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四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考理科数学试题
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这是一份四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考理科数学试题，共26页。
1.（单选题，5分）不等式x2-x-6≤0的解集是（ ）
A.∅
B.R
C.[-2，3]
D.（-∞，-2]∪[3，+∞）
2.（单选题，5分）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（ ）
A.（4，-3，2）
B.（-3，4，2）
C.（4，2，-3）
D.（4，3，2）
3.（单选题，5分）若直线l的倾斜角的取值范围是（0，90°），则斜率的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（0，+∞）
C.（-∞，0）
D.（1，+∞）
4.（单选题，5分）若非零实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a2＞b2
B.-a＞-b
C. 3a＞3b
D.|a|＞|b|
5.（单选题，5分）已知α，β是空间中不重合的两平面，a,b是空间中不同的两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A.b⊥α，b || β⇒α⊥β
B.b⊥α，a⊥b⇒a || α
C.α⊥β，b⊂α⇒b⊥β
D.α⊥β，b⊥α⇒b || β
6.（单选题，5分）若正实数a,b满足a+4b=2，则ab的最大值为（ ）
A. 18
B. 14
C. 12
D.1
7.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（-1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（ ）
A.1
B. 2
C.2
D. 22
8.（单选题，5分）已知椭圆 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12
B. 22
C. 33
D. 23
9.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），若点P是圆x2+y2=4上的动点，则△PAB面积的取值范围是（ ）
A.[0，10]
B.[3，9]
C.[5，7]
D.[1，11]
10.（单选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段AA1的中点，点Q是线段DB1上的动点（包括端点），则|PQ|的最小值为（ ）
A. 12
B. 22
C. 32
D.1
11.（单选题，5分）已知直线 mx−y+3m=0 与 x+my−3=0m∈R 交于点P，若 A−3，0 ， B3，0 ，则使点P到A，B距离之和等于4的m的值有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.（单选题，5分）已知实数x,y满足方程x2+y2+xy=1，则下列不等式正确的是（ ）
A.-1≤x-y≤1
B.-1≤x+y≤1
C. −1 ≤xy ≤13
D.0＜x2+y2≤1
13.（填空题，5分）椭圆 x216 + y27 =1的长轴长为 ___ ．
14.（填空题，5分）若x,y满足约束条件 x+2y−2 ≥ 0 ， x−2y+2 ≥ 0 ， x−y ≤ 0 ， 则x+y的最大值为 ___ ．
15.（填空题，5分）圆C1：x2+y2+2x=3与圆C2：x2+y2-4y=1的公共弦长为 ___ ．
16.（填空题，5分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，已知AB=AA1=2AD=2，且二面角C-AD-A1的平面角为60°，连接AC，A1C1，则四边形ACC1A1的面积为 ___ ．
17.（问答题，10分）分别求满足下列条件的直线方程．
（1）倾斜角为60°，且过点 3，−1 ；
（2）经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点，且与直线x+2y+1=0平行．
18.（问答题，12分）已知椭圆C的标准方程为 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 ，且右顶点到两焦点F1，F2距离之和为 22 ，距离之差为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求A，B两点的坐标．
19.（问答题，12分）已知圆C的圆心为（-2，1），半径为3，l是过点P（0，2）的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为 25 ，求直线l的方程．
20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形， AB=3 ，AD=3，点M是棱BC上的点，且满足BM=1．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）求证：平面PAM⊥平面PBD．
21.（问答题，12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）=0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）=151x+ 25600x -1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
22.（问答题，12分）已知圆C过点（1，1），且与y轴相切于坐标原点，过直线l：x-y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求 MCMO 的最大值．
2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
试题数：22，满分：150
1.（单选题，5分）不等式x2-x-6≤0的解集是（ ）
A.∅
B.R
C.[-2，3]
D.（-∞，-2]∪[3，+∞）
【正确答案】：C
【解析】：利用不等式的解法，即可解出．
【解答】：解：方程x2-x-6=0的根为：-2，3，
所以不等式x2-x-6≤0的解集为：{x|-2≤x≤3}，
故选：C．
【点评】：本题考查了不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题．
2.（单选题，5分）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（ ）
A.（4，-3，2）
B.（-3，4，2）
C.（4，2，-3）
D.（4，3，2）
【正确答案】：A
【解析】：根据已知条件，直接求出点P的坐标．
【解答】：解：由图可知，在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（4，-3，2）．
故选：A．
【点评】：本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
3.（单选题，5分）若直线l的倾斜角的取值范围是（0，90°），则斜率的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（0，+∞）
