四川省双流棠湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省双流棠湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某企业有甲､乙､丙三个工厂，甲厂有200名职工，乙厂有500名职工，丙厂有100名职工，为宣传新修订的个人所得税法，使符合减税政策的职工应享尽享，现企业决定采用分层抽样的方法，从三个工厂抽取40名职工，进行新个税政策宣传培训工作，则应从甲厂抽取的职工人数为( )
A.5B.10C.20D.25
2．倾斜角为，在y轴上的截距为的直线方程是( )
A.B.C.D.
3．某人将一枚均匀的正方体骰子,连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则( )
A.出现6点的概率为0.19
B.出现6点的频率为0.19
C.出现6点的频率为19
D.出现6点的概率接近0.19
4．已知方程表示圆的方程，则c的取值范围为( )
A.B.C.D.
5．已知一次试验，事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，又事件A与事件C不能同时发生.若，，则( )
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
6．中国气象局规定：24小时内降雨的深度称为日降雨量，表示降雨量的单位通常用毫米.例如：1毫米的降雨量是指单位面积上水深1毫米.在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个长方体容器来测量降雨量，已知该长方体的底面是边长为的正方形，高为，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，将该容器放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深，则该同学测得的降水量约为( )（取3.14）
A.127毫米B.12.7毫米C.509毫米D.100毫米
7．已知三棱锥，平面，，，直线与平面所成的角为，若三棱锥的四个顶点都在表面积为的同一球面上，则( )
A.1B.2C.D.3
8．已知动点M的轨迹方程为，定点,，则的最小值为( )
A.B.C.8D.
二、多项选择题
9．在平行六面体中,的重心为点G,则( )
A.B.若M为BC的中点,则
C.D.
10．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A.B.C.D.
11．已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件“抽取的两个小球标号之积大于3”，则( )
A.事件A发生的概率为B.事件发生的概率为
C.事件A，C是互斥事件D.事件B，C相互独立
12．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点A,B，经过A,B,O三点的圆记为圆C.下列结论正确的是( )
A.且
B.当时，为钝角
C.圆（且）
D.圆C过定点
三、填空题
13．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是__________.
14．李雷､韩梅梅两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止.设李雷在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则概率P的值为___________
15．长方体中，，，.过作长方体的截面，则所得截面多边形面积的最小值是__________.
16．设，是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数，当时，，，设函数，若在区间上，函数有11个零点，则k的取值范围是______.
四、解答题
17．某校对2023年高一下学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
（1）估计该校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；
（2）估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；
18．如图，三棱锥中，，，两两垂直，，E，F分别是，的中点，的面积为8，四棱锥的体积为4.
（1）若平面平面，求证：；
（2）求三棱锥的表面积.
19．已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射.
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线的方程.
（3）求与距离为的直线方程.
20．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.
（1）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
21．如图所示，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面.E为的中点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
22．已知动点P与两个定点，的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为，求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知抽样比为：，
所以应从甲厂抽取的职工人数为：人，
故选：B.
2．答案：A
解析：由于直线的倾斜角为，故斜率为,由斜截式求得直线l的方程为.
故选A.
3．答案：B
解析：由题可得，出现6点的频率为
故选：B.
4．答案：A
解析：因为方程表示圆的方程，
所以，解得，
故选：A
5．答案：A
解析：因为事件A与事件B不能同时发生且A，B至少有一个发生，
所以事件A与事件B为对立事件，而，
所以由，
又因为事件A与事件C不能同时发生，
所以事件A与事件C是互斥事件，因为，
所以，
故选：A
6．答案：B
解析：水的体积，容器口的面积，
降雨量，
故选：B
7．答案：C
解析：设，则,
平面,
直线与平面所成的角为,
,
以,,为长、宽、高做长方体，如图，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
所以，
又外接球的表面积,
所以，解得，
中.
故选：C
8．答案：A
解析：设，使其满足，
，所以，由
所以，因为，所以，
整理可得，又动点M的轨迹是，
所以，解得,
所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当M在位置时等号成立.
