四川省乐山市五通桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（含答案）

这是一份四川省乐山市五通桥中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了函数的大致图象是，设甲，已知集合，，在，，，这四个数中，最大的数为，下列命题中，是真命题的有，下列不等式中，一定成立的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
3．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
5．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合，．若，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．在，，，这四个数中，最大的数为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合的所有真子集为
B．若（其中），则
C．是等边三角形是等腰三角形
D．
10．下列不等式中，一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知函数则下列说法中，正确的有（ ）
A．若，则方程有实数根
B．若，则方程有2个实数根
C．若方程有3个不同实数根，则
D．若方程有4个不同实数根，则
12．定义域为的函数满足，，且时，，则（ ）
A．为奇函数B．在单调递增
C．D．不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则______．
14．已知函数为偶函数，则实数的值为______．
15．已知，则函数的最小值为______．
16．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
记全集，已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
18．（12分）
解答以下两个小题：
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．（12分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．
20．（12分）
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若时，的最小值为，求的值．
21．（12分）
用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．
22．（12分）
定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．
（1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由；
（2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围．
2023—2024学年高一上期半期考试
数学试题参考答案及评分标准
一、单选题（40分）
1．考查意图：本小题由教材习题1.1复习巩固2（3）改编而成，通过设置集合相关的数学情境，考查集合的概念，集合的表示法，一次不等式的解法等基础知识；考查运算求解、逻辑推理等数学能力；考查数学抽象等素养。
答案：C
解析：由得，则．
2．考查意图：本小题通过函数概念相关的数学情境，主要考查函数定义域、不等式解法等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算素养。
答案：B
解析：由题知，解得，定义域为．
3．考查意图：本小题由习题1.5复习巩固3（1）改编而成，通过设置命题否定相关的数学情境，主要考查全称量词与存在量词、命题的否定等基础知识，考查抽象概括能力、逻辑推理能力和应用意识；考查数学抽象、逻辑推理等素养。
答案：D
解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知命题，的否定为，．
4．考查意图：本小题通过图象识别相关的数学情境，主要考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想和直观想象素养。
答案：D
解析：依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确，故选D．
5．考查意图：本小题通过设置不等式与充要关系等数学情境，主要考查充要关系的判断等基础知识；考查推理论证等数学能力；考查逻辑推理素养。
答案：A
解析：由题，可得；但由，可得或，故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选A．
6．考查意图：本小题通过设置复合函数相关的数学情境，主要考查二次函数的单调性等基础知识；考查数学抽象等素养。
答案：A
解析：令，则，依题意，只需在上单调递增，则有，所以．
7．考查意图：本小题通过设置集合相关概念的数学情境，主要考查集合间的基本关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想；考查抽象概括、推理论证等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理等素养。
答案：C
解析：由，知．由，，则有且，所以．
8．考查意图：本小题通过设置指数幂相关的数学情境，主要考查指数函数与幂函数的图象和性质等基础知识，考查数形结合思想，考查推理论证等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养。
答案：C
解析：由于函数与在上单调递减，可知，，只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增，所以．
二、多选题（20分）
9．考查意图：本小题通过设置集合间的关系相关数学情境，主要考查集合的子集，真子集概念，相等集合，集合间的包含关系等基础知识；考查逻辑推理能力和应用意识；考查数学抽象、逻辑推理等素养。
答案：BC