C.（-∞，0）
D.（1，+∞）
【正确答案】：B
【解析】：由已知结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】：解：因为直线l的倾斜角的取值范围是（0，90°），
则斜率的取值范围为（0，+∞）．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
4.（单选题，5分）若非零实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a2＞b2
B.-a＞-b
C. 3a＞3b
D.|a|＞|b|
【正确答案】：C
【解析】：利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
【解答】：解：对于A，举例a=1，b=-2，满足a＞b,但是a2＜b2，故A错误，
对于B，∵a＞b,∴-a＜-b,故B错误，
对于C，∵函数y= x13 在R上单调递增，且a＞b,∴ a13＞b13 ，即 3a＞3b ，故C正确，
对于D，举例a=1，b=-2，满足a＞b,但是|a|＜|b|，故D错误，
故选：C．
【点评】：本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
5.（单选题，5分）已知α，β是空间中不重合的两平面，a,b是空间中不同的两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A.b⊥α，b || β⇒α⊥β
B.b⊥α，a⊥b⇒a || α
C.α⊥β，b⊂α⇒b⊥β
D.α⊥β，b⊥α⇒b || β
【正确答案】：A
【解析】：由空间中线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可．
【解答】：解：对于A，由面面垂直的判定可知，若b⊥α，b || β，则α⊥β，选项A正确；
对于B，若b⊥α，a⊥b,则a可能在平面α内，选项B错误；
对于C，若α⊥β，b⊂α，则b可以与β平行，可以相交，还可以在β内，选项C错误；
对于D，若α⊥β，b⊥α，则b可能在β内，选项D错误．
故选：A．
【点评】：本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．
6.（单选题，5分）若正实数a,b满足a+4b=2，则ab的最大值为（ ）
A. 18
B. 14
C. 12
D.1
【正确答案】：B
【解析】：由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】：解：正实数a,b满足2=4b+a ≥24ab ，当且仅当a=4b=1，即a=1，b= 14 时取等号，
所以ab ≤14 ．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（-1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（ ）
A.1
B. 2
C.2
D. 22
【正确答案】：D
【解析】：直接利用两点间的距离公式的应用求出两平行线间的距离．
【解答】：解：已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（-1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，
则l1，l2间的距离的最大值为 −1−12+2−02=22 ．
故选：D．
【点评】：本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8.（单选题，5分）已知椭圆 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12
B. 22
C. 33
D. 23
【正确答案】：C
【解析】：根据已知条件求出PF2的长度，再根据椭圆定义即可求出结果．
【解答】：解：∵PF2⊥x轴，可得P的横坐标为c,|PF2|= b2a ，
∴|PF2|+|PF1|= 3b2a =2a,即3b2=2a2，化简可得3（a2-c2）=2a2，
即a2=3c2， c2a2 = 13 ，
故e= 33 ，
故选：C．
【点评】：本题主要考查了椭圆的定义以及离心率，属于基础题．
9.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），若点P是圆x2+y2=4上的动点，则△PAB面积的取值范围是（ ）
A.[0，10]
B.[3，9]
C.[5，7]
D.[1，11]
【正确答案】：D
【解析】：先求得|AB|，以及AB的直线方程，可求圆上的点到直线的距离的最大值与最小值，进而可求△PAB面积的取值范围．
【解答】：解：∵A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），
∴|AB|= −32+42 =5，直线AB的方程为 x−3 + y4 =1，即4x-3y+12=0，
圆心O到直线的距离d= 1242+−32 = 125 ，
所以P到直线AB的距离的最大值为 125 +2= 225 ，最小值为 125 -2= 25 ，
∴△PAB面积的最大值为 12 ×5× 225 =11，最小值为 12 ×5× 25 =1，
∴△PAB面积的取值范围是[1，11]．
故选：D．
【点评】：本题考查求圆上的点到直线的距离的最值，考查转化思想，属中档题．
10.（单选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段AA1的中点，点Q是线段DB1上的动点（包括端点），则|PQ|的最小值为（ ）
A. 12
B. 22
C. 32
D.1
【正确答案】：B
【解析】：根据题意易得当P为AA1的中点时，|PQ|的值最小，再计算即可得解．
【解答】：解：如图，当P为AA1的中点时，|PQ|的值最小，
理由如下：
连接AC，BD，且两直线交于点H，连接QH，
则易得QH || BB1，BB1 || AA1，
∴AA1 || QH，且易得PA=QH，PA⊥AC，
∴四边形PAHQ为矩形，
∴QP⊥AA1，
∴当P为AA1的中点时，|PQ|的值最小，
|PQ|的最小值为 12 |AC|= 22 ．
故选：B．
【点评】：本题考查空间中线的平行关系，点到直线的距离最短问题，属基础题．
11.（单选题，5分）已知直线 mx−y+3m=0 与 x+my−3=0m∈R 交于点P，若 A−3，0 ， B3，0 ，则使点P到A，B距离之和等于4的m的值有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【正确答案】：D
【解析】：首先求出两直线的交点P（ −3m+3m+1，23mm+1 ）；进一步利用椭圆的方程建立47m2-14m-1=0，进一步利用判别式求出m的值的个数．
【解答】：解：直线 mx−y+3m=0 和直线 x+my−3=0 交于点P，
所以 mx−y+3m=0x+my−3=0 ，
解得 x=−3m+3m+1y=23mm+1 ，即P（ −3m+3m+1，23mm+1 ）；
由于点 A−3，0 ， B3，0 ，
则使点P到A，B距离之和等于4，
故|PA|+|PB|=4；
故点P满足的方程为椭圆 x24+y2=1 ，
把点P的坐标代入椭圆的方程，得到 −3m+3m+124+23mm+12=1 ，
整理得47m2-14m-1=0，
由于Δ=142+4×47＞0，故该方程有两个不相等的实数根，
根据椭圆的对称性，故m的值有4个．
故选：D．
