2023-2024学年四川省成都石室中学蓉城名校联盟高二上学期期中联考数学试题含答案

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考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（ ）
A 8B. 9C. 12D. 16
2. 某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（ ）
A. 6000人B. 6240人C. 6300人D. 6400人
3. 给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为
A. 59B. 59.4C. 69D. 69.4
5. 若，，，则事件与的关系为（ ）
A. 相互独立B. 互为对立C. 互斥D. 无法判断
6. 把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
8. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下面结论正确的是（ ）
A. 若事件与相互独立，则与也相互独立
B. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
C. 若，，与相互独立，则
D. 若，，则与互为对立事件
11. 某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（ ）
A. 从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B. 从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 不存在点，使平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．
14. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则__________．
15. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．
16. 已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求长．
19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
20. 如图四边形平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22. 如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．
（1）若，，求证：，，，四点共面；
（2）求；
（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
成绩分组/分
人数/人
4
25
50
15
6
（单位：）
60
63
50
76
71
85
75
63
63
64
（单位：）
56
62
60
68
78
75
76
62
63
70
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标