2023-2024学年江西省赣州市南康中学十八县二十三校高二上学期期中联考数学试题含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，向量，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量坐标运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2. （）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方及除法运算求解即得.
【详解】.
故选：A
3. 已知椭圆上一点到一个焦点的距离为1，则到另一个焦点的距离为（）
A. B. 3C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆的方程可知，，所以，
由椭圆的定义知，到另一个焦点的距离为.
故选：C
4. 在空间直角坐标系中，点，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量坐标表示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D.
【详解】因为，，，
所以，，故AB错误；
因为，
所以，故C错误；
因为，故D正确.
故选：D
5. 已知直线：的倾斜角的取值范围为，则直线：的倾斜角的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线的斜率互为相反数即可得到答案.
【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，
则，则直线的斜率为，直线的斜率为，
所以与的斜率互为相反数,所以与的倾斜角互补,
得的倾斜角的取值范围为.
故选：D.
6. 已知圆：与圆：内切，则的最大值为（）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两圆位置关系可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
若圆与圆内切，则，即，
可得，即，
因为，即，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为1.
故选：B.
7. 石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（）
A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用点的纵坐标求解.
【详解】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，
设抛物线的标准方程为，
由题意知，点在抛物线上，
代入抛物线方程可得，
解得，
所以抛物线方程为，
由题意，当水面下降0.9m时，点在抛物线上，
代入抛物线方程可得，解得，
所以水面的宽度为.
故选：C
8. 对于角，甲、乙、丙、丁4人有4种不同的判断，甲：的终边在直线上，乙：，丙：，丁：，若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，则判断错误的是（）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意根据象限角和三角恒等变换分析判断.
【详解】对于甲：为第一象限角或第三象限角，则；
对于乙：因为，整理得，
解得或；
对于丙：因为，解得；
对于丁：因为，则；
若甲、乙、丙、丁4人中只有1人判断错误，可知：甲、乙、丙一定正确，
此时，为第一象限角或第三象限角，可知或，故丁错误.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，分别是双曲线：的上、下焦点，点P在上，且的实轴长等于虚轴长的2倍，则（）
A. B.
C. 的离心率为D. 的渐近线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据双曲线方程及焦点位置求判断A，根据双曲线定义判断B，求出离心率判断C，求出渐近线方程判断D.
【详解】由题意，，且，
所以，解得，故A错误；
因为，由双曲线定义知，故B正确；
因为，，所以，故离心率，故C正确；
因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，故D正确.
故选：BCD
10. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则（）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换及图象与性质一一判定即可.
【详解】由函数的图象向左平移个单位长度后得到，故A错误；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，易知时函数单调递增，故D错误.
故选：BC
11. 在圆锥中，是底面圆的直径，，且圆锥外接球的表面积为，则该圆锥的侧面积可能为（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据球的表面积求出球的半径，据此求出，再求出圆锥母线即可得解.
【详解】设球心为，球半径为，连接，，若在线段上，如图，
因为圆锥外接球的表面积为，则，
解得，
则，解得，
所以，
由可得，
即，
所以圆锥的侧面积，
若在线段的延长线上，如图，
同理，，
在中，,
即，解得，
所以，
所以，
所以圆锥的侧面积.
故选：AB
12. 已知曲线：，圆：，则（）
A. 当或时，曲线与圆没有公共点
B. 当时，曲线与圆有1个公共点
C. 当时，曲线与圆有2个公共点
D. 当时，曲线与圆有4个公共点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由得或，分类根据直线与圆的位置关系，判断交点个数即可.
【详解】由，得或，
设：，：，则过定点，过定点，
圆：的圆心坐标为，半径为，
当与圆相切时，由，得或，
当与圆相切时，由，得或．
当或时，与圆相离，与圆相离，则曲线与圆没有公共点．
当时，与圆相交，与圆相离，则曲线与圆有2个公共点．
当时，与圆相交，与圆相切，则曲线与圆有3个公共点．
当时，与圆相交，与圆相交，则曲线与圆有4个公共点．
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，且，则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解.