【点评】：本题考查的知识要点：直线的交点，椭圆的方程的应用，一元二次方程与判别式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12.（单选题，5分）已知实数x,y满足方程x2+y2+xy=1，则下列不等式正确的是（ ）
A.-1≤x-y≤1
B.-1≤x+y≤1
C. −1 ≤xy ≤13
D.0＜x2+y2≤1
【正确答案】：C
【解析】：由原式变形可得（x-y）2=1-3xy,再由基本不等式可判断选项A错误；由原式变形可得（x+y）2=1+xy,再由基本不等式可判断选项B错误；由原式变形可得1-xy=x2+y2≥2xy,（x+y）2=1+xy≥0，由此可判断选项C正确；举反例，可判断选项D错误．
【解答】：解：因为x2+y2+xy=（x-y）2+3xy=1，
所以（x-y）2=1-3xy ≤1+3×x−y22 ，当且仅当x=-y时取等号，
解得-2≤x-y≤2，A错误；
因为x2+y2+xy=（x+y）2-xy=1，
所以（x+y）2=1+xy ≤1+x+y22 ，当且仅当x=y时取等号，
解得- 233 ≤x+y≤ 233 ，B错误；
又1-xy=x2+y2≥2xy,则 xy≤13 （x=y时取等号），又（x+y）2=1+xy≥0，则xy≥-1（x+y=0时取等号），
故 −1≤xy≤13 ，C正确；
当x=1，y=-1时，满足x2+y2+xy=1，但x2+y2=2，则选项D错误．
故选：C．
【点评】：本题主要考查基本不等式的运用以及恒等变形，考查运算求解能力，属于基础题．
13.（填空题，5分）椭圆 x216 + y27 =1的长轴长为 ___ ．
【正确答案】：[1]8
【解析】：根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a的值，进而由长轴的定义可得答案．
【解答】：解：由 x216 + y27 =1，得a2=16，
∴a=4，
则其长轴长2a=8；
故答案为：8．
【点评】：本题考查椭圆的标准方程的意义，属基础题．
14.（填空题，5分）若x,y满足约束条件 x+2y−2 ≥ 0 ， x−2y+2 ≥ 0 ， x−y ≤ 0 ， 则x+y的最大值为 ___ ．
【正确答案】：[1]4
【解析】：作出可行域，根据图象即可求得最大值．
【解答】：解：作出图象，如图所示：
由此可得z=x+y在点A（2，2）处取最大值，
所以zmax=2+2=4，
故答案为：4．
【点评】：本题考查了线性规划问题，关键点是准确作出图象、找出最大值点，属于基础题．
15.（填空题，5分）圆C1：x2+y2+2x=3与圆C2：x2+y2-4y=1的公共弦长为 ___ ．
【正确答案】：[1] 855
【解析】：直接利用两圆的位置关系，求出公共弦的直线方程，利用点到直线的距离求出圆心C1到公共弦的距离，再利用垂径定理求出公共弦长．
【解答】：解：∵圆C1：x2+y2+2x=3，圆C2：x2+y2-4y=1，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程为：x+2y-1=0；
圆C1：x2+y2+2x=3的圆心C1（-1，0），半径r=2，
圆心C1（-1，0）到直线x+2y-1=0的距离d= −1+0−15 = 255 ，
∴公共弦长|AB|=2 4−45 = 855 ．
故答案为： 855 ．
【点评】：本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，垂径定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.（填空题，5分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，已知AB=AA1=2AD=2，且二面角C-AD-A1的平面角为60°，连接AC，A1C1，则四边形ACC1A1的面积为 ___ ．
【正确答案】：[1] 15
【解析】：先证明∠A1AB=60°，再求得 SABB1A1 =2 3 ，再根据cs ∠CAB=SABB1A1SACC1A1 求解即可．
【解答】：解：因为四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，所以BA⊥AD，A1A⊥AD，
又因为二面角C-AD-A1的平面角为60°，所以∠A1AB=60°．
又因为AB=AA1=2AD=2，所以 SABB1A1 =2× 12×2×2×sin60° =2 3 ．
因为ABCD为矩形，且AB=AA1=2AD=2，所以cs ∠CAB=ABAC=212+22=255 ．
由题意易知，CB⊥面ABB1A1，所以cs ∠CAB=SABB1A1SACC1A1 ，即 255=23SACC1A1 ，解得 sACC1A1 = 15 ．
故答案为： 15 ．
【点评】：本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
17.（问答题，10分）分别求满足下列条件的直线方程．
（1）倾斜角为60°，且过点 3，−1 ；
（2）经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点，且与直线x+2y+1=0平行．
【正确答案】：
【解析】：（1）先求出直线的斜率，再用用点斜式求直线的方程．
（2）由题意，根据两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程．
【解答】：解：（1）倾斜角为60°的直线的斜率为tan60°= 3 ，且过点 3，−1 ，
故它的方程为y+1= 3 （x- 3 ），即 3 x-y-4=0．
（2）设经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点（1，1），
且与直线x+2y+1=0平行的直线的方程为x+2y+m=0，
把点（1，1）代入，求得m=-3，可得要求直线的方程为x+2y-3=0．
【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
18.（问答题，12分）已知椭圆C的标准方程为 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 ，且右顶点到两焦点F1，F2距离之和为 22 ，距离之差为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求A，B两点的坐标．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意可知，右顶点到两焦点F1，F2距离分别为a+c,a-c,因此可得 a=2 ，c=1，b=1，即可求得椭圆方程；
（2）由（1）可知，求得直线l的方程，代入椭圆方程，即可求得A和B点坐标．
【解答】：解：（1）右顶点到两焦点F1，F2距离分别为a+c,a-c,
所以 a+c+a−c=2a=22 ，（a+c）-（a-c）=2c=2，所以 a=2 ，c=1，
所以b2=a2-c2=1，
所以椭圆方程为： x22+y2=1 ；
（2）由（1）可知，椭圆的左焦点F1（-1，0），所以直线l的方程为y=x+1，
联立直线l与椭圆方程： y=x+1x2+2y2−2=0 ，消去y,整理得3x2+4x=0，
解得 x=−43 或x=0，
直线A，B两点坐标为 −43，−13 ，（0，1）．
【点评】：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于基础题．
19.（问答题，12分）已知圆C的圆心为（-2，1），半径为3，l是过点P（0，2）的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为 25 ，求直线l的方程．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用已知可求得圆的方程，代入点P的坐标可判断点P不在圆上；
