2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五校联考高一（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五校联考高一（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{1，2，4，8}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，4，8}
2．（5分）已知函数，则f（﹣2022）+f（2022）的值是（ ）
A．﹣2022B．0C．1D．2022
3．（5分）函数的定义域为（ ）
A．.（1，+∞）B．.[1，+∞）
C．.（1，）D．
4．（5分）设x∈R，则“x＜3”是“x（x﹣2）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）函数+2在[0，1]上的最小值为（ ）
A．2B．C．2D．3
6．（5分）设偶函数f（x）的定义域为R，当∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则，f（π），f（﹣3）的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表：
若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（ ）
A．27m3B．28m3C．29m3D．30m3
8．（5分）函数，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣4，﹣1]B．[﹣4，﹣2]C．（﹣5，﹣1]D．[﹣5，﹣4]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知a＞b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a2＞abB．b2＞ab
C．＞bD．a2（a﹣b）＞b2（b﹣a）
（多选）10．（5分）设定义在R上的函数f（x），则下列函数必为偶函数的有（ ）
A．y＝f（|x|）B．y＝f（x2）
C．y＝﹣f（﹣x）D．y＝f（x）+f（﹣x）
（多选）11．（5分）若函数的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．0
（多选）12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足：f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）+1，且f（1）＝0，当x＞0时，f（x）＜1．则下列选项正确的是（ ）
A．f（0）＝1B．f（2）＝﹣2
C．f（x）﹣1为奇函数D．f（x）为R上的减函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）命题“∃x∈R，x2+1≥0”的否定是 ．
14．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（﹣3，﹣27），则＝ ．
15．（5分）若“1﹣m＜x+m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
16．（5分）已知k≥0，函数f（x）＝有最大值，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
（1）若A＝{1}，求a，b的值；
（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．
18．（12分）（1）比较A＝a2+b2+c2+14和B＝2a+4b+6c的大小；
（2）请判断“a＞b，c＞d”是“a﹣d＞b﹣c”的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）
19．（12分）已知函数，x∈（﹣2，2）．
（1）用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增；
（2）求不等式f（t）+f（1﹣2t）＞0的解集．
20．（12分）（1）若关于x的不等式x2﹣mx+n＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式nx2+mx+1＞0的解集；
（2）已知两个正实数x，y满足，并且x+2y≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）对于定义在D上的函数f（x），若存在实数m，n且m＜n，使得f（x）在区间[m，n]上的最大值为，最小值为，则称[m，n]为f（x）的一个“保值区间”．
已知函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞））时，g（x）＝﹣x+3．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在（0，+∞）内的“保值区间”；
（3）若以函数g（x）在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，求函数y＝h（x）的值域．
2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市五校联考高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】利用集合的交集运算，即可得到本题的答案．
【解答】解：由已知集合A及集合B仅有公共元素1，2，
所以A∩B＝{1，2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算及其应用等知识，属于基础题．
2．【分析】根据解析式求得定义域，判断奇偶性，进而求得结论．
【解答】解：∵函数，定义域为{x|x≠0}，
且 f（﹣x）+f（x）＝﹣x﹣+x＝0，
故f（﹣2022）+f（2022）＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得x≥1且，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≥1且}，
用区间表示为，
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4．【分析】根据题意解不等式x（x﹣2）＜0，得到0＜x＜2，根据范围的大小关系得到答案．
【解答】解：不等式x（x﹣2）＜0，即0＜x＜2，由x（x﹣2）＜0可推出x＜3，
反之，可能x＝2，则x（x﹣2）＝0，所以x＜3不可以推出x（x﹣2）＜0，
故“x＜3”是“x（x﹣2）＜0”的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
5．【分析】先判断函数的单调性，然后结合单调性即可求解函数的最值．
