2023-2024学年广东省广州市北师大广实高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市北师大广实高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，，则的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以
故选：D
2．已知命题p：“，”，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据含有全称量词命题的否定进行判断即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“，”的否定是“，”．
故选：C．
3．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，
经过此操作后,区间长度变为，
用二分法求函数在区间上近似解,
要求精确度为，
，解得，
故选：C.
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除AC，根据函数在上的符号排除D，可得答案.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，
故函数为偶函数，其图象关于轴对称，故AC不正确；
当时，，，故，故D不正确.
故选：B.
5．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性并与特殊值比较即可求解.
【详解】，
，
，
又，
所以.
故选：B.
6．函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与关于y轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出关于轴对称的函数解析式，再向左平移1个单位即可得解．
【详解】因为关于轴对称的解析式为，
把的图象向左平移1个单位长度得出，
，
故选：D．
7．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由二次函数、指数函数单调性，结合复合函数单调性判断单调性.
【详解】令，在上递减，在上递增，
而在定义域上单调递增，故在上递减.
故选：B
8．定义一种运算，设（为常数，且，则使函数的最大值为4的的值可以是（ ）
A．或4B．6C．4或6D．
【答案】A
【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为，确定的取值即可．
【详解】在上的最大值为，
所以由，解得或，
所以时，，
所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，
当时，即时，，此时解得，符合题意；
当时，即时，，此时解得，符合题意；
故或.
故选：A
二、多选题
9．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是
C．当时的最小值为
D．当时，的最小值是5
【答案】AC
【分析】利用基本不等式逐项进行检验即可判断.
【详解】对于A，因为，所以当且仅当时取等，故选项A正确；
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，则的最大值是，故选项B错误；
对于C，因为，则，所以当且仅当，
即时取等号，所以当时的最小值为，故选项C正确；
对于D，因为，则，所以
当且仅当，即时取等号，所以当时，的最大值是，故选项D错误，
故选：.
10．设且，函数，下列说法正确的是（ ）
A．与在各自的定义域内有相同的单调性
B．与两者的图象关于直线对称
C．与两者都既不是奇函数，又不是偶函数
D．与有相同的定义域和值域
【答案】ABC
【分析】根据指对数的关系及指对数函数的性质判断各项正误.
【详解】由指对数关系知：互为反函数，即关于直线对称，B对；
由于相同，则在各自定义域上单调性相同，且都是非奇非偶函数，A、C对；
由定义域为R，值域为，定义域为，值域为R，
所以与的定义域和值域都不同，D错.
故选：ABC
11．已知函数，若函数恰有个零点，则的值可能为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】BC
【分析】首先画出函数的图象，利用函数零点的定义，转化为函数和有3个交点，利用数形结合，即可求的取值范围.
【详解】因为，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，函数在上单调递减，
如图，画出函数的图象，
若函数有个零点，即有个实数根，即函数和有个交点，
结合图象，可知.
故选：BC.
12．已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递减，在区间上单调递增
D．不等式的解集是
【答案】ABD
【分析】对于，令，可得，正确；对于，令，可得，正确；对于，利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，错误；对于,利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断.
【详解】对于，令，得，即，正确；
对于，令，得，因为，所以，正确；
对于，对任意，则，
所以，所以在上单调递增，错误；
对于，又，
所以原不等式等价于，
因为在上单调递增，所以，解得正确.
故选：
三、填空题
13．已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为 .
【答案】12
【分析】由弧长公式直接求解即可．
【详解】由题可得这条弧的弧长为．
故答案为：12
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据题意得到定义域满足，解得答案.
【详解】定义域满足：，解得.
故答案为：
15．求函数的值域 ．
【答案】/
【分析】先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.
【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．
故答案为：.
16．已知函数，若对于任意的实数和，当，时，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】原问题可转化为，再根据与区间分类讨论，求出对应范围内，,建立不等式求解即可.
【详解】因为，时，都有成立，
所以，
当，则，
所以，
此时，
当时，最大值必为与中较大者，
当时，最大值为
因为，所以，
而当时，，所以
所以只需，解得，而，
故
当时，，
所以，
此时，当或时，，
所以只需，
解得，
由，故
当时，，
所以，
此时，函数在上递减，当时，，
所以只需，
解得，又，
故无解.
综上，
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】根据指数幂运算律和对数式运算律进行运算，得到结果.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．已知.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将已知条件两边同时平方结合即可求解
（1）先求出的值结合角的范围即可得的值，结合（1）中的值即可求解.
【详解】（1）将，两边平方得，
即，则.
（2）因为，
所以，
因为，所以，
则，
所以.
19．设.
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围
【答案】(1) (2)
【解析】化简集合A，B，
（1）由p是q的充分不必要条件可得，据此建立不等关系求解；
（2）由p是q的必要不充分条件可得，建立不等式组求解.
【详解】，得;解，得;
令，.
（1）由p是q的充分不必要条件可得，
有，解得，
所以a的取值范围是.
（2）由p是q的必要不充分条件可得，
因为，所以，则有
，解得，
所以a的取值范围是.
20．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1).
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【答案】（1）可用③来描述x，y之间的关系；（2）该企业要考虑转型.
【分析】（1）把(3，1)，(5，2)分别代入三个函数中，求出函数解析式，然后再把x＝9代入所求的解析式中，若y＝3，则选择此模型；
（2）由（1）可知函数模型为y＝lg2(x－1)，令lg2(x－1)>6，则x>65，再由与10%比较，可作出判断
【详解】（1）将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得，所以y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得所以.
当x＝9时，，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得所以y＝lg2(x－1).
当x＝9时，y＝lg28＝3；
当x＝17时，y＝lg216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）令lg2(x－1)>6，则x>65.
因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型.
【点睛】此题考查函数模型的应用，考查分析问题的能力，属于中档题
21．己知．
(1)判断的奇偶性并说明理由；
(2)求证：函数在上是增函数；
(3)若不等式对任意和都恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义即可求解；
（2）利用函数单调性定义即可判断；
（3）根据题意求出，从而可得，设，只需即可求解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
理由如下，
定义域，关于原点对称，
又，
所以是定义在上的奇函数.
（2）证明：设为区间上的任意两个值，且，
则，
因为，
所以，，
即；
所以函数在上是增函数.
（3）由（1）（2）可知时，．
所以，即，对恒成立，
令，，则只需，即，
解得，故的取值范围为．
22．已知函数，，.
(1)若，方程有解，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
(3)设，记为函数在上的最大值，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域；
（2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围；
（3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值．
【详解】（1），
因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上为减函数.

故的取值范围为.
（2）∵对任意的，总存在，使得，
∴在上，，
∵函数图象的对称轴是直线，又
∴当时，函数有最大值为，
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域，
∴，得，
∴；
③当时，在上的值域为，只需，∴.
综上，的取值范围为.
（3）函数为的对称轴为，
当或时，在上单调递增，
则；
当时，，
解，得，
故当，.
综上，.
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴时取最小值为.
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…