（2）当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，由垂径定理可得（ 5 ）2+（ −2k−1+2k2+1 ）2=9，可求k,进而可求直线l的方程．
【解答】：解：（1）点P不在圆上，
理由如下：由圆C的圆心为（-2，1），半径为3，
∴圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=9，
又（0+2）2+（2-1）2=5≠9，
故点P不在圆上；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
圆心到直线的距离为2，弦长为2 r2−d2 =2 9−4 =2 5 ，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
圆心到直线的距离d= −2k−1+2k2+1 ，
∵圆C被直线l截得的弦长为 25 ，
∴（ 5 ）2+（ −2k−1+2k2+1 ）2=9，
解得k=- 34 ，
∴切线方程为y=- 34 x+2，即3x+4y-8=0，
综上所述：直线l的方程为x=0或3x+4y-8=0．
【点评】：本题考查求圆的方程，考查利用弦长求直线的方程，考查运算求解能力，属基础题．
20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形， AB=3 ，AD=3，点M是棱BC上的点，且满足BM=1．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）求证：平面PAM⊥平面PBD．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意，由线面垂直的性质可得PA⊥AB，由矩形的性质可得AB⊥AD，进而可得AB⊥面PAD，进而可得结论；
（2）根据题意，由线面垂直的性质可得PA⊥BD，在矩形ABCD中，分析可得BD⊥AM，由此可得BD⊥面PAM，由面面垂直的判定定理分析可得答案．
【解答】：证明：（1）根据题意，PA⊥底面ABCD，则PA⊥AB，
而底面ABCD为矩形，则AB⊥AD，
则有AB⊥面PAD，
故AB⊥PD；
（2）PA⊥底面ABCD，则PA⊥BD，
底面ABCD为矩形， AB=3 ，且AD=3，则有BC=3，CD= 3 ，
又由BM=1，则有 BMAB = CDBC = 33 ，则Rt△ABM∽Rt△BCD，
则有∠BAM=∠CBD，则有∠BAM+∠ABM=90°，故BD⊥AM，
又由PA⊥BD，则BD⊥面PAM，
而BD⊂平面PBD，
故有平面PAM⊥平面PBD．
【点评】：本题考查线面垂直、面面垂直的判定和性质的应用，涉及四棱锥的几何结构，属于基础题．
21.（问答题，12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）=0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）=151x+ 25600x -1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论，即可求解．
（2）结合（1）的结论，以及二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】：解：（1）当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）=150x-300-（0.1x2+130x）=-0.1x2+20x-300，
当x＞120，x∈N*时，
L（x）= 150x−300−151x+25600x−1350 = −x−25600x+1050 ，
故L（x）= −0.1x2+20x−300，0＜x≤120，x∈N*，−x−25600x+1050，x＞120，x∈N* ．
（2）当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）=-0.1x2+20x-300，开口向下，对称轴为x=100，
故L（x）的最大值为L（100）=700（万元），
当x＞120，x∈N*时，
L（x）= −x−25600x+1050 ≤−2x•25600x+1050 =730，当且仅当 x=25600x ，即x=160时，等号成立，
故L（x）的最大值为730（万元），
730＞700，
则封装160万片时，公司可获得最大利润．
【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
22.（问答题，12分）已知圆C过点（1，1），且与y轴相切于坐标原点，过直线l：x-y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求 MCMO 的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1）设圆心C的坐标为（c,0），利用已知可得 c2+02 = c−12+0−12 ，可求c,进而可求圆C的标准方程；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），再设点P为（a,a+1），可得直线l1的方程为（x1-1）x+y1y-x1=0，整理可得A满足：（a-1）x1+（a+1）y1-a=0，进而可求AB的方程为：（a-1）x+（a+1）y-a=0，进而可求点M的轨迹方程为（x- 34 ）2+（y- 14 ）2= 18 （去掉（1，0）），再利用 MCMO = xM−12+yM2xM2+yM2 ，计算可求 MCMO 的最大值．
【解答】：解：（1）∵圆C与y轴相切，∴可设圆心C的坐标为（c,0），
又圆C过点（1，1），（0，0），∴ c2+02 = c−12+0−12 ，
解得c=1，∴半径为1，∴圆C的标准方程为（x-1）2+y2=1；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），再设点P为（a,a+1），
直线AC的方程为y1x+（1-x1）y-y1=0，
直线l1过点A，且与直线AC垂直，∴直线l1的方程为（x1-1）x+y1y-x1=0，
又直线l1过点P，∴（x1-1）a+y1（a+1）-x1=0，
整理可得A满足：（a-1）x1+（a+1）y1-a=0，
同理可得B满足：（a-1）x2+（a+1）y2-a=0，
∴直线AB的方程为：（a-1）x+（a+1）y-a=0，
∴直线恒过定点Q（ 12 ， 12 ），
由题意可知当点M与点Q不重合，MC⊥MQ，点M在以CQ为直径的圆上（不包括点C），
当点M与点Q重合时也在该圆上，
∴点M的轨迹方程为（x- 34 ）2+（y- 14 ）2= 18 （去掉（1，0）），记圆心为N，
∴ MCMO = xM−12+yM2xM2+yM2 = 1−2xM−1xM2+yM2 = 1−2×2xM−13xM+yM−1 ，
当xM= 12 时， MCMO =1，
当xM≠ 12 时，∵ 2xM−13xM+yM−1 =2× 2xM−16xM+2yM−2 = 23+2yM+12xM−1 ，
又∵ 2yM+12xM−1 即点（ 12 ，- 12 ）与点（xM，yM）所在直线的斜率，范围是（-∞，-7]∪[1，+∞），
进而 2xM−13xM+yM−1 ∈[- 12 0）∪（0， 12 ]，
∴ MCMO ∈[0，1）∪（1， 2 ]，
综上： MCMO ∈[0， 2 ]，∴ MCMO 的最大值为 2 ．
