2023-2024学年河北省石家庄十七中高一上学期第一次月考（10月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄十七中高一上学期第一次月考（10月）数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集为R，集合，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由全称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
3．已知a，b，c满足cA．ab>acB．c(b－a)<0
C．cb20
【答案】A
【分析】根据已知条件，求得的正负，再结合，则问题得解.
【详解】由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立，即正确；
因为，故，故错误；
若时，显然不满足，故错误；
因为，故，故错误.
故选：.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.
4．集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解集得集合，讨论集合的取值情况使得满足，从而可得实数a的取值范围.
【详解】由可得，解得或，则或
当，即时，集合，符合；
当，即时，若，则，可得；
综上，实数a的取值范围为.
故选：A.
5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式恒成立，只需求（）的最小值即可
【详解】令（），
则，当且仅当=2时，等号成立.
由题意知，所以.
故选：A.
6．已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】分两种情况考虑，时，不等式成立；时，需满足，综上，即可得到本题答案.
【详解】①当时，不等式成立，∴；
②当时，则有，解得；
综上，．
故选：B．
7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，则，则，
又因为表示不大于的最大整数，
所以不等式的解集为：，
因为所求的时不等式成立的充分不必要条件，
所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可，
选项中只有⫋.
故选：B.
8．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，，
当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，
即 ，解得.
故选：C.
二、多选题
9．下列四个命题为真命题的是（ ）
A．所有平面四边形的内角和都是B．
C．是无理数}，是无理数D．对所有实数a，都有
【答案】AC
【分析】根据全称命题和特称命题的性质逐项判断真假即可.
【详解】对于A，所有平面四边形的内角和都是，故A是真命题；
对于B，由于方程的，再根据二次函数图象可得一元二次不等式在实数上解集为，故B是假命题；
对于C，例如是无理数，则也是无理数，故C是真命题；
对于D，当时，，故D是假命题.
故选：AC.
10．集合，则下列关系错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】先将集合M，N进行化简，然后根据元素的关系判断集合的关系．
【详解】
时，表示所有奇数，表示所有整数，
所以且，所以CD正确.
故选：AB
11．设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，，为正实数，则，故，
即，故，A错误；
对于B，由于，当且仅当即时取等号，
，当且仅当即时取等号，
故，B正确；
对于C，因为，为正实数，，故，
故，即，C正确；
对于D，因为，为正实数，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，D错误，
故选：BC
12．下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，，
D．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对A，当时，不成立；
对B，当时，成立；
对C，将分式化整式，等价转化为证明命题即可；
对D，分离参数转化为求函数最值求解.
【详解】对选项A，当时，，不满足，故A错误；
对选项B，当时，成立，
即，使得成立，故B正确；
对选项C，由，，
.
又，且，
两式相乘得，结论得证，故C正确；
对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可.
因为，由得，
设，
则，当且仅当即时，等号成立.
故的最小值为，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数 .
【答案】
【解析】由已知及可得，则或，分别解出得值，再检验集合、满足互异性即可.
【详解】由已知及可得，
所以或，
当即时，此时不满足元素互异性，不符合题意，
当即或，
若则不满足元素互异性，不符合题意，
若则，，满足，符合题意.
所以实数，
故答案为：.
14．给出以下四个条件：①；②或；③；④且．其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是 ．
【答案】③④
【分析】根据不等式的性质，结合充分不必要条件的判定方法，逐个判定，即可求解.
【详解】对于①中，由，则可能且，此时，所以充分性不成立；
对于②中，例如，满足或，此时，所以充分性不成立；
对于③中，由，可得，反之不成立，
所以是的充分不必要条件；
对于④中，由且，则，反之：若，不一定得到且，
所以且是的充分不必要条件.
故答案为：③④
15．若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解.
【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，
不妨设，其开口向上，对称轴方程为，
则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当即时，在上单调递增，
此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；
情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时有，只需，
解不等式组得，
故此时满足题意的实数的范围为；
情形三：当即时，在上单调递减，
此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
16．已知正实数满足，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将，变形为，再由，利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
（当且仅当时，联立，
解得），
所以的最小值为4，
故答案为：4
四、问答题
17．设集合，不等式的解集为．
(1)当时，求．
(2)当时，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法、集合的运算、数轴法分析运算即可得解.
（2）利用集合的关系运算即可得解.
【详解】（1）解：当时，，
不等式即为，解得：，
∴，
如上图，可得：.
（2）解：由（1）知，则由可知：
当时，，，满足；
当时，，则由可得：，
解得：；
综上知，，即实数的取值范围是.
五、解答题
18．第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之前，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完．每万台的年销售收入t（万元）与年产量x（万台）满足关系式：，年利润为y（万元），求年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大?并求最大利润．
【答案】时，.
【分析】根据题意，由条件可得，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，且，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，.
即年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1360万元.
19．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，
（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，
【详解】（1）由题意得在时恒成立，
∴，得，即.
（2）不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件.
③当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时，
综上①②③可得.
20．已知二次函数（为实数）
(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)对，时，恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，转化为恒成立，进而得到对恒成立，令，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，求得，得到，结合基本不等式，即可求得最小值.
【详解】（1）解：因为时，，可得，即，
对，恒成立，即恒成立，所以恒成立，
因为，所以对恒成立，
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时，等号成立，
所以，即实数的取值范围时．
（2）解：对，时，恒成立，所以，解得，
所以，当且仅当且，
即时，取等号，所以最小值是.