2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届四川省成都市双流区双流棠湖中学高三上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【答案】A

【解析】试题分析：由 ,得，所以得在复平面内对应的点的坐标为是第一象限的点,故选A.

【考点】1、复数的基本运算；2、复数的几何意义.

2．圆的方程为，则圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将化为圆的标准方程可看出圆心坐标.

【详解】

将配方,化为圆的标准方程可得,

即可看出圆的圆心为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.

3．2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（    ）

A．17.5和17 B．17.5和16

C．17和16.5 D．17.5和16.5

【答案】D

【解析】根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.

【详解】

根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,

再根据中位数的概念可得中位数为17.5,

根据平均数的概念可得平均数为.

故选:D

【点睛】

本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列是答题的关键,属于基础题.

4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）

A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号

【答案】B

【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.

【详解】

由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.

5．已知直线，，若，则实数的值为（    ）

A．8 B．2 C． D．-2

【答案】A

【解析】利用两条直线平行的充要条件求解．

【详解】

：∵直线l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，
∴，
解得a=8．

故选A .

【点睛】

】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】模拟运行过程，依次计算S，直到退出循环为止.

【详解】

由图，模拟执行程序得程序框图的功能是计算时的n的值，.

模拟程序的运行，可得

S＝0，n＝1，

执行循环体，S＝﹣1，不满足条件S2，n＝2，

执行循环体，S＝1，不满足条件S2，n＝3，

执行循环体， S，不满足条件S2，n＝4，

执行循环体，S＝2，

满足条件S2，退出循环，输出n的值为4．

故选：D．

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7．设，，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

【答案】A

【解析】首先求命题表示的两个集合，根据集合的包含关系，判断充分必要条件.

【详解】

，

， ，

，

是的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查判断命题的充分必要条件，意在考查基本方法和基本计算能力，属于基础题型，当命题是集合形式时，，，若时，时的充分不必要条件，同时，是的必要不充分条件，若，则互为充分必要条件.

8．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【详解】

对于，开口向下，对称轴为

若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；

对于，其相当于将的图象向左平移个单位，得到如下函数图像：

此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是

9．已知两点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（  ）

A．3－      B．3＋     C．3－     D．

【答案】A

【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心为，半径为1，直线方程为，即，到直线的距离为，点到的距离的最小值为，，所以面积最小值为．故选A．

【考点】点到直线的距离．

10．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】

因为方程组有解，故直线与圆有公共点，

所以即，

当时，，有3种情形；

当时，，有3种情形；

当时，，有4种情形；

当时，，有18种情形；

故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为.

故选：B.

【点睛】

古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.

11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【解析】为等边三角形，不妨设

为双曲线上一点，

为双曲线上一点,

由

在中运用余弦定理得：

,

故答案选

点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。

12．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.

【详解】

根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,

又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,

设外接球的半径为,所以,

所以,当且仅当时,等号成立,

所以,

所以该三棱锥外接球体积为.

故选:C

【点睛】

本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.

二、填空题

13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.

【答案】－3

【解析】作出可行域，目标函数过点时，取得最小值.

【详解】

作出可行域如图表示：

目标函数，化为，

当过点时，取得最大值，

则取得最小值，

由，解得，即，

的最小值为.

故答案为:

【点睛】

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.

14．斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为__________.

【答案】10

【解析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：，即可求解出过焦点的弦长.

【详解】

因为焦点，所以，

联立直线与抛物线可得：，所以即，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法：

(1)直接利用弦长公式：；

(2)利用焦半径公式简化计算：.

15．若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为_____.

【答案】

【解析】根据题意，求出的导数，计算可得的值，由导数的几何意义可得，由三角函数的恒等变形公式可得，代入数据计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，曲线，其导数，

，

，

则；

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题．

16．若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为    .

【答案】

【解析】设，圆的圆心为，则是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，即得的方程为，则直线与坐标轴的交点为，又因为焦点在轴上，则，，，所以椭圆方程为.

【考点】直线圆的位置关系、椭圆的标准方程.

三、解答题

17．某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；

（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.

附公式：，.

【答案】（1）2;（2）;（3）.

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；

（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；

（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．

【详解】

（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，

其中点分别为，对应的频率分别为，

故可估计平均值为；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．

由题意可知，，，

，

，

根据公式，可求得，，

即回归直线的方程为．

【点睛】

本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．

18．已知函数，

（1）当时，求函数的最小值和最大值；

（2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值.

【答案】（1）最大值为，最小值为0；（2）

【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式及化一公式，化简的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由，解得角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理解得的值.

试题解析：

（1）

当 ，即时，有最小值为

当  ，即时，有最大值为          

 (2)

与向量共线  

由正弦定理得①  

，由余弦定理可得② 

①②联立可得

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：（1）定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.（3）求结果.

19．如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；

（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：取的中点，连接.

∵，∴为的中点.

又为的中点，∴.

依题意可知，则四边形为平行四边形，

∴，从而.

又平面，平面，

∴平面.

（2），且，

平面，平面，

，

，且，

平面，

以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，

则，，，，，

，，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

从而，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.

20．已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】（1）由直线与圆相切，则，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；

（2）方法一：设，分别求得直线的方程，直线的方程，分别求得点和的坐标，则，即可求得为定值；
方法二：设直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线的方程与直线的方程，求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得，为定值．

【详解】

（1）设动圆的半径为，由已知得，，，

点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，

设椭圆方程：（），则，，则，

方程为：；

（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，，

直线的方程为：，

直线的方程为：，

当时，，，

，

又满足，

，

为定值．

解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，

直线的方程为：，

直线的方程为：，

当时，，，

,

联立直线和直线的方程，可得点坐标为，

将点坐标代入椭圆方程中,得，

即，

整理得 ，

，，

为定值．

【点睛】

本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型.

21．已知函数在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）设函数（），求在上的单调区间；

（3）证明：（）．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：

（1）利用导数的几何意义求解；（2）根据导函数的符号判断函数的单调性；（3）在（2）的基础上当时可得不等式，取，可得，变形后可得，然后把所得式子两边分别相加可得不等式成立。

试题解析：

（1）∵，

∴ ，

依题意得

解得

∴。

（2）由（1）知，

∴

故函数在的单调性为：

当时，的递减区间为；

当时，的递减区间为，递增区间为；

当；

当

（3）由（2）知时，

∴ ，

即 ，

令，

得，

即,

所以，

上式中n=1，2，3，…，n，

然后n个不等式相加得

（）。

故不等式成立。

点睛：对于在函数中的数列不等式的证明，一般要用到前面所得到的函数的性质，构造合适的函数，再通过取特殊值的方法进行证明，在证明中还可能用到数列求和的常见方法，对于这种综合题的解法，要在平时要多观察、多尝试，做好相应的训练。

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极轴，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.

（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若点坐标为，圆与直线交于两点,求的值.

【答案】(1)直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：(2)4.

【解析】试题分析：

(1)结合所给的方程可得：直线的普通方程为：，圆的直角坐标方程为：；

(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义可得：的值是4.

试题解析：

（1）消去参数t可得直线的普通方程为：，

极坐标方程即：，则直角坐标方程为：，

据此可得圆的直角坐标方程为：

（2）将代入得：

得，则

23．已知

（1）证明： ；

（2）设为正数，求证： .

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）把条件平方，利用作差法证明不等式；（2）利用分析法，要证不等式转化为，结合均值不等式，不难证明上述不等式成立.

试题解析：(1），，

则

，当且仅当时取等号，

(2)要证，需证，即证：，需证， 为正数，由基本不等式，可得，当且仅当时取等号，将以上三个同向不等式相乘得，所以原不等式成立.