【详解】因为，
所以，
解得.
故答案为：4
14. 已知是抛物线：的焦点，A是上的一点，若，则A的纵坐标为_________.
【答案】##3.5
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：，准线为，
设A的纵坐标为，
由题意可知：，解得，
所以A的纵坐标为.
故答案为：.
15. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.现有一羡除，平面平面，，四边形，均为等腰梯形，，则该几何体的体积为_________.
【答案】6
【解析】
【分析】复杂的多面体一般可以分割成熟悉的棱锥棱柱求体积
【详解】如图所示，
过作交于点，过作交于点，
过作交于点，过作交于点，连接，
因为平面平面，且平面平面，
平面，平面，且，，
所以平面，平面，
又且四边形为等腰梯形且，
所以，
因为且四边形为等腰梯形且，
所以，，
又，，
所以，
，
又，且，，所以多面体为直三棱柱，
所以，
所以几何体的体积为，
故答案为：6
16. 已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果.
【详解】由题意可知：直线：的斜率为，
可知直线的斜率，
设，则线段中点的坐标，
可得，，
因为A，B为双曲线C：上的两点，则，
两式相减整理得，即，
解得，即直线，
联立方程，解得，
可知线段中点的坐标为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线经过点.
（1）若平行于直线，求的一般式方程；
（2）若垂直于直线，求在y轴上的截距，
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】根据直线平行与垂直的充要条件和截距的定义计算即可.
【小问1详解】
由题意可设，
因为直线经过点，
故，则；
【小问2详解】
由题意可设，
因为直线经过点，
故，则,
令，所以在y轴上的截距为.
18. 在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点
（1）用向量，，表示向量；
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；
（2）根据向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；
（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.
【小问1详解】
如图，
.
【小问2详解】
,
.
小问3详解】
19. 已知圆：，直线：.
（1）证明：过定点.
（2）求被圆截得的最短弦长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将直线整理得，分析求解即可；
（2）可知点在圆内，结合圆的性质可知：当直线时，被圆截得的最短弦长，进而可求弦长.
【小问1详解】
对于直线：，即，
令，解得，
所以过定点.
【小问2详解】
由题意可知：圆的圆心，半径，
因为，可知点在圆内，
由圆的性质可知：当直线时，被圆截得的最短弦长，
此时被圆截得的弦长为.
20. 已知内角A，B，的对边分别为a，b，c，且.
（1）求；
（2）若为的角平分线，D在边上，且，求的最小值.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；
（2）根据题意利用面积公式可得，结合基本不等式运算求解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得：，
因为，则，
可得，即，所以.
【小问2详解】
若为的角平分线，则，
因为，即，
整理得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值.
21. 已知椭圆：，直线与椭圆交于两点.
（1）若是椭圆短轴顶点，与不重合，求四边形面积的最大值；
（2）若直线的方程为，求弦的长（结果用表示）.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可；
（2）联立直线与椭圆方程利用韦达定理计算弦长即可.
【小问1详解】
设椭圆的半长轴、半短轴长分别为，则，，
设的横坐标分别为：，则
易知四边形面积为,
显然，当分别为椭圆左右顶点时取得最大值，
此时四边形面积最大值为；
【小问2详解】
设，将直线方程与椭圆方程联立，
消得，
所以，
由弦长公式可知.
22. 已知F为抛物线C的焦点，过F的直线交C于A，B两点，点D在C上，使得的重心G在x轴的正半轴上，直线，分别交轴于Q，P两点.O为坐标原点，当时，.
（1）求C的标准方程.
（2）记P，G，Q的横坐标分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合即可.
（2）设直线：，设，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意，，用表示，计算即可.
【小问1详解】
依题的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，
则抛物线的焦点在轴上，
设抛物线方程为：，
当时，，则，
则抛物线方程为：.
【小问2详解】
依题知直线的倾斜角不为0，则设直线：，
设，
由，得，
，则，
则，
因为三点共线，，
则，，
当时，重心G不会落在x轴上，
所以，解得：，
同理可得：，又
，
则
，
则该定值为