
故选：．
8．已知，是任意两个非空集合，定义集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中条件，可直接得出结果.
【详解】由题意.
故选：B.
9．设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由已知得，，，故，
故选：B.
10．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】作差法比较大小，即得解
【详解】由题意，
因此
故选：A
【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题
11．下列说法正确的是（ ）
A．最小值为2B．最大值为2
C．最小值为2D．最大值为2
【答案】C
【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立；
当时，，
当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误；
任意，，当且仅当时，
即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确；
当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值，
故D错误.
故选：C.
12．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.同时这是几何法构造基本不等式及其推论的一种方法.
【详解】
连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.
在中，由射影定理可得，即，
由得，
故选：A
二、填空题
13．用列举法表示集合 .
【答案】
【分析】先解一元二次不等式，再根据，得到元素，利用列举法表示即可.
【详解】由得，，
又，知，故.
故答案为：.
14．命题否定形式： .
【答案】
【分析】根据全称命题的否定是变量词否结论即可求解.
【详解】命题否定形式：，
故答案为：.
15．已知正数a，b满足，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正数a，b满足，所以，平方化简得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
故答案为：
16．已知p：，q:，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是
【答案】
【分析】先解两不等式，化简p和q，再由p是q的充分非必要条件，得到p所对应的集合是q所对应集合的真子集，由此列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】由得，即；
由，得，即；
因为p是q的充分非必要条件，
所以是的真子集，
则，解得，
当时，，此时不满足题意；
当时，，此时满足题意；
综上，；
则实数m的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
17．已知全集，集合，，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】根据集合交集和补集，并集的定义分别进行计算即可．
【详解】解：（1），，
．
（2）因为全集，
所以，所以
18．求下列不等式的解.
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】由一元二次不等式、分式不等式的求解原则进行求解.
【详解】解：（1）
解得：
故的解集为
（2）由可得
解得：
故的解集为
19．已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）当时，求出集合，利用并集的定义可求得集合；
（2）分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，故；
（2）当时，即当时，，则；
当时，即当时，，
因为，则或，解得或，此时有.
综上所述，实数的取值范围是或.
20．解答下列各题．
（1）若，求的最小值．
（2）若正数，满足，求的最小值．
（3）若正数，满足，求的取值范围．
【答案】（1）8；（2）18；（3）．
【分析】（1），然后利用基本不等式即可求解；
（2），然后利用基本不等式即可求解；
（3），解不等式即可求解．
【详解】解：（1）因为，则，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为8；
（2）正数，满足，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为18；
（3）正数，满足，
当且仅当时取等号，
解可得，即，
所以的取值范围为．
四、问答题
21．设函数
(1)若不等式的解集为，实数a，b的值；
(2)若该函数过点，且对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由一元二次不等式的解集可得的两根是-1，1，由根与系数的关系列式计算，即可得答案；
（2）由题意确定的关系式，将对任意实数x恒成立，化为在R上恒成立，讨论a的取值，结合一元二次不等式恒成立问题，即可求得答案.
【详解】（1）由题意不等式的解集为，
可知的两根是-1，1，
所以，解得，.
（2）把代入函数得，即，
对任意实数x恒成立，化为在R上恒成立，
①当时，，则，不合题意；
②当时，需满足，解得
综上可得，.
五、应用题
22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪怎样设计才能使整个绿化面积最小，最小值是多少？
【答案】设计草坪宽为米，长为米，最小值为平方米
【分析】整个绿化面积为矩形，设出草坪的长宽，则可得到关于的关系式，再由草坪面积为定值，即，利用基本不等式求最值即可.
【详解】设草坪的宽为米，长为米，
由两块绿草坪的面积均为400平方米，得，
记整个的绿化面积为平方米，由题意可得
，
当且仅当米时，等号成立.
所以设计草坪宽为米，长为米时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米.