【点评】：本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
1.（单选题，5分）不等式x2-x-6≤0的解集是（ ）
A.∅
B.R
C.[-2，3]
D.（-∞，-2]∪[3，+∞）
2.（单选题，5分）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（ ）
A.（4，-3，2）
B.（-3，4，2）
C.（4，2，-3）
D.（4，3，2）
3.（单选题，5分）若直线l的倾斜角的取值范围是（0，90°），则斜率的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（0，+∞）
C.（-∞，0）
D.（1，+∞）
4.（单选题，5分）若非零实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a2＞b2
B.-a＞-b
C. 3a＞3b
D.|a|＞|b|
5.（单选题，5分）已知α，β是空间中不重合的两平面，a,b是空间中不同的两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A.b⊥α，b || β⇒α⊥β
B.b⊥α，a⊥b⇒a || α
C.α⊥β，b⊂α⇒b⊥β
D.α⊥β，b⊥α⇒b || β
6.（单选题，5分）若正实数a,b满足a+4b=2，则ab的最大值为（ ）
A. 18
B. 14
C. 12
D.1
7.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（-1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（ ）
A.1
B. 2
C.2
D. 22
8.（单选题，5分）已知椭圆 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12
B. 22
C. 33
D. 23
9.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），若点P是圆x2+y2=4上的动点，则△PAB面积的取值范围是（ ）
A.[0，10]
B.[3，9]
C.[5，7]
D.[1，11]
10.（单选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段AA1的中点，点Q是线段DB1上的动点（包括端点），则|PQ|的最小值为（ ）
A. 12
B. 22
C. 32
D.1
11.（单选题，5分）已知直线 mx−y+3m=0 与 x+my−3=0m∈R 交于点P，若 A−3，0 ， B3，0 ，则使点P到A，B距离之和等于4的m的值有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.（单选题，5分）已知实数x,y满足方程x2+y2+xy=1，则下列不等式正确的是（ ）
A.-1≤x-y≤1
B.-1≤x+y≤1
C. −1 ≤xy ≤13
D.0＜x2+y2≤1
13.（填空题，5分）椭圆 x216 + y27 =1的长轴长为 ___ ．
14.（填空题，5分）若x,y满足约束条件 x+2y−2 ≥ 0 ， x−2y+2 ≥ 0 ， x−y ≤ 0 ， 则x+y的最大值为 ___ ．
15.（填空题，5分）圆C1：x2+y2+2x=3与圆C2：x2+y2-4y=1的公共弦长为 ___ ．
16.（填空题，5分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，已知AB=AA1=2AD=2，且二面角C-AD-A1的平面角为60°，连接AC，A1C1，则四边形ACC1A1的面积为 ___ ．
17.（问答题，10分）分别求满足下列条件的直线方程．
（1）倾斜角为60°，且过点 3，−1 ；
（2）经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点，且与直线x+2y+1=0平行．
18.（问答题，12分）已知椭圆C的标准方程为 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 ，且右顶点到两焦点F1，F2距离之和为 22 ，距离之差为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求A，B两点的坐标．
19.（问答题，12分）已知圆C的圆心为（-2，1），半径为3，l是过点P（0，2）的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为 25 ，求直线l的方程．
20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形， AB=3 ，AD=3，点M是棱BC上的点，且满足BM=1．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）求证：平面PAM⊥平面PBD．
21.（问答题，12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）=0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）=151x+ 25600x -1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
22.（问答题，12分）已知圆C过点（1，1），且与y轴相切于坐标原点，过直线l：x-y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求 MCMO 的最大值．
2022-2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
试题数：22，满分：150
1.（单选题，5分）不等式x2-x-6≤0的解集是（ ）
A.∅
B.R
C.[-2，3]
D.（-∞，-2]∪[3，+∞）
【正确答案】：C
【解析】：利用不等式的解法，即可解出．
【解答】：解：方程x2-x-6=0的根为：-2，3，
所以不等式x2-x-6≤0的解集为：{x|-2≤x≤3}，
故选：C．
【点评】：本题考查了不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题．
2.（单选题，5分）如图，在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（ ）
A.（4，-3，2）
B.（-3，4，2）
C.（4，2，-3）
D.（4，3，2）
【正确答案】：A
【解析】：根据已知条件，直接求出点P的坐标．
【解答】：解：由图可知，在空间直角坐标系Oxyz中，点P的坐标为（4，-3，2）．
故选：A．
【点评】：本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
3.（单选题，5分）若直线l的倾斜角的取值范围是（0，90°），则斜率的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（0，+∞）
C.（-∞，0）
D.（1，+∞）
【正确答案】：B
【解析】：由已知结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】：解：因为直线l的倾斜角的取值范围是（0，90°），
则斜率的取值范围为（0，+∞）．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