解析：集合真子集是，共3个，所以A为假命题；由，知，，则，则B为真命题；等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题；易知，所以D为假命题．
10．考查意图：本小题源于教材习题2.1第8题，通过设置不等式基本性质相关数学情境，主要考查不等式基本性质，实数大小比较等基础知识，考查推理论证等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理等素养。
答案：AC
解析：由，，知，A中不等式成立；当时，B中不等式不成立；当时，由，得，又，则，故有，C中不等式成立；当，时，，D中不等式不一定成立．
11．考查意图：本小题通过设置函数相关的探索创新情境，主要考查一次函数、指数函数的图象与性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理与数学运算素养。
答案：ACD
解析：函数大致图象如图所示，可知时，有实数根，选项A正确；若，则有1个实数根，选项B错误；若有3个不同实数根，则，选项C正确；若方程有4个不同实数根，则，选项D正确．
12．考查意图：本小题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。
答案：ABD
解析：由题，，于是，令，则，即，所以为奇函数，A正确；设，则有，即，即有，所以在上单调递增，由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确；由，得，又为奇函数，则，C错误；又由题得，，则等价于，则有，即，D正确．
三、填空题（20分）
13．考查意图：本小题设置具体函数为数学情境，主要考查求函数值等基础知识；考查运算求解能力，属基础性问题；考查数学抽象、数学运算等素养。
答案：5
解析：由题意，，则．
14．考查意图：本小题以含有参数的函数为探索性情境，主要考查函数奇偶性等基础知识，考查化归与转化数学思想，考查抽象概括、推理论证等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。
答案：．
解析：函数定义域为，令，则，故，知为奇函数，由于为偶函数，只需函数为奇函数即可，易知．
15．考查意图：本小题设置分式型函数相关的数学情境，主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，推理论证等数学能力；考查逻辑推理、数学运算等素养。
答案：6
解析：，当且仅当，
即时，取等号．
16．考查意图：本小题设置指数型函数探索性情境，主要考查函数性质、不等式等基础知识，考查化归与转化、数形结合等数学思想，考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。
答案：
解析：因为，则，可知函数的图象关于点对称，且单调递增，不等式，化为，所以，则．
四、解答题（70分）
17．（10分）
考查意图：本小题通过设置集合与不等式相关的探究性情境，主要考查集合间的关系等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等素养。
解析：（1）由，得，
方法1：
可得或，
由题，有或，
所以或．
方法2：
则，
所以，或．
（2）依题意，或，
因为，所以
解得，故的取值范围为．
18．（12分）
考查意图：本小题源自于教材106页例题和练习题，以根式和分数指数幂为情境，主要考查根式与分数指数幂的运算，考查化归与转化等数学思想，考查运算求解等数学能力，考查数学抽象、数学运算等素养。
解析：（1）
．
（2）由，得，即，
则有，
得，即，
所以．
19．（12分）
考查意图：本小题源自于教材习题2.3，以二次函数问题为数学情境，主要考查一元二次不等式解法、基本不等式应用，考查化归与转化等数学思想，考查运算求解等数学能力，考查数学运算、逻辑推理等素养。
解析：（1）不等式，即为，
则有，
解得或，
所以，不等式的解集为或．
（2）不等式，即为，
所以，只需的最小值大于或等于即可，
因为，
当且仅当即时取等号．
所以的最小值为，所以，
故的取值范围是．
20．（12分）
考查意图：本小题以指数型、二次型函数为探索性情境，主要考查不等式解法、函数最值等问题，考查化归与转化等数学思想，考查运算求解等数学能力，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等素养。
解析：（1）当时，不等式即为，
所以，
则有，则，
故不等式的解集为．
（2）令，，则，开口向上，对称轴方程为，
①当，即时，，则，不符合题意；
②当，即时，，则；
③当，即时，，则，不满足条件．
综上所述，的值为．
21．（12分）
考查意图：本小题以实际应用问题为情境，主要考查函数关系的建立，函数最值的求法，考查化归与转化等数学思想，考查运算求解等数学能力和应用能力，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模等素养。
解析：设，上底，
分别过点作下底的垂线，垂足分别为，
则，，
则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为
，
当且仅当，即，时取等号．
所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
22．（12分）
考查意图：本小题通过设置函数奇偶性与新信息探索性问题相关的综合创新情境，主要考查函数的奇偶性，单调性等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，推理论证能力，考查数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养。
（1）若是奇函数，则，
则，
所以恒成立，
所以是奇函数时，．
或者：由为奇函数，可得，则有，解得．
此时，
由，知，于是，则，
故时，，
所以，函数为有界函数．
（2）若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立．
故恒成立，即恒成立，
所以即
由题可知，不等式组在上恒成立．
因为在上单调递减，其最大值为；
又在上单调递减，其最小值为．
所以即，故的取值范围是．