2023-2024学年江西省南昌市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

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试卷总分：150分 考试时长：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量与向量平行，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知、是空间中两个不同的平面，、是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
5. 圆上到直线距离等于1的点有
A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个
6. 已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的正三角形，是正方形，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（ ）
A. D1C∥平面A1ABB1B. A1D1与平面BCD1相交
C. AD⊥平面D1DBD. 平面BCD1⊥平面A1ABB1
11. 已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A. 1B. C. ﹣2D. ﹣1
12. 已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点（点不与点重合），则下列结论中正确的有（ ）
A. 离心率B. 周长为15
C. 若，则的面积为9D. 直线与直线斜率的乘积为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 与双曲线有公共的渐近线且过点的双曲线方程是______.
14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为________．
15. 如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为______.
16. 设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知两条直线与交点，求：
（1）过点且过原点直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
18. 已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.
20. 如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, ，,，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
21. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线有两个不同的交点A和,且（其中为原点）,求的取值范围．
22. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为2的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值（为坐标原点）．