4.（单选题，5分）若非零实数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a2＞b2
B.-a＞-b
C. 3a＞3b
D.|a|＞|b|
【正确答案】：C
【解析】：利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
【解答】：解：对于A，举例a=1，b=-2，满足a＞b,但是a2＜b2，故A错误，
对于B，∵a＞b,∴-a＜-b,故B错误，
对于C，∵函数y= x13 在R上单调递增，且a＞b,∴ a13＞b13 ，即 3a＞3b ，故C正确，
对于D，举例a=1，b=-2，满足a＞b,但是|a|＜|b|，故D错误，
故选：C．
【点评】：本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
5.（单选题，5分）已知α，β是空间中不重合的两平面，a,b是空间中不同的两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A.b⊥α，b || β⇒α⊥β
B.b⊥α，a⊥b⇒a || α
C.α⊥β，b⊂α⇒b⊥β
D.α⊥β，b⊥α⇒b || β
【正确答案】：A
【解析】：由空间中线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可．
【解答】：解：对于A，由面面垂直的判定可知，若b⊥α，b || β，则α⊥β，选项A正确；
对于B，若b⊥α，a⊥b,则a可能在平面α内，选项B错误；
对于C，若α⊥β，b⊂α，则b可以与β平行，可以相交，还可以在β内，选项C错误；
对于D，若α⊥β，b⊥α，则b可能在β内，选项D错误．
故选：A．
【点评】：本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．
6.（单选题，5分）若正实数a,b满足a+4b=2，则ab的最大值为（ ）
A. 18
B. 14
C. 12
D.1
【正确答案】：B
【解析】：由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】：解：正实数a,b满足2=4b+a ≥24ab ，当且仅当a=4b=1，即a=1，b= 14 时取等号，
所以ab ≤14 ．
故选：B．
【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（-1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，则l1，l2间的距离的最大值为（ ）
A.1
B. 2
C.2
D. 22
【正确答案】：D
【解析】：直接利用两点间的距离公式的应用求出两平行线间的距离．
【解答】：解：已知A，B两点的坐标分别为（1，0），（-1，2），若两平行直线l1，l2分别过点A，B，
则l1，l2间的距离的最大值为 −1−12+2−02=22 ．
故选：D．
【点评】：本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8.（单选题，5分）已知椭圆 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上一点P满足PF2⊥F1F2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12
B. 22
C. 33
D. 23
【正确答案】：C
【解析】：根据已知条件求出PF2的长度，再根据椭圆定义即可求出结果．
【解答】：解：∵PF2⊥x轴，可得P的横坐标为c,|PF2|= b2a ，
∴|PF2|+|PF1|= 3b2a =2a,即3b2=2a2，化简可得3（a2-c2）=2a2，
即a2=3c2， c2a2 = 13 ，
故e= 33 ，
故选：C．
【点评】：本题主要考查了椭圆的定义以及离心率，属于基础题．
9.（单选题，5分）已知A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），若点P是圆x2+y2=4上的动点，则△PAB面积的取值范围是（ ）
A.[0，10]
B.[3，9]
C.[5，7]
D.[1，11]
【正确答案】：D
【解析】：先求得|AB|，以及AB的直线方程，可求圆上的点到直线的距离的最大值与最小值，进而可求△PAB面积的取值范围．
【解答】：解：∵A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），
∴|AB|= −32+42 =5，直线AB的方程为 x−3 + y4 =1，即4x-3y+12=0，
圆心O到直线的距离d= 1242+−32 = 125 ，
所以P到直线AB的距离的最大值为 125 +2= 225 ，最小值为 125 -2= 25 ，
∴△PAB面积的最大值为 12 ×5× 225 =11，最小值为 12 ×5× 25 =1，
∴△PAB面积的取值范围是[1，11]．
故选：D．
【点评】：本题考查求圆上的点到直线的距离的最值，考查转化思想，属中档题．
10.（单选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段AA1的中点，点Q是线段DB1上的动点（包括端点），则|PQ|的最小值为（ ）
A. 12
B. 22
C. 32
D.1
【正确答案】：B
【解析】：根据题意易得当P为AA1的中点时，|PQ|的值最小，再计算即可得解．
【解答】：解：如图，当P为AA1的中点时，|PQ|的值最小，
理由如下：
连接AC，BD，且两直线交于点H，连接QH，
则易得QH || BB1，BB1 || AA1，
∴AA1 || QH，且易得PA=QH，PA⊥AC，
∴四边形PAHQ为矩形，
∴QP⊥AA1，
∴当P为AA1的中点时，|PQ|的值最小，
|PQ|的最小值为 12 |AC|= 22 ．
故选：B．
【点评】：本题考查空间中线的平行关系，点到直线的距离最短问题，属基础题．
11.（单选题，5分）已知直线 mx−y+3m=0 与 x+my−3=0m∈R 交于点P，若 A−3，0 ， B3，0 ，则使点P到A，B距离之和等于4的m的值有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【正确答案】：D
【解析】：首先求出两直线的交点P（ −3m+3m+1，23mm+1 ）；进一步利用椭圆的方程建立47m2-14m-1=0，进一步利用判别式求出m的值的个数．
【解答】：解：直线 mx−y+3m=0 和直线 x+my−3=0 交于点P，
所以 mx−y+3m=0x+my−3=0 ，
解得 x=−3m+3m+1y=23mm+1 ，即P（ −3m+3m+1，23mm+1 ）；
由于点 A−3，0 ， B3，0 ，
则使点P到A，B距离之和等于4，
故|PA|+|PB|=4；
故点P满足的方程为椭圆 x24+y2=1 ，
把点P的坐标代入椭圆的方程，得到 −3m+3m+124+23mm+12=1 ，
整理得47m2-14m-1=0，
由于Δ=142+4×47＞0，故该方程有两个不相等的实数根，
根据椭圆的对称性，故m的值有4个．
故选：D．
【点评】：本题考查的知识要点：直线的交点，椭圆的方程的应用，一元二次方程与判别式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12.（单选题，5分）已知实数x,y满足方程x2+y2+xy=1，则下列不等式正确的是（ ）
A.-1≤x-y≤1
B.-1≤x+y≤1
C. −1 ≤xy ≤13
D.0＜x2+y2≤1
【正确答案】：C
