2024年高考数学复习：03 中心对称、轴对称和周期性归类（全国通用）（解析版）

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\l "_Tc17993" 【题型一】 中心对称性质1几个复杂的奇函数1
\l "_Tc26924" 【题型二】 中心对称2：与三角函数结合的中心对称4
\l "_Tc12217" 【题型三】 轴对称6
\l "_Tc30563" 【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性7
\l "_Tc30563" 【题型五】 画图技巧：放大镜函数10
\l "_Tc30563" 【题型六】 利用对称解决恒成立和存在问题13
\l "_Tc30563" 【题型七】 函数中的整数问题15
【题型一】 中心对称性质1：几个复杂的奇函数
【典例分析】
已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
，
令，则，可得是奇函数，
又，
又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；
当且仅当，即时等号成立；
故，可得是单调增函数，
由得，
即，即对恒成立.
当时显然成立；当时，需，得，
综上可得，故选：D.
【提分秘籍】
基本规律
若满足，则关于中心对称
3.
【变式演练】
1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.
【答案】
【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.
解：因为，由于
.即，.所以是的一个对称中心.
故答案为：.
2.设函数，若，满足不等式，则当时，
的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此
,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.
3.．已知函数，若，其中，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得
，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以
，
令
则所以
所以，所以，其中，则.
当时
当且仅当 即 时等号成立；当时
，
当且仅当 即 时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
【典例分析】
已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以 ，选B.
【提分秘籍】
基本规律
1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
【变式演练】
1.函数在上的所有零点之和等于______.
【答案】8
【详解】
分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．
详解：零点即 ，所以
即，画出函数图像如图所示
函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点
图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8
点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题．
2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：由已知，而函数为奇函数
又函数最大值为，最小值为，且，
考点：函数的奇偶性和最值
【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为，则函数为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得，则问题得解．
3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题设，构造，易证为奇函数，利用导数可证为增函数，结合题设不等式可得，即对任意均成立，即可求的范围.
【详解】
由题设，令，
∴，
∴为奇函数，又，即为增函数，
∵，即，
∴，则，
∴对任意均成立，又，当且仅当时等号成立，
∴，即.故选：A
【题型三】 轴对称
【典例分析】
已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A【解析】函数有有唯一零点，设
则函数有唯一零点，则 3e|t|-a（2t+2-t）=a2，
设∴ 为偶函数，
∵函数 有唯一零点，∴与有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A．
【提分秘籍】
基本规律
1.函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
3.与关于直线对称。
【变式演练】
1.已知函数在区间的值域为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】解： 在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.
2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，
当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=对称，∴x1+x2+x3+…+xm=•a=2m，解得a=4．
当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=对称，另一个交点在对称轴x=上，
∴x1+x2+x3+…+xm=a•+=2m．解得a=4．故选：D．
3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域为，且其图象有对称轴；
④对于任意的，（是函数的导函数）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
【答案】A
【详解】
函数定义域为，当或时，，又，，，，……时，，且均为变号零点.又因为函数满足，所以函数关于直线对称，函数图像如下图，
故②③正确.
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
【典例分析】
已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足f(12+x)=f(32−x)，当x∈[−1 ， 0]时，f(x)=−x.若函数F(x)=f(x)+x+41−2x在区间[−9 ， 10]上的所有零点之和为__________．
【答案】5【详解】∵足f(12+x)=f(32−x)，∴fx=f(2−x)，又因函数f(x)为偶函数，∴fx=f−x=f(2+x)，即fx=f(2+x)，∴T=2，令F(x)=0，fx=x+42x−1，，即求fx与y=x+42x−1交点横坐标之和.y=x+42x−1=12+922x−1，
作出图象：
由图象可知有10个交点，并且关于12，12中心对称，∴其和为102=5故答案为：5
【提分秘籍】
基本规律
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
【变式演练】
1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
【答案】A
【分析】
根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数可得出在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有6个实数根，和为30.
【详解】
由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，
∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
对于奇函数有，，故当时，，当时，，
当时，，当时，，方程在上有实数根，
则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，
则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，
当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.
2.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由函数的图像关于原点对称，得出，再由得出函数的最小正周期为，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数的最小正周期为，由此可得选项.
