2023高考一轮重点难点题型考点突破-- 03 中心对称、轴对称和周期性归类

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【题型一】 中心对称性质1：几个复杂的奇函数
【典例分析】
已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.若满足，则关于中心对称
2.
3.
【变式演练】
1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.
2.设函数，若，满足不等式，则当时，
的最大值为
A．B．C．D．
3.已知函数，若，其中，则的最小值为
A．B．C．D．
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
【典例分析】
已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点
【变式演练】
1.函数在上的所有零点之和等于______.
2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．
3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】 轴对称
【典例分析】
已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A． B． C． D．或
【提分秘籍】
基本规律
1.函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
3.与关于直线对称。
【变式演练】
1.已知函数在区间的值域为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
3.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有
①函数是周期函数；
②函数既有最大值又有最小值；
③函数的定义域为，且其图象有对称轴；
④对于任意的，（是函数的导函数）
A．②③B．①③C．②④D．①②③
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
【典例分析】
已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足f(12+x)=f(32−x)，当x∈[−1 ， 0]时，f(x)=−x.若函数F(x)=f(x)+x+41−2x在区间[−9 ， 10]上的所有零点之和为__________．
【提分秘籍】
基本规律
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
【变式演练】
1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．30B．14C．12D．6
2.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】 画图：放大镜
【典例分析】
设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【提分秘籍】
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
【变式演练】
1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 利用对称解决恒成立和存在型
【典例分析】
已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
基本规律
常见不等式恒成立转最值问题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
【变式演练】
1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时， ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．
【题型七】 函数整数问题
【典例分析】
定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
涉及到整数型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难
【变式演练】
1.定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为
A．15B．16C．17D．18
2.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.定义在R上的偶函数满足，且，若关于x的不等式在上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．