【解析】：由原式变形可得（x-y）2=1-3xy,再由基本不等式可判断选项A错误；由原式变形可得（x+y）2=1+xy,再由基本不等式可判断选项B错误；由原式变形可得1-xy=x2+y2≥2xy,（x+y）2=1+xy≥0，由此可判断选项C正确；举反例，可判断选项D错误．
【解答】：解：因为x2+y2+xy=（x-y）2+3xy=1，
所以（x-y）2=1-3xy ≤1+3×x−y22 ，当且仅当x=-y时取等号，
解得-2≤x-y≤2，A错误；
因为x2+y2+xy=（x+y）2-xy=1，
所以（x+y）2=1+xy ≤1+x+y22 ，当且仅当x=y时取等号，
解得- 233 ≤x+y≤ 233 ，B错误；
又1-xy=x2+y2≥2xy,则 xy≤13 （x=y时取等号），又（x+y）2=1+xy≥0，则xy≥-1（x+y=0时取等号），
故 −1≤xy≤13 ，C正确；
当x=1，y=-1时，满足x2+y2+xy=1，但x2+y2=2，则选项D错误．
故选：C．
【点评】：本题主要考查基本不等式的运用以及恒等变形，考查运算求解能力，属于基础题．
13.（填空题，5分）椭圆 x216 + y27 =1的长轴长为 ___ ．
【正确答案】：[1]8
【解析】：根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得a的值，进而由长轴的定义可得答案．
【解答】：解：由 x216 + y27 =1，得a2=16，
∴a=4，
则其长轴长2a=8；
故答案为：8．
【点评】：本题考查椭圆的标准方程的意义，属基础题．
14.（填空题，5分）若x,y满足约束条件 x+2y−2 ≥ 0 ， x−2y+2 ≥ 0 ， x−y ≤ 0 ， 则x+y的最大值为 ___ ．
【正确答案】：[1]4
【解析】：作出可行域，根据图象即可求得最大值．
【解答】：解：作出图象，如图所示：
由此可得z=x+y在点A（2，2）处取最大值，
所以zmax=2+2=4，
故答案为：4．
【点评】：本题考查了线性规划问题，关键点是准确作出图象、找出最大值点，属于基础题．
15.（填空题，5分）圆C1：x2+y2+2x=3与圆C2：x2+y2-4y=1的公共弦长为 ___ ．
【正确答案】：[1] 855
【解析】：直接利用两圆的位置关系，求出公共弦的直线方程，利用点到直线的距离求出圆心C1到公共弦的距离，再利用垂径定理求出公共弦长．
【解答】：解：∵圆C1：x2+y2+2x=3，圆C2：x2+y2-4y=1，
∴两圆相减，得圆C1和圆C2公共弦所在直线方程为：x+2y-1=0；
圆C1：x2+y2+2x=3的圆心C1（-1，0），半径r=2，
圆心C1（-1，0）到直线x+2y-1=0的距离d= −1+0−15 = 255 ，
∴公共弦长|AB|=2 4−45 = 855 ．
故答案为： 855 ．
【点评】：本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，垂径定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.（填空题，5分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，已知AB=AA1=2AD=2，且二面角C-AD-A1的平面角为60°，连接AC，A1C1，则四边形ACC1A1的面积为 ___ ．
【正确答案】：[1] 15
【解析】：先证明∠A1AB=60°，再求得 SABB1A1 =2 3 ，再根据cs ∠CAB=SABB1A1SACC1A1 求解即可．
【解答】：解：因为四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，所以BA⊥AD，A1A⊥AD，
又因为二面角C-AD-A1的平面角为60°，所以∠A1AB=60°．
又因为AB=AA1=2AD=2，所以 SABB1A1 =2× 12×2×2×sin60° =2 3 ．
因为ABCD为矩形，且AB=AA1=2AD=2，所以cs ∠CAB=ABAC=212+22=255 ．
由题意易知，CB⊥面ABB1A1，所以cs ∠CAB=SABB1A1SACC1A1 ，即 255=23SACC1A1 ，解得 sACC1A1 = 15 ．
故答案为： 15 ．
【点评】：本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
17.（问答题，10分）分别求满足下列条件的直线方程．
（1）倾斜角为60°，且过点 3，−1 ；
（2）经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点，且与直线x+2y+1=0平行．
【正确答案】：
【解析】：（1）先求出直线的斜率，再用用点斜式求直线的方程．
（2）由题意，根据两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程．
【解答】：解：（1）倾斜角为60°的直线的斜率为tan60°= 3 ，且过点 3，−1 ，
故它的方程为y+1= 3 （x- 3 ），即 3 x-y-4=0．
（2）设经过直线x-y=0与x+y-2=0的交点（1，1），
且与直线x+2y+1=0平行的直线的方程为x+2y+m=0，
把点（1，1）代入，求得m=-3，可得要求直线的方程为x+2y-3=0．
【点评】：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
18.（问答题，12分）已知椭圆C的标准方程为 x2a2+y2b2=1a＞b＞0 ，且右顶点到两焦点F1，F2距离之和为 22 ，距离之差为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F1且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，求A，B两点的坐标．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意可知，右顶点到两焦点F1，F2距离分别为a+c,a-c,因此可得 a=2 ，c=1，b=1，即可求得椭圆方程；
（2）由（1）可知，求得直线l的方程，代入椭圆方程，即可求得A和B点坐标．
【解答】：解：（1）右顶点到两焦点F1，F2距离分别为a+c,a-c,
所以 a+c+a−c=2a=22 ，（a+c）-（a-c）=2c=2，所以 a=2 ，c=1，
所以b2=a2-c2=1，
所以椭圆方程为： x22+y2=1 ；
（2）由（1）可知，椭圆的左焦点F1（-1，0），所以直线l的方程为y=x+1，
联立直线l与椭圆方程： y=x+1x2+2y2−2=0 ，消去y,整理得3x2+4x=0，
解得 x=−43 或x=0，
直线A，B两点坐标为 −43，−13 ，（0，1）．
【点评】：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于基础题．
19.（问答题，12分）已知圆C的圆心为（-2，1），半径为3，l是过点P（0，2）的直线．
（1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
（2）若圆C被直线l截得的弦长为 25 ，求直线l的方程．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用已知可求得圆的方程，代入点P的坐标可判断点P不在圆上；
（2）当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，由垂径定理可得（ 5 ）2+（ −2k−1+2k2+1 ）2=9，可求k,进而可求直线l的方程．
【解答】：解：（1）点P不在圆上，