【解答】解：因为 在[0，1]上单调递减，
所以当x＝1时取最小值为f（1）＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．
6．【分析】根据函数f（x）为偶函数，得到，f（﹣3）＝f（3），再利用x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数求解．
【解答】解：因为函数f（x）为偶函数，
所以，f（﹣3）＝f（3），
因为当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，
又，
所以，即．
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合运用，属于基础题．
7．【分析】根据题意设此户居民本月的用水量为xm3，水费为y元，分类讨论0＜x≤15，15＜x≤22，x＞22，即可得出答案．
【解答】解：设此户居民本月的用水量为xm3，水费为y元，
当0＜x≤15时，则y＝2.07x≤2.07×15＝31.05＜108.1；
当15＜x≤22时，则y＝15×2.07+4.07（x﹣15）＝4.07x﹣30≤4.07×22﹣30＝59.54＜108.1；
当x＞22时，则y＝2.07×15+4.07×（22﹣15）+6.07（x﹣22）＝6.07x﹣74，
要使某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则x＞22，
即6.07x﹣74＝108.1，解得x＝30，
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．【分析】确定函数f（x）在R上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案．
【解答】解：因为对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，
所以f（x）是R上的减函数，
则，
解得﹣4≤a≤﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【分析】直接利用作差法和不等式的基本性质的应用求出结果．
【解答】解：对于A：当a＜0时，不等式不成立，故A错误；
对于B：当b＜0时，不等式不成立，故B错误；
对于C：由于a＞b，所以a+b＞2b，即，故C正确；
对于D：由于a2（a﹣b）﹣b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2+b2）＞0成立，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10．【分析】利用函数奇偶性的概念逐项判定即可．
【解答】解：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
对于A，令g（x）＝f（|x|），
∵g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|），
∴g（x）为偶函数，A选项正确；
对于B，令g（x）＝f（x2），
∵g（﹣x）＝f[（﹣x）2]＝f（x2）＝g（x），
∴g（x）＝f（x2） 为偶函数，B选项正确；
对于C，令 g（x）＝﹣f（﹣x），
∵g（﹣x）＝﹣f（x），g（x）＝﹣f（﹣x），
∴无法判断奇偶性，C选项错误；
对于D，令g（x）＝f（x）+f（﹣x），
∵g（﹣x）＝f（﹣x）+f（x）＝g（x），
∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）为偶函数，D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题．
11．【分析】由已知结合一次函数及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：①a＝0时，，值域为[0，+∞），满足题意；
②a≠0时，若 的值域为[0，+∞），则，
综上，．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质在函数值域求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
12．【分析】取x＝y＝0代入计算得到A正确，计算f（2）＝﹣1，B错误，变换得到f（﹣x）﹣1＝﹣[f（x）﹣1]，C正确，根据函数单调性的定义得到D正确，得到答案．
【解答】解：对选项A：取x＝y＝0，则f（0）＝f（0）﹣f（0）+1，故f（0）＝1，正确；
对选项B：f（﹣1）＝f（0）﹣f（1）+1＝2，f（2）＝f（1）﹣f（﹣1）+1＝﹣1，错误；
对选项C：f（﹣x）＝f（0）﹣f（x）+1＝2﹣f（x），f（﹣x）﹣1＝﹣[f（x）﹣1]，f（x）﹣1为奇函数，正确；
对选项D：当x1＞x2时，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1＜0，f（x）是R上的减函数，正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查抽象函数的性质，属于基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“∃x∈R，x2+1≥0”的否定是：∀∈R，x2+1＜0．
故答案为：：∀∈R，x2+1＜0．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
14．【分析】设幂函数 f（x）＝xa，则（﹣3）a＝﹣27，解得a＝3，从而 f（x）＝x3，由此能求出结果．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xa，
所以（﹣3）a＝﹣27，解得a＝3，
所以f（x）＝x3，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．【分析】先解出两个不等式，然后根据已知得出对应的集合的包含关系，由此建立不等式即可求解．
【解答】解：由1﹣m＜x+m＜2m可得：1﹣2m＜x＜m，
由0＜＜1可得：﹣1＜x＜1，
因为“1﹣m＜x+m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分条件，
所以（1﹣2m，m）⫌（﹣1，1），则，解得m＞1，
故实数m的取值范围为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了四个条件的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16．【分析】要使f（x）＝有最大值，只需k＞0且，然后求出k的取值范围即可．
【解答】解：当k＝0时，无最大值，
要使函数存在最大值，则k＞0且，
即，所以k⩾1，
