浙江省嘉兴外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份浙江省嘉兴外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．存在量词命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．设集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5. 设则的大小关系是
A. B. C. D.
6．已知函数y=2ax−1+1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（ ）
A．1B．3
C．4D．2
7．已知函数在区间上的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设a>0，则下列运算中正确的是（ ）
A．a43⋅a34=a B．a53÷a23=a C．a53⋅a−53=a D．a355=a3
10．若a>b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D． a2>ab
11．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．设，则“”是“”的必要不充分条件
C．“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件
D．“且”是“且”的充分不必要条件
12 .设，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域是
14．设函数，则 ．
15．函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数= ．
16.如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有_____________（填序号）
① ② ③ ④
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设全集为R，，．
(1)求；
(2)求．
18．（12分）计算下列各式：
（1）；
（2）
19．（12分）已知函数，.
（1）在同一坐标系中画出函数的图象；
（2）定义函数为函数中的较小者，即，分别用函数图像法和解析法表示函数，并写出的单调区间和值域（不需要证明）.

20. （12分）已知定义在上的偶函数，当x≤0时，fx=−x2+4x−1.
（1）求当x>0时的解析式；
（2）求函数在−2,3上的最大值和最小值.
21. （12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
22. （12分）已知函数为定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围.
参考答案
1. 【答案】B
【解析】“”的否定是，故选：B.
2. 【答案】D
【解析】因为，，所以A∩B=3,5，故选：D.
3. 【答案】A
【解析】A选项，为奇函数，且单调递增，故A正确；
B选项，是奇函数，在，上递减，故B错误；
C选项，偶函数，故C错误；
D选项，是奇函数，且单调递减，故D错误，．
故选：A
4.【答案】C
【详解】A：，，不是同一函数；
B：，，不是同一函数；
C：，，同一函数；
D：，，不是同一函数；
故选：C.
5. 【答案】C
【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选C.
6. 【答案】C
【详解】
由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,
故选：C.
7. 【答案】D
【解析】，
的开口向下，对称轴为，画出的图象如下图所示，
由于区间上的值域为，
由图可知，的取值范围是.
故选：D
8. 【答案】D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．故选D
9. 【答案】BD
【详解】解：对于A，a43⋅a34=a43+34=a2512，故A错误；对于B，a53÷a23=a53−23=a，故B正确；
对于C，a53⋅a−53=a53−53=1，故C错误；对于D，a355=a35×5=a3，故D正确.故选：BD.
10. 【答案】ACD
【解析】由a>b>0，则，即，a2>ab，故A、C、D正确；
当时，故B错误，故选：ACD
11. 【答案】BCD
【解析】对于A：由“”不能推出“，不满足充分性，由“”可得“”，满足必要性，
所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B：由得，则“”可以推导“”，但“”不能推导“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C：由“，都是偶数”可以得到“是偶数”，但当“是偶数”时，，可能都是奇数，
所以“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：由“且”推导“且”，而而“且”，取，，不满足“且”，
所以“，且”是“且”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD．
12. 【答案】BD
【分析】
令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，令，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，且
可得在递减，在上递增，且；
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，
此时选项B符合题意；
当时，即时，此时函数有两个零点，
不妨设另个零点分别为且，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
可得在递减，在上递增，且，
则在递减，在上递增，且，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
13. 【答案】
【解析】函数的定义域，需满足，解得：且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14. 【答案】
【解析】，.
故答案为：
15. 【答案】-1
【详解】解：∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，
∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；
当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；
综上，m=﹣1，
故答案为﹣1
16. 【答案】①④．
【详解】
对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
17. 【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵，，
∴．
（2）∵，∴．
18. 【答案】(1)；(2) .
【详解】
(1)原式.
(2)原式.
19. 【答案】（1）图象见详解；（2）答案见详解．
【解析】
（1）如图所示：
（2）函数的图象如下：
解析式为
函数单调增区间为和；单调减区间为和；
值域为．
20. 【答案】（1）x>0时，fx=−x2−4x−1
（2）最大值-1，最小值-22.
【解析】
【小问1详解】
当时，−x<0时，f−x=−x2−4x−1，
因为fx是偶函数，所以fx=f−x=−x2−4x−1，
【小问2详解】
因为fx在−2,0上单调递增，在0,3上单调递减，
所以fxmax=f0=−1，fxmin=minf−2,f3=−22
所以函数在−2,,3上的最大值为-1，最小值为-22.
21.【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
22.【答案】（1）；（2）在R上单调递增，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据奇函数的定义得到，利用指数幂的运算化简可求得的值；
（2）先取，然后将通分化简分解因式，并结合指数函数的单调性判定与的大小关系，可证明出在R上的单调性；
（3）利用的奇偶性和单调性将问题转化为有解.根据指数函数的值域求解出的取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】
（1）因为为奇函数，所以，所以，
所以且，所以，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下：
由条件知，任取，
所以
，
又因为，在R上单调递增，
所以且，
所以，所以，
所以在R上单调递增；
（3）有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即关于的不等式有解.
，
因为，所以，，
所以的取值范围是，
所以，所以，
即的取值范围是.