2022-2023学年安徽省合肥一中六校联盟高一上学期期中联考数学试题含答案

合肥六校联盟2022-2023学年第一学期期中联考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）命题学校：合肥工大附中 命题教师：王峰 审题教师：高永红一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案）1. 已知集合，集合，则与的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据集合的相等、交集、子集判断即可.【详解】因为，，所以，，错误，正确.故选：C2. 已知集合或，，则集合中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合补集、交集运算，即可求解.【详解】根据题意，可知，由，得，集合中有3个元素.故选：B.3. 如果，且，那么以下不等式正确的个数是（ ）①；②；③；④.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】由知，．又，∴，∴，即．又，∴，，∴，故①正确，③正确，④也正确，又，，故②错误．故选：C．4. 若不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）A. B. ，或C. D. ，或【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，从而即可求出的取值范围.【详解】∵不等式的解集为空集，∴，∴故选：A.5. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.6. 函数在上的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，，则，得到函数的单调区间，计算函数值得到值域.【详解】设，，，则，则，根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，，，故函数值域为.故选：C7. 已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据函数奇偶性求出函数在时的解析式，即可得到在定义域上的解析式，画出函数图象，即可得到函数在定义域上单调递增，则原不等式等价于对任意实数恒成立，对分两种情况讨论，当时，则，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为定义在上的奇函数满足：当时，，设，则，所以，即，函数图象如下所示：由函数图象可知函数在定义域上单调递增，若不等式对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，即恒成立，当时，不恒成立，当时，则，解得；综上可得故选：C8. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为函数的值域为，所以函数的的图象与轴有且仅有一个交点，所以，即，不等式的解集为，即的解集为，所以方程的两个根为，所以， 消去可得，，解得.故选：D.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 的一个必要不充分条件是B 若集合中只有一个元素，则C. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为【答案】CD【解析】【分析】对于A：直接利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件分析判断；对于B：分和两种情况，结合二次方程分析判断；对于C：根据命题真假的判定，结合恒成立问题分析求解；对于D：由可得，结合包含关系分析求解．【详解】对于选项A：当，即时，则，即充分性成立；当时，例如，则，即必要性不成立；所以的充分不必要条件为，故A错误；对于选项B：若集合中只有一个元素，当时，集合，只有一个元素，符合题意；当时，由，解得；综上所述：或，故B错误；对于选项C：命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，所以，解得，故C正确；对于选项D：因为，则，且集合，则满足条件集合为：或或或，故集合的个数为，故D正确．故选：．10. 下列选项中正确的是（ ）A. 不等式恒成立B. 存在实数，使得不等式成立C. 若，为正实数，则D. 若正实数，满足，则【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时不成立，故错误；对于B选项，当时，，当且仅当等号成立，故正确；对于C选项，若，为正实数，则，所以，当且仅当时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得，当且仅当时等号成立，故正确.故选：BCD11. 下列命题中，正确的有（ ）A. 函数与函数表示同一函数B. 已知函数，若，则C. 若函数，则D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BC【解析】【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组，故B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D错误.【详解】解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;函数，若，则所以，故B正确；若函数，则，故C正确；若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.故选：BC12. 已知定义域为的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则以下错误的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解.【详解】因为函数为偶函数,所以,所以函数关于直线对称，又因为函数在区间上为减函数，所以函数在区间上为增函数，因为，所以，A错误；因为，，所以，B错误；因为，，所以，C正确；,D错误；故选:ABD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 幂函数在上为减函数，则的值为______　；【答案】1【解析】【分析】由题意可得m2﹣3m+3＝1，求得m值，再满足3m﹣4＜0即可．【详解】∵函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2．又幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，∴3m﹣4＜0，即m，故m＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查幂函数的性质，明确m2﹣3m+3＝1是关键，是基础题．14. 已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分，求出对应的解集，再求并集即可得到不等式的解集.【详解】由题意，，不等式，当时，由，解得，所以；当时，由，解得，所以；综上，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，分段函数，以及指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想.15. 计算：__________.【答案】##【解析】【分析】由分数指数幂和根式互化、幂的乘方计算即可求解.【详解】由题意.故答案为：.16. 若正实数，满足，则的最小值是_______.【答案】12【解析】【分析】首先右边边是的形式,左边是和常数的和的形式,考虑把左边也转化成似的形式,使形式统一.可以猜想到应用基本不等式转化后变成关于的方程,可把看成整体换元后求最小值.【详解】解析:解法一：,,,,,令,则,且,,,即,当且仅当,即,时取等号.的最小值是12.解法二：由,,得,（当且仅当时取等号）,即,,又,,即（当且仅当,时取等号）,的最小值是18,,的最小值是12.故答案为12.【点睛】本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力,以及换元思想和简单一元二次不等式的解法,属基础题.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分，第17题10分，其余5题分别12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合，.（1）求；（2）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先解指数不等式得到集合，再根据补集、并集的定义计算可得；（2）由，得，则，由此能求出实数的取值范围．【详解】解：（1）由，得，所以，所以，由，得，所以（2）由，得，所以，解得，所以.18. 设：实数满足，其中；：实数满足.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法和充分必要条件的概念求解.【详解】由，可得，因为，所以，所以不等式的解为，即：，则：或，：或，因为是的充分不必要条件，所以，解得，经检验，时，满足题意，所以正实数的取值范围是.19. 已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并证明函数在上的单调性，并求出在区间上的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义求解；（2）利用函数单调性的定义证明，并根据单调性与最值的关系求最小值.【小问1详解】因为函数的定义域为，且为奇函数，所以，解得，所以，经检验，时，，所以，即，满足函数为奇函数，所以.【小问2详解】判断：函数在上单调递增，证明如下：任意，，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增，所以.20. 已知函数．（1）若，求的单调区间（2）若有最大值3，求的值（3）若的值域是，求的值【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）1； （3）0.【解析】【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间；（2）由（1）及题设知，即可求参数值；（3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可.【小问1详解】当时，，令，由在上单调递增，在上单调递减，而在R上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，即的单调递增区间是，单调递减区间是．【小问2详解】令，，由于有最大值3，所以应有最小值，因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．【小问3详解】由指数函数的性质知，要使的值域为，应使的值域为R，因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），故a的值为0．21. 已知函数.（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图像，并根据图像写出函数的单调区间；（2）设函数在上最小值为.①求的表达式；②若，求的最大值.【答案】（1）图象见解析，增区间，减区间；（2）①；②.【解析】【分析】（1）时，，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；（2）①时，，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；②时，，根据单调性即可求出.【详解】（1）时，，函数图象如图:增区间；减区间.（2）①因为，所以.若，即时，在上单调递增，所以；若，即时，在上递减，在上递增，所以；若，即时，在上单调递减，所以，综上；②时，，因为在单调递增，所以在单调递增，所以的最大值为.【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数最值的求解以及函数最值问题，解题的关键是讨论二次函数对称轴的位置，再结合二次函数的单调性求解，对于函数最值问题，解题的关键是求出函数的单调性，利用单调性求出最值.22. 习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（1）当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不会，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 （2）400吨【解析】【分析】（1）当时，由项目获利为求解；（2）由生活垃圾每吨的平均处理成本求解.【小问1详解】解：当时，该项目获利为S，则，∴当时，，因此，该项目不会获利，当时，S取得最大值，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；【小问2详解】由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：，当时，，所以当时，取得最小值240；当时，，当且仅当，即时，取得最小值200，因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．