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2023-2024学年四川省成都市嘉祥外国语教育集团高二上学期期中考试数学试题含答案
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注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存.
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆C：一个焦点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
4. 直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
5. 若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则正确的是（ ）
A. 点P关于x轴对称点的坐标为
B. 点P关于平面的对称点坐标为
C. 点P到原点O的距离是3
D. 直线与y轴所在直线夹角的余弦值为
10. 已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知曲线，点，，，P为曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为6
B. 的面积的最大值为
C. 存在点P，使得
D. 的最大值为7
12. 已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 当最小时，直线的方程为
C. 若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是
D. 定点到动直线BC距离最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知光线经过点，经x轴上的反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为________．
14. 已知方程(为实数)表示圆，则________．
15. 椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.
16. 已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程．
18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，.
（1）求圆A的标准方程；
（2）求直线l的方程.
19. 已知四面体ABCD顶点坐标分别为，，，．
（1）若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；
（2）若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．
20. 如图，已知是椭圆C:左右焦点，过直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的长轴是DE，直线AD，BE的斜率分别是k1，k2，求的值．
21. 如图，正三棱锥中，E，F分别是侧棱AC，AD的中点，连接EF．
（1）判断AB与EF位置关系，说明理由；
（2）若，，求平面BCD与平面BEF所成角的余弦值．
22. 已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求C的方程．
（2）如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存.
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆C：一个焦点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知点P是圆 上一点，点，则线段长度的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
4. 直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
5. 若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则正确的是（ ）
A. 点P关于x轴对称点的坐标为
B. 点P关于平面的对称点坐标为
C. 点P到原点O的距离是3
D. 直线与y轴所在直线夹角的余弦值为
10. 已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知曲线，点，，，P为曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为6
B. 的面积的最大值为
C. 存在点P，使得
D. 的最大值为7
12. 已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 当最小时，直线的方程为
C. 若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是
D. 定点到动直线BC距离最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知光线经过点，经x轴上的反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为________．
14. 已知方程(为实数)表示圆，则________．
15. 椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.
16. 已知椭圆C：的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程．
18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，.
（1）求圆A的标准方程；
（2）求直线l的方程.
19. 已知四面体ABCD顶点坐标分别为，，，．
（1）若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；
（2）若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．
20. 如图，已知是椭圆C:左右焦点，过直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的长轴是DE，直线AD，BE的斜率分别是k1，k2，求的值．
21. 如图，正三棱锥中，E，F分别是侧棱AC，AD的中点，连接EF．
（1）判断AB与EF位置关系，说明理由；
（2）若，，求平面BCD与平面BEF所成角的余弦值．
22. 已知圆心为H的圆和定点，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求C的方程．
（2）如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围
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