2023-2024学年四川省双流棠湖中学高一上学期期中数学试题含答案

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本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“，”的否定是“，”．
故选：B．
2. 已知集合，，则集合B中元素个数为（ ）
A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答.
【详解】集合，，
则当时，有，当时，或，当时，或，
所以，集合B有中5个元素.
故选：A
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，计算与集合B的交集即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：B.
4. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D. 
【答案】C
【解析】
【分析】由，知集合与集合都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.
【详解】因为集合，集合，
所以集合与集合都是奇数集，所以，
故选：C.
5. 成立的必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义判断求解.
【详解】因为是的真子集，
所以是成立的一个必要不充分条件，A正确；
因为是的真子集，
所以是成立的一个充分不必要条件，B错误；
因为是的真子集，
所以是成立的一个充分不必要条件，C错误；
因为与不存在包含关系，
所以是成立的既不充分也不必要条件，D错误；
故选：A.
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意知是的两根，得到，代入到中解不等式即可.
【详解】解：由不等式的解是或，
是的两根，
则，且，
即，
∴不等式可化为：，即，
化简得，解得，
故选：C.
【点睛】考查一元二次不等式的解集与相应方程的根之间的关系以及解法，基础题.
8. 已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数单调性与奇偶性直接求解.
【详解】∵定义域为的偶函数在上单调递减，且，
，且在上单调递增，
，可得或或，
即或或，即
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】CD
【解析】
【分析】利用函数相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，对于函数，则，可得，
对于函数，则，可得，
所以，函数、的定义域均为，
，所以，A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
但，两个函数的对应关系不相同，
所以，B选项中的两个函数不相等；
对于C选项，函数与的定义域均为，
，C选项中的两个函数相等；
对于D选项，函数与的定义域均为，
且这两个函数的对应关系也相同，D选项中的两个函数相等.
故选：CD.
10. 关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 在定义域上是增函数D. 的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】由被开方式非负和分母不为，解不等式可得的定义域，可判断A；化简，讨论，，分别求得的范围，求并集可得的值域，可判断B；由，可判断C；由奇偶性的定义可判断为奇函数，可判断D；
【详解】对于A，由，解得且，
可得函数的定义域为，故A正确；
对于B，由A可得，即，
当可得，
当可得，可得函数的值域为，故B正确；
对于C，由，则在定义域上不是增函数，故C 错误；
对于D，由的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题考查了求函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于中档题.
11. 已知二次函数，且不等式的解集为，则（ ）
A. B. 方程的两个根是1，3
C. D. 若方程有两个相等的根，则实数
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与一元二次方程的关系得1，3为关于的二次方程的两根，进而得，，，再根据于的方程有两相等的根即可得.，进而得答案.
【详解】解：由于不等式的解集为，
即关于二次不等式的解集为，则．
由题意可知，1，3为关于的二次方程的两根，
由根与系数的关系得，，
所以，，
所以．
由题意知，关于的方程有两相等的根，即关于的二次方程有两相等的根，
则
，
因为，解得．
故选：ACD．
【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查运算能力，是中档题
12. 设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A. xy的最大值是B. 的最小值为9
C. 4x2＋y2最小值为D. 最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，集合，则________.
【答案】
【解析】
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求出集合.
【详解】因为，，
因此，.
故答案为：.
14. 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．
【答案】172
【解析】
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
15. 函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，可得出，由可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出函数的值域.
【详解】令，可得，可得，即，
由，可得，解得，
所以，函数的值域为.
故答案为：.
16. 已知，若对一切实数，均有，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
【详解】由，可得或，则，
对一切实数，均有，则函数的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，，解得，
所以，，
则，
合乎题意，
因此，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合,
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义运算即得；
（2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得.
【小问1详解】
当时，，；
【小问2详解】
，
当时，满足题意，此时，解得；
当时，解得，
实数m的取值范围为.
18.
（1）对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）存在，关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据给定条件借助即可求得实数a的取值范围.
(2)根据给定条件分离参数，再利用均值不等式计算即得.
【小问1详解】
因对任意，不等式恒成立，则对任意恒成立，
于是得：，解得，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，
因存在，不等式有实数解，则存在，不等式成立，
当时，，则，当且仅当，即时取“=”，
于是得，
所以实数a的取值范围是.
19. 已知x＞0，y＞0，且x＋4y－2xy＝0，
求：(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】(1)由x＋4y－2xy＝0，得又x＞0，y＞0，再利用基本不等式求xy的最小值.(2)由题得x＋y＝（）·(x＋y)，再利用基本不等式求x＋y的最小值．
【详解】(1)由x＋4y－2xy＝0，得又x＞0，y＞0，
则2＝≥2 ＝，得xy≥4，
当且仅当x＝4，y＝1时，等号成立．所以xy的最小值为4.
(2)由(1)知
则x＋y＝（）·(x＋y)＝≥
当且仅当x＝4且y＝1时等号成立，∴x＋y的最小值为.
【点睛】（1）本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把化成x＋y＝（）·(x＋y)，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得，由此可得的解析式；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；
（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围.
【小问1详解】
由题意可知，
，即，
，，
又，即，
，.
【小问2详解】
，且，有
，
，
，
，即，
所以函数在区间上单调递增.
【小问3详解】
因为为奇函数，
所以由，得，
又因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，故，
所以实数的取值范围是
21. 某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据某市场调查，当每套丛书的售价定为元时，销售量可达到万套现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分其中固定价格为元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格求：
（1）每套丛书的售价定为元时，书商所获得的总利润．
（2）每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大.
【答案】（1）万元；
（2）每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，依次列式计算作答.
（2）求出售价的范围，再列出单套丛书利润的函数关系，借助均值不等式求解作答.
【小问1详解】
每套丛书售价定为元时，销售量为万套，
于是得每套丛书的供货价格为元，
所以书商所获得的总利润为万元．
【小问2详解】
每套丛书售价定为元，由得，设单套丛书的利润为元，
则，
，当且仅当，即时等号成立，
即当时，，
所以每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大，为元．
22. 已知函数f(x)＝ .
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
【答案】（1）[，2]；（2）g(m)＝ .
【解析】
【分析】(1)由 解不等式可得函数的定义域，先求得，结合，可得，结合即可得到函数的值域； (2) 令， 可得，根据二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想即可得到结论.
【详解】(1)要使函数f(x)有意义，需满足 得－1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋2 ，且0≤≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[，2]．
(2)令f(x)＝t，则t2＝2＋2，
则＝t2－1，
故F(x)＝m(t2－1)＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h(t)＝mt2＋t－m，
则函数h(t)的图像的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－