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2023-2024学年广东省广州市天河中学高一上学期12月阶段考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省广州市天河中学高一上学期12月阶段考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的值为（ ）
A．－B．
C．－D．
【答案】D
【分析】，利用诱导公式一化简即可得解.
【详解】
故选：D.
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，，即，
，
所以；
故选：D
3．已知，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
4．已知函数，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合分段函数的解析式，直接计算得到答案.
【详解】，.
故选：D
5．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判断函数奇偶性，再判断趋近于时函数值的大小.
【详解】,
故函数为奇函数，故排除A、C;
当趋近于，则趋近于0，则趋近于，
又在趋于时增速远比快，故趋近于0，
故当趋近于时，趋近于0，故排除D;
故选：B.
6．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，结合零点存在定理可判断零点所在区间.
【详解】由已知得，所以，
又，
，
，
，
所以零点所在区间为，
故选：B.
7．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则PP棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据题意建立函数模型，解函数不等式即可.
【详解】设过滤后水中大颗粒杂质含量为，则经过层过滤后，满足，，
若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，
则，即，
∵在区间上单调递增，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴的最小值为，
∴PP棉滤芯层数最少为.
故选：B.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，对于，，且，都有成立，若实数m满足，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性化简不等式，进而求得的取值范围.
【详解】依题意，函数是定义在R上的偶函数，，
构造函数，则，
所以是奇函数，图象关于原点对称.
由于，，且，都有成立，
即，所以在上递减，
所以在上递减.
由，
即，，
即，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是；
B．终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C．角为第四象限角的充要条件是；
D．若角的终边上一点的坐标为，则.
【答案】AD
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；
易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；
由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确.
故选：AD
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的终边在第二象限B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对平方化简可求出的值，解方程组可求出，然后分析判断各选项
【详解】由，得，
所以，所以D正确，
因为，所以，所以
所以A正确，
由和，解得，
所以B错误，
由，得，所以C正确，
故选：ACD
11．有下列几个命题，其中错误的命题是（ ）
A．已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为
B．若
C．函数的单调递增区间是
D．已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则
【答案】AC
【分析】计算得到A错误，根据均值不等式计算B正确，验证不满足定义域，C错误，确定函数单调性，根据对称性计算D正确，得到答案.
【详解】对选项A：扇形面积为，错误；
对选项B：，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项C：当时，，不满足定义域，错误；
对选项D：当时，函数单调递减，的图像关于对称，
则，故，正确.
故选：AC
12．已知函数，令，则（ ）
A．当时，的零点为2
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若存在实数，满足，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】确定函数解析式，变换，画出函数图象，根据图像的交点知AB正确，函数值域为，C错误，确定，，D正确，得到答案.
【详解】当时，，当时，，
，即，，画出函数图象，如图所示：
对选项A：当时，的零点为2，正确；
对选项B：若有2个零点，则或，正确；
对选项C：的值域是，错误；
对选项D：，，，
则，即，，，正确；
故选：ABD
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】的定义域满足，解得.
故答案为：.
14．已知，则 ， ．
【答案】
【分析】变换得到，解得，变换，计算得到答案.
【详解】，则，解得，
.
故答案为：；
15．函数（，且）的图象所经过的定点A在幂函数上，则 ．
【答案】/
【分析】计算得到，确定幂函数为，代入计算得到答案.
【详解】，，故，
为幂函数，则，解得，故，
在幂函数上，则，，解得.
故答案为：
16．已知函数，则 ；若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】计算得到，变换，根据函数单调性得到，计算最值得到答案.
【详解】，，
，即，
因为在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递增，
故，即，，故.
故答案为：；.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
(1)求；
(2)求的值；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据点在单位圆上得到，计算，，再根据诱导公式计算得到答案.
（2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可.
【详解】（1），为锐角，故，解得，
，，
，.
（2）
.
18．（1）求值：
（2）化简：
（3）已知，若，求的值；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则直接计算即可.
（2）根据三角函数运算公式直接计算即可.
（3）计算得到答案.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3），
，故.
19．设.
(1)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设，将问题化为对任意恒成立，讨论、，结合二次函数性质求参数范围；
（2）由题设可得，讨论、求对应解集即可.
【详解】（1）由题设，即对任意恒成立，
当，则，显然对任意不恒成立；
当，则，即，故；
综上，.
（2）由，则，
所以，显然，
当，即时，解得或，解集为；
当，即时，解得或，解集为.
20．设且，且．
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)证明的奇偶性，并求函数在区间上的最值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对数函数的运算性质及定义域求解即可；
（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可.
【详解】（1）由可得，解得，
所以函数，则满足，解得，
所以函数的定义域是.
（2）由题意，函数的定义域为关于原点对称，
，即，所以为奇函数，
因为，
法一：设任意的，有
则
因为，所以，
所以，所以，即，
所以函数在区间上单调递增
所以在区间上单调递增
法二：设，可得函数在区间上单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，
.
21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．
(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；
(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？
【答案】(1)A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；
B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.
(2)①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.
【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；
（2）①：利用代入法进行求解即可；
②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为A产品的利润y与投资x成正比，
所以设，由函数图象可知，当时，，
所以有，所以；
因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，
所以设，由函数图象可知：当时，，
所以有，所以；
（2）①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，
所以A产品的利润为，
B产品的利润为，
所以获得总利润为万元；
②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，
设企业获得的总利润为万元，
所以，令，
所以，
当时，即当时，有最大值，最大值为，
所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.
22．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
一、单选题
1．的值为（ ）
A．－B．
C．－D．
【答案】D
【分析】，利用诱导公式一化简即可得解.