故选：A
9．答案：AC
解析:对于A,因为G为重心,故,又,故,故A正确;对于B,,,故,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.故选AC.
10．答案：BC
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
点,到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线l的方程为，整理得，
当时，直线l的方程为，整理得
综上，直线l的方程可能为或
故选：BC.
11．答案：AC
解析：对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种抽法，
其中事件A包含的事件个数有,,共3个，
故事件A发生的概率为，A正确；
对于B，事件B包含的事件个数有,,,共4个，
故事件包含的事件个数有5个，则事件发生的概率为，B错误；
对于C，事件A包含的事件为,,，每个事件中两个小球标号之积都不大于3，
故事件A，C不会同时发生，二者是互斥事件，C正确；
对于D，，事件C包含的事件个数有,共2个，故,
事件包含的事件为,，则,
则,，即事件B，C不相互独立，D错误，
故选：AC
12．答案：ACD
解析：对于A，联立，消y可得，
二次函数与直线有两个交点，则，
解得，又，故A正确；
对于B，联立消y可得，
设，，
则，，
由弦长公式可得，
在中，，
，
当时，
，
所以
所以为锐角，故B错误；
对于C，线段的中点为，
则的中垂线为：，设圆心为，
不妨设，
由，
即
整理可得，
即，
解得，所以圆心为，
半径，
所以圆C为：，
整理可得（且，故C正确；
对于D，由（且），
整理可得，方程过定点
则，解得，所以圆C过定点，故D正确；
故选：ACD
13．答案：
解析：设这个样本容量为7的样本数据分别为，，…，，则，所以，，所以.
当加入新数据5后，平均数，方差.故答案为.
14．答案：或0.75
解析：依题意,当李雷连胜2局或者韩梅梅连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止，
，
解得或（舍去）
故答案为：
15．答案：
解析：截面多边形面积取最小值时上的高为，
因此最小值为.
16．答案：
解析：令=0，
所以在区间上，函数和的图像有11个交点，
作出函数与的图象如图，
由图可知，函数与(，，，，，)仅有3个实数根；所以要使关于x的方程有8个不同的实数根，
则，与，的图象有2个不同交点，
由到直线的距离为1，得，解得，
两点，连线的斜率，所以
.
故答案为.
17．答案：（1）众数是100，平均分是93；
（2）115.
解析：（1）由，
可得.
即数学成绩在：频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，
分数在内的最多，所以众数是100，
平均分是.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，
在130分以下所占比例为，
因此，第80百分位数一定位于内，由，
所以样本数据的第80百分位数约为115.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：E，F分别是，的中点，，
平面，平面，平面.
又平面平面，平面，.
（2），，两两垂直，，平面，
平面，即是四棱锥的高.
，，，.
E，F分别是，的中点，，
，即.
，，.
的面积为.
三棱锥的表面积.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）或.
解析：（1）由得，.
所以点M关于x轴的对称点P的坐标.
（2）解法一：
因入射角等于反射角，
直线MN的倾斜角为，则直线的斜角.
，所以直线的斜率.
故反射光线所在的直线的方程为：.
即.
解法二：
因为入射角等于反射角，
所以反射光线所在的直线的方程就是直线的方程.
直线的方程为：，
整理得：.
故反射光线所在的直线的方程为.
（3）设与平行的直线为，
根据两平行线之间的距离公式得：，
解得，或，
所以与距离为的直线方程为：或.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1），分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，
则，，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则：，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件：
，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
21．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取的中点F,连接,，
因为E,F分别为,的中点，所以,，
因为，，所以，又因为，所以,，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）取的中点O，连接,，因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，面PAD，
所以平面.
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以.
以O为原点，,,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则.
设平面的法向量为，则，即，
取，则.
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22．答案：（1）；
（2）2
解析：（1）设点，,即，
，即，
曲线C的方程为.
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l方程为，
由（1）可知，点M是圆的圆心，
点M到直线l的距离为，由得，即，
又，
所以，
令，所以，，
则
，
所以，
当，即，此时，符合题意，
即时取等号，所以面积的最大值为2.