所以k的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了函数的最值及其几何意义，考查了转化思想，属基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．【分析】（1）若A＝{1}，则，由此能求出a，b；
（2）由B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，得，由此能求出a，b．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
若A＝{1}，则，
解得a＝2，b＝1；
（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，
∴，
解得a＝﹣3，b＝2．
【点评】本题考查集合的运算，考查集合相等、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．【分析】（1）作差判断即可；（2）根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：（1）由 A﹣B＝a2+b2+c2+14﹣2a﹣4b﹣6c
＝（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）
＝（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2．
由 （a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c﹣3）2≥0，
可得A﹣B≥0，
故A与B的大小关系为A≥B．
（2）①先判断充分性：
当a＞b，c＞d时，有﹣d＞﹣c，
则 a﹣d＞b﹣c，故充分性成立．
②再判断必要性．
取a＝3，d＝1，b＝4，c＝3，
此时a﹣d＝3﹣1＝2＞b﹣c＝4﹣3＝1，但a＜b，
故必要性不成立．
由①②知，“a＞b，c＞d”是“a﹣d＞b﹣c”的充分不必要条件．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题．
19．【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即可．
（2）判断函数f（x）为奇函数，通过函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增列出不等式组求解即可．
【解答】（1）证明：任取2＞x1＞x2＞0，则，………………（4分）
因为2＞x1＞x2＞0，
所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，
所以f（x）在（0，2）上单调递增；………………（6分）
（2）解：函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
因为，
所以函数f（x）为奇函数，……………………（9分）
又f（0）＝0，所以函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，………………（10分）
原不等式可化为不等式f（t）＞﹣f（1﹣2t）＝f（2t﹣1），
因此解得，
所以原不等式的解集为．……………………（12分）
【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20．【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得m，n，再解不等式即可．
（2）利用基本不等式求x+2y的最小值，再解不等式即可．
【解答】解：（1）∵不等式x2﹣mx+n＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
∴x1＝2，x2＝3是方程x2﹣mx+n＝0的两个根，
由韦达定理得：2+3＝m，2×3＝n，
即m＝5，n＝6，
解不等式6x2+5x+1＞0，可得或，
故6x2+5x+1＞0的解集为或．
（2）∵x+2y≥a2﹣2a恒成立，∴，
，
当且仅当，即x＝y＝3时等号成立，
所以a2﹣2a≤9，解得，
则实数a的范围是[]．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式的应用，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．【分析】（1）由已知结合二次函数的单调性即可求解；
（2）由已知结合二次函数闭区间上的最值求解即可求解．
【解答】解：（1）因为函数 的对称轴为 且开口向上，
所以若函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，则 ，
解得，
所以a的取值范围是；
（2）记g（x）＝＝（x﹣a）2﹣a2+a≥﹣a2+a，
假设存在实数a，使得函数g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2，
则﹣a2+a≤﹣2 得 a2﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣1或a≥2．
当a≤﹣1时，g（x）在[﹣1，1]上递增，g（x）min＝g（﹣1）＝3a+1，所以3a+1＝﹣2，得a＝﹣1，
当a≥2时，g（x）在[﹣1，1]上递减，g（x）min＝g（1）＝1﹣a，所以1﹣a＝﹣2，得a＝3，
综上所述，存在实数a＝﹣1或a＝3，使得函数 在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数单调性的应用，还考查了二次函数闭区间上最值求解，属于中档题．
22．【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）由（1）可知g（x）在（0，+∞）上单调递减，于是有，结合0＜m＜n，求解即可；
（3）由题意可得，进而得h（x）＝，即可求得h（x）的值域．
【解答】解：（1）因为g（x）为R上的奇函数，则g（0）＝0，
设x∈（﹣∞，0），则﹣x∈（0，+∞），g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣（x+3）＝﹣x﹣3．
所以g（x）＝；
（2）设0＜m＜n，由g（x）在（0，+∞）上单调递减，
可得，
即m，n是方程的两个不等正根．
因为0＜m＜n，
所以解得，
所以g（x）在（0，+∞）内的“保值区间”为[1，2]；
（3）设[m，n]为g（x）的一个“保值区间”，则，
∴m，n同号，
当m＜n＜0时，同理可求g（x）在（﹣∞，0）内的“保值区间”为[﹣2，﹣1]，
所以h（x）＝，
所以h（x）的值域是：[﹣2，﹣1]∪[1，2]．
【点评】本题属于新概念题，考查了奇函数的性质，理解概念是关键，属于中档题．每户每月用水量
水价
不超过15m3的部分
2.07元/m3
超过15m3但不超过22m3的部分
4.07元/m3
超过22m3的部分
6.07元/m3