【详解】
因为定义域为的函数的图像关于原点对称，所以，
因为，，两式相减可得，，故，故；
因为，故所求切线方程为，
故选：B．
3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，函数的周期，再由当时，
可知函数在上为增函数，然后计算比较即可.
【详解】
函数是上的奇函数，又为偶函数，，，
，即函数的周期，时，，，
即，函数在上为增函数，
，，
，.
故选：D.
【题型五】 画图：放大镜
【典例分析】
设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.
【详解】
解：①∵“似周期函数”的“似周期”为，
，，
故它是周期为2的周期函数，故①正确；
②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，
即恒成立，故成立，但无解，故②错误；
③若函数是“似周期函数”， 则存在非零常数，则，
即恒成立，故恒成立，
即恒成立，
故，故或，故③正确．
所以以上正确结论的个数是2.故选：C.
【提分秘籍】
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
【变式演练】
1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则，解得.故选：C.
2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
作出图示，求出当时，函数的解析式，求出成立的x的值，运用数形结合的思想可得选项．
【详解】
解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，解得，
所以要使对任意，都有，则，，
故选：B．
3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
计算，画出图像，计算，解得，得到答案.
【详解】
根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：.
【题型六】 利用对称解决恒成立和存在型
【典例分析】
已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.
【详解】
的定义域为，
，∴为奇函数，
又在上单调递增，
∴，∴，
又，则，，∴恒成立；
设，
则，当时，
∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，
∴，，故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
【变式演练】
1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，得到关于m的不等式组，解出即可.
【详解】
对任意的，存在，使得，
即在上的值域是在上的值域的子集，，
当时，，
在上单调递增，的值域为，
又在上单调递减，的值域为：，
， ，方程无解
当时，，在上单调递减，的值域为
的值域为：，，解得
当时，，显然不满足题意.
综上，实数的取值范围为故选：D.
2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
结合复合函数的单调性，可知在上单调递减，由关于直线对称，可知为偶函数，从而可将题中不等式转化为，整理得对任意的恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出的取值范围.
【详解】
当时，，
函数在上单调递减，且是R上的增函数，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且；
当时，，易知函数在上单调递减，且.
∴函数在上单调递减.
∵关于直线对称，∴关于对称，即为偶函数，
∴不等式可化为，∴恒成立，
即，整理得，令，
∴对任意的，恒成立，∴，
即，解得.故选：D.
3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
先分析题意即，再利用单调性求解的最小值和的最小值，解不等式即得结果.
【详解】
依题意，对于，使得，只需.
时，，，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减.
而函数，显然在单调递减.
故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.对于，，
当时，故是单调递减的，
当时，故是单调递增的，
故.故依题意知，，即.
所以实数m的取值范围是.故答案为：.
【题型七】 函数整数问题
【典例分析】
定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.
当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.
当时，作出函数和的图象，如图所示.
若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
【提分秘籍】
基本规律
涉及到整数型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难
【变式演练】
1.定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为
A．15B．16C．17D．18
【答案】D
【详解】
定义在上的奇函数满足，得 即 则 的周期为8．函数的图形如下：比如，当不同整数 分别为-1，1，2，5，7…时， 取最小值， ，
至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D
2.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用导函数讨论当时的单调性，结合对称性周期性数形结合求解.
【详解】
当时，，，
当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，
，
又，函数关于对称，且是偶函数，所以，
所以，所以函数周期，
关于的不等式在上有且只有150个整数解，
即在上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解
结合草图可得：。故选：B
3.定义在R上的偶函数满足，且，若关于x的不等式在上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由得函数图象关于直线对称，又函数为偶函数，得函数是周期函数，且周期为8，区间含有5个周期，因此题中不等式在一个周期内有3个整数解，通过研究函数在的性质，结合图象可得结论．
【详解】
∵，∴函数图象关于直线对称，又函数为偶函数，∴函数是周期函数，且周期为8，区间含有5个周期，关于x的不等式在上有3个整数解．
时，是增函数，
时，，，时，，递减，时，，递增，
时，取得极小值，，，
利用偶函数性质，作出在上的图象，如图．
由得，若，则原不等式无解，
故，，要使得不等式在上有3个整数解，
则，即．故选：B．