浙江省嘉兴外国语学校2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份浙江省嘉兴外国语学校2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 存在量词命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】“”的否定是.
故选：B.
2. 设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据交集的定义计算即可得解.
【详解】因为，，所以.
故选：D.
3. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.
【详解】A选项，为奇函数，且单调递增，故A正确；
B选项，是奇函数，在，上递减，故B错误；
C选项，偶函数，故C错误；
D选项，是奇函数，且单调递减，故D错误，．
故洗：A
4. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义，定义域和对应法则都相同，则两个函数是同一函数，可判断各选项.
【详解】A：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
B：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
C：，，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
D：，，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：C.
5. 设则的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
6. 已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（ ）
A. 1B. 3
C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由指数型函数过定点求解处m点的坐标，进而求值.
【详解】由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,
故选：C.
7. 已知函数在区间上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出的图象，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】，
的开口向下，对称轴为，画出的图象如下图所示，
由于区间上的值域为，
由图可知，的取值范围是.
故选：D
8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用可得，根据基本不等式最值成立条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.
【详解】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即最大值是1．
故选：D
【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，则下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】直接根据指数幂的运算性质逐一运算即可得出答案.
【详解】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式性质判断A、C、D，特殊值判断B即可.
【详解】由，则，即，，故A、C、D正确；
当时，故B错误.
故选：ACD
11. 下列结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 设，则“”是“”的必要不充分条件
C. “a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
D. “且”是“且”的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断A和D；由集合之间的包含关系可判断B；由数的奇偶性可判断C．
【详解】对于A：由“”不能推出“，不满足充分性，由“”可得“”，满足必要性，
所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B：由得，则“”可以推导“”，但“”不能推导“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C：由“，都是偶数”可以得到“是偶数”，但当“是偶数”时，，可能都是奇数，
所以“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：由“且”推导“且”，而而“且”，取，，不满足“且”，
所以“，且”是“且”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD．
12. 设，函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，函数，令，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，且
可得在递减，在上递增，且；
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，
此时选项B符合题意；
当当时，即时，此时函数有两个零点，
不妨设另个零点分别为且，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
可得在递减，在上递增，且，
则在递减，在上递增，且，
此时选项D符合题意
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是 __________
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式的形式，列式求函数的定义域.
【详解】函数的定义域，需满足，解得：且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14. 设函数，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.
【详解】，.
故答案为：
15. 函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．
【详解】解：∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；
当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；
综上，m=﹣1，
故答案为﹣1
【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．
16. 如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）
① ② ③ ④
【答案】①④．
【解析】
【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设全集为R，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；
（2）先求出 ，再根据交集的定义即可得出答案.
【小问1详解】
∵，，
∴．
【小问2详解】
∵，∴．
18. 计算下列各式：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）分数指数幂的化简计算问题，按照分数指数幂的运算法则计算即可；
（2）含有字母的分数指数幂的运算，同样按照分数指数幂的运算法则计算即可.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式原式.
19. 已知函数，.
（1）在同一坐标系中画出函数的图象；
（2）定义函数，分别用函数图像法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）.
【答案】（1）图象见详解；（2）答案见详解．
【解析】
【分析】（1）直接画图即可；
（2）根据函数的定义作出图象，结合图象写出单调区间与值域．
【详解】（1）如图所示：
（2）函数的图象如下：
解析式为
函数单调增区间为和；单调减区间为和；
值域为．
20. 定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）最大值是-1，最小值是-22
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性，合理设出变量，即可求解函数在上的解析式；
（2）由（1）可得，函数在区间上单调递增，在上单调递减，进而求解函数的最大值与最小值.
【详解】:


上单调递增，在上单调递减


【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数单调性的应用，其中根据题意，令函数的奇偶性求得函数的解析式，得出函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题好解答问题的能力，属于基础题.
21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
22. 已知函数为定义在R上奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围.
【答案】（1）；（2）在R上单调递增，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义得到，利用指数幂的运算化简可求得的值；
（2）先取，然后将通分化简分解因式，并结合指数函数的单调性判定与的大小关系，可证明出在R上的单调性；
（3）利用的奇偶性和单调性将问题转化为有解.根据指数函数的值域求解出的取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，所以，
所以且，所以，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下：
由条件知，任取，
所以
，
又因为，在R上单调递增，
所以且，
所以，所以，
所以在R上单调递增；
（3）有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即关于的不等式有解.
，
因为，所以，，
所以的取值范围是，
所以，所以，
即的取值范围是.