【详解】
故选：D.
2．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，，即，
，
所以；
故选：D
3．已知，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由诱导公式化简后即可求值．
【详解】＝-sin[]＝
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．
4．已知函数，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合分段函数的解析式，直接计算得到答案.
【详解】，.
故选：D
5．函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判断函数奇偶性，再判断趋近于时函数值的大小.
【详解】,
故函数为奇函数，故排除A、C;
当趋近于，则趋近于0，则趋近于，
又在趋于时增速远比快，故趋近于0，
故当趋近于时，趋近于0，故排除D;
故选：B.
6．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，结合零点存在定理可判断零点所在区间.
【详解】由已知得，所以，
又，
，
，
，
所以零点所在区间为，
故选：B.
7．净水机常采用分级过滤，其中第一级过滤一般由孔径为微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则PP棉滤芯层数最少为（ ）（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据题意建立函数模型，解函数不等式即可.
【详解】设过滤后水中大颗粒杂质含量为，则经过层过滤后，满足，，
若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，
则，即，
∵在区间上单调递增，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴的最小值为，
∴PP棉滤芯层数最少为.
故选：B.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，对于，，且，都有成立，若实数m满足，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性化简不等式，进而求得的取值范围.
【详解】依题意，函数是定义在R上的偶函数，，
构造函数，则，
所以是奇函数，图象关于原点对称.
由于，，且，都有成立，
即，所以在上递减，
所以在上递减.
由，
即，，
即，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是；
B．终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C．角为第四象限角的充要条件是；
D．若角的终边上一点的坐标为，则.
【答案】AD
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；
易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；
由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确.
故选：AD
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．的终边在第二象限B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对平方化简可求出的值，解方程组可求出，然后分析判断各选项
【详解】由，得，
所以，所以D正确，
因为，所以，所以
所以A正确，
由和，解得，
所以B错误，
由，得，所以C正确，
故选：ACD
11．有下列几个命题，其中错误的命题是（ ）
A．已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为
B．若
C．函数的单调递增区间是
D．已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则
【答案】AC
【分析】计算得到A错误，根据均值不等式计算B正确，验证不满足定义域，C错误，确定函数单调性，根据对称性计算D正确，得到答案.
【详解】对选项A：扇形面积为，错误；
对选项B：，
当且仅当，即时等号成立，正确；
对选项C：当时，，不满足定义域，错误；
对选项D：当时，函数单调递减，的图像关于对称，
则，故，正确.
故选：AC
12．已知函数，令，则（ ）
A．当时，的零点为2
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若存在实数，满足，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】确定函数解析式，变换，画出函数图象，根据图像的交点知AB正确，函数值域为，C错误，确定，，D正确，得到答案.
【详解】当时，，当时，，
，即，，画出函数图象，如图所示：
对选项A：当时，的零点为2，正确；
对选项B：若有2个零点，则或，正确；
对选项C：的值域是，错误；
对选项D：，，，
则，即，，，正确；
故选：ABD
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】的定义域满足，解得.
故答案为：.
14．已知，则 ， ．
【答案】
【分析】变换得到，解得，变换，计算得到答案.
【详解】，则，解得，
.
故答案为：；
15．函数（，且）的图象所经过的定点A在幂函数上，则 ．
【答案】/
【分析】计算得到，确定幂函数为，代入计算得到答案.
【详解】，，故，
为幂函数，则，解得，故，
在幂函数上，则，，解得.
故答案为：
16．已知函数，则 ；若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】计算得到，变换，根据函数单调性得到，计算最值得到答案.
【详解】，，
，即，
因为在上单调递增，则在上单调递减，
所以在上单调递增，
故，即，，故.
故答案为：；.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．
(1)求；
(2)求的值；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据点在单位圆上得到，计算，，再根据诱导公式计算得到答案.
（2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可.
【详解】（1），为锐角，故，解得，
，，
，.
（2）
.
18．（1）求值：
（2）化简：
（3）已知，若，求的值；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则直接计算即可.
（2）根据三角函数运算公式直接计算即可.
（3）计算得到答案.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3），
，故.
19．设.
(1)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题设，将问题化为对任意恒成立，讨论、，结合二次函数性质求参数范围；
（2）由题设可得，讨论、求对应解集即可.
【详解】（1）由题设，即对任意恒成立，
当，则，显然对任意不恒成立；
当，则，即，故；
综上，.
（2）由，则，
所以，显然，
当，即时，解得或，解集为；
当，即时，解得或，解集为.
20．设且，且．
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)证明的奇偶性，并求函数在区间上的最值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
【分析】（1）由对数函数的运算性质及定义域求解即可；
（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可.
【详解】（1）由可得，解得，
所以函数，则满足，解得，
所以函数的定义域是.
（2）由题意，函数的定义域为关于原点对称，
，即，所以为奇函数，
因为，
法一：设任意的，有
则
因为，所以，
所以，所以，即，
所以函数在区间上单调递增
所以在区间上单调递增
法二：设，可得函数在区间上单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，
.
21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．
(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；
(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？
②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？
【答案】(1)A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；
B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.
(2)①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.
【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；
（2）①：利用代入法进行求解即可；
②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）因为A产品的利润y与投资x成正比，
所以设，由函数图象可知，当时，，
所以有，所以；
因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，
所以设，由函数图象可知：当时，，
所以有，所以；
（2）①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，
所以A产品的利润为，
B产品的利润为，
所以获得总利润为万元；
②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，
设企业获得的总利润为万元，
所以，令，
所以，
当时，即当时，有最大值，最大值为，
所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.
22．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
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