理由如下：由圆C的圆心为（-2，1），半径为3，
∴圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=9，
又（0+2）2+（2-1）2=5≠9，
故点P不在圆上；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
圆心到直线的距离为2，弦长为2 r2−d2 =2 9−4 =2 5 ，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
圆心到直线的距离d= −2k−1+2k2+1 ，
∵圆C被直线l截得的弦长为 25 ，
∴（ 5 ）2+（ −2k−1+2k2+1 ）2=9，
解得k=- 34 ，
∴切线方程为y=- 34 x+2，即3x+4y-8=0，
综上所述：直线l的方程为x=0或3x+4y-8=0．
【点评】：本题考查求圆的方程，考查利用弦长求直线的方程，考查运算求解能力，属基础题．
20.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形， AB=3 ，AD=3，点M是棱BC上的点，且满足BM=1．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）求证：平面PAM⊥平面PBD．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意，由线面垂直的性质可得PA⊥AB，由矩形的性质可得AB⊥AD，进而可得AB⊥面PAD，进而可得结论；
（2）根据题意，由线面垂直的性质可得PA⊥BD，在矩形ABCD中，分析可得BD⊥AM，由此可得BD⊥面PAM，由面面垂直的判定定理分析可得答案．
【解答】：证明：（1）根据题意，PA⊥底面ABCD，则PA⊥AB，
而底面ABCD为矩形，则AB⊥AD，
则有AB⊥面PAD，
故AB⊥PD；
（2）PA⊥底面ABCD，则PA⊥BD，
底面ABCD为矩形， AB=3 ，且AD=3，则有BC=3，CD= 3 ，
又由BM=1，则有 BMAB = CDBC = 33 ，则Rt△ABM∽Rt△BCD，
则有∠BAM=∠CBD，则有∠BAM+∠ABM=90°，故BD⊥AM，
又由PA⊥BD，则BD⊥面PAM，
而BD⊂平面PBD，
故有平面PAM⊥平面PBD．
【点评】：本题考查线面垂直、面面垂直的判定和性质的应用，涉及四棱锥的几何结构，属于基础题．
21.（问答题，12分）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要C（x）万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，C（x）=0.1x2+130x；当x超过120万片时，C（x）=151x+ 25600x -1350，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完．
（1）求公司获得的利润L（x）的函数解析式；
（2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论，即可求解．
（2）结合（1）的结论，以及二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】：解：（1）当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）=150x-300-（0.1x2+130x）=-0.1x2+20x-300，
当x＞120，x∈N*时，
L（x）= 150x−300−151x+25600x−1350 = −x−25600x+1050 ，
故L（x）= −0.1x2+20x−300，0＜x≤120，x∈N*，−x−25600x+1050，x＞120，x∈N* ．
（2）当0＜x≤120，x∈N*时，
L（x）=-0.1x2+20x-300，开口向下，对称轴为x=100，
故L（x）的最大值为L（100）=700（万元），
当x＞120，x∈N*时，
L（x）= −x−25600x+1050 ≤−2x•25600x+1050 =730，当且仅当 x=25600x ，即x=160时，等号成立，
故L（x）的最大值为730（万元），
730＞700，
则封装160万片时，公司可获得最大利润．
【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
22.（问答题，12分）已知圆C过点（1，1），且与y轴相切于坐标原点，过直线l：x-y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，B．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求 MCMO 的最大值．
【正确答案】：
【解析】：（1）设圆心C的坐标为（c,0），利用已知可得 c2+02 = c−12+0−12 ，可求c,进而可求圆C的标准方程；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），再设点P为（a,a+1），可得直线l1的方程为（x1-1）x+y1y-x1=0，整理可得A满足：（a-1）x1+（a+1）y1-a=0，进而可求AB的方程为：（a-1）x+（a+1）y-a=0，进而可求点M的轨迹方程为（x- 34 ）2+（y- 14 ）2= 18 （去掉（1，0）），再利用 MCMO = xM−12+yM2xM2+yM2 ，计算可求 MCMO 的最大值．
【解答】：解：（1）∵圆C与y轴相切，∴可设圆心C的坐标为（c,0），
又圆C过点（1，1），（0，0），∴ c2+02 = c−12+0−12 ，
解得c=1，∴半径为1，∴圆C的标准方程为（x-1）2+y2=1；
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），再设点P为（a,a+1），
直线AC的方程为y1x+（1-x1）y-y1=0，
直线l1过点A，且与直线AC垂直，∴直线l1的方程为（x1-1）x+y1y-x1=0，
又直线l1过点P，∴（x1-1）a+y1（a+1）-x1=0，
整理可得A满足：（a-1）x1+（a+1）y1-a=0，
同理可得B满足：（a-1）x2+（a+1）y2-a=0，
∴直线AB的方程为：（a-1）x+（a+1）y-a=0，
∴直线恒过定点Q（ 12 ， 12 ），
由题意可知当点M与点Q不重合，MC⊥MQ，点M在以CQ为直径的圆上（不包括点C），
当点M与点Q重合时也在该圆上，
∴点M的轨迹方程为（x- 34 ）2+（y- 14 ）2= 18 （去掉（1，0）），记圆心为N，
∴ MCMO = xM−12+yM2xM2+yM2 = 1−2xM−1xM2+yM2 = 1−2×2xM−13xM+yM−1 ，
当xM= 12 时， MCMO =1，
当xM≠ 12 时，∵ 2xM−13xM+yM−1 =2× 2xM−16xM+2yM−2 = 23+2yM+12xM−1 ，
又∵ 2yM+12xM−1 即点（ 12 ，- 12 ）与点（xM，yM）所在直线的斜率，范围是（-∞，-7]∪[1，+∞），
进而 2xM−13xM+yM−1 ∈[- 12 0）∪（0， 12 ]，
∴ MCMO ∈[0，1）∪（1， 2 ]，
综上： MCMO ∈[0， 2 ]，∴ MCMO 的最大值为 2 ．
【点评】：本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
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