2024届上海市洋泾中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市洋泾中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．若集合，，则 .
【答案】
【分析】根据交集的定义可求交集.
【详解】因为集合，，
所以,
故答案为：.
2．复数z满足（为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】根据复数的乘法、除法运算，求得复数z，代入求模公式，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以，
故答案为：
3．底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算可得答案.
【详解】由题意底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为，
故答案为：
4．二项式的展开式中常数项为 .
【答案】240
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入得出答案.
【详解】二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为，
故答案为：240
5．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.
【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
6．若在上是严格递增函数，的最大值是 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简得，利用整体代换的方式，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得，由可确定，由此可得的最大值.
【详解】；
当时，
在上严格递增，，
解得：；
由得：；由得：；
又，，，则的最大值为.
故答案为：.
7．在平行四边形ABCD中，，则线段BD的长为 ．
【答案】2
【分析】根据数量积的运算律可得，进而根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由，
又.
故答案为：2
8．设等比数列的前n项和为，若，且，则 .
【答案】
【分析】由可得，根据前n项和公式即可求解.
【详解】因为是等比数列，
所以有，
所以，所以，
因为，
所以，
即，
即：，
解得：.
故答案为：.
9．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．
【详解】∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为8，
由解得，
∴ 实数的取值范围是
故答案为：．
【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．
10．有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，则抽到的最大数与最小数的差小于4的概率是
【答案】
【解析】五张不同的卡片，有放回的抽4次，共有种不同的取法，最大数与最小数的差小于4的取法指所选的数字均来自1，2，3，4或者2，3，4，5的情况，再去掉重复的部分——所选的数字均来自2，3，4的情况，再利用概率公式即可求概率.
【详解】有五张写有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1张记好数字后放回，这样抽4次，
共有种不同的取法，差值可能为1、2、3、4，
最大数与最小数的差等于4，则4 次抽取中5或1没有抽到，没有抽到1的有
没有抽到5的有 ，5和1都没有抽到的有种，所以抽到的最大数与最小数的差小于4有种，
所以抽到的最大数与最小数的差小于4的概率
故答案为：
【点睛】本题主要考查古典概型求概率，涉及排列组合知识，属于中档题.
11．圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】转化为点到直线与直线距离之和的5倍，这个距离之和与点在圆上的位置无关可得圆在两直线之间，利用直线与圆相切可得答案.
【详解】由已知可得所在的圆的方程为，
设，
故可看作点到直线与直线距离之和的5倍，
因为的取值与x、y无关，
所以这个距离之和与点在圆上的位置无关，
圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离，
如图所示，可知直线平移时，
点与直线的距离之和均为直线之间的距离，
此时可得圆在两直线之间，
当直线与圆相切时，
，解得（舍去），或，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是转化为点到直线与直线距离之和的5倍.
12．已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为 .
【答案】4
【分析】令，利用导数可求其最小值，根据最小值大于等于0可得，设，利用导数讨论其单调性后可求实数m可取的最大整数值.
【详解】由题设可得对任意的恒成立，
设，则，
若，则恒成立，故在上为增函数，
故，
由在上恒成立，故即.
若，则当时，，
当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
设，则，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
而，，
结合的单调性可知实数m可取的最大整数值为4.
故答案为：4.
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立问题可通过构建新函数来处理，后者可利用导数求出其最小值，根据最小值的符号来确定参数的取值范围.
二、单选题
13．已知A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则（ ）
A．33B．18C．27D．21
【答案】A
【分析】利用分层抽样的性质直接求解．
【详解】A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，
从中抽取一个容量为n的样本，从C社区抽取了15人，
则，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【分析】对于A、D项，根据线面平行的性质可过作，可得，进而根据面面垂直的判定即可判断；对于B、C项，由已知可推出或，因此无法判断与的关系.
【详解】对于A项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故A错误；
对于B项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故B项错误；
对于C项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故C项错误；
对于D项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故D正确.
故选：D.
15．若函数在上有最小值（a、b为常数）则函数在上（ ）
A．有最大值3B．有最大值7
C．有最大值9D．有最小值5
【答案】C
【分析】构造新函数，确定它是奇函数，然后利用奇函数性质求解．
【详解】设，
∵，∴，∴的定义域是，
，是奇函数，
在上最小值是，则在上最小值是，
从而在上最大值是7，∴在上最大值是9，
故选：C．
16．在平面直角坐标系中，函数的图像上有三个不同的点位于同一条直线上，且这三点的横坐标之和为0，则有以下结论：
①该直线必过x轴上的一个定点.
②该直线斜率的取值范围是．
则下列选项正确的是（ ）
A．①②都正确B．①正确②错误
C．①错误②正确D．①②都错误
【答案】A
【分析】画出函数图象，设出直线方程，由图可知，当时，解得其中一根，当时，联立直线和函数方程得，由韦达定理求出和，再根据三根之和为0，即可判断①，根据题意有两个不相等的负实根，可得，带入求解即可判断②.
【详解】，作出函数的图象如下
设直线方程为，显然当时，函数与直线交点个数不可能为3个，所以，由题意可得关于的方程有三个不等实数根，
当时，由可得，不妨设，
当时，由可得，
则有两个不相等的负实根，设为，，
则，，
由题意知，则，即，
所以直线方程为，所以直线过定点，
又在x轴上，所以①正确；
由有两个不相等的负实根，设为，，
所以，将代入可得
解得，所以直线斜率的取值范围是,所以②正确.
故选：A
【点睛】本题运用数形结合的思想，涉及到韦达定理的运用，考查学生的计算能力.
三、解答题
17．如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.
【答案】(1)1；
(2)．
【分析】（1）由棱锥体积公式计算；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法二面角．
【详解】（1）底面ABC，底面ABC，则，连接，同理，
又，，∴，
而，
所以；
（2）由已知，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
由已知，
则，，，∴，
，易知平面的一个法向量是，
，
设PM与平面PAC所成角大小为，则，，∴．
18．在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足.
(1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；
(2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据“泛差”，联立得，解出即可.
（2）由题，升次作差得，结合，整体代入可得，即可写出其通项.
【详解】（1）“泛差”，，
，，，联立三式得，
化简得，解得.
（2），则，
由，①
，②
②①得，
即，
且.
所以为等差数列，首项为，公差为，
.
19．如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该线段为函数（），的图象，且图象的最高点为，赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
(1)求的值和，两点间的距离；
(2)设，当为何值时，折线段赛道最长？
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的周期性，可得函数的周期，结合周期公式，可得答案，将代入函数，由题意，求得点的坐标，根据两点距离公式，可得答案；
（2）根据正弦定理，用表示出，整理三角函数，可得答案.
【详解】（1）由图可知，函数的周期，由，则，故，
将代入函数，则，故，
由，则，故.
（2）在中，，则，，
由正弦定理，可得，则，
即，，
设赛道为，则，
根据正弦函数的性质，当，即时，取得最大值.
20．已知椭圆的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点、，的周长为12.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积；
(3)过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在.
【分析】（1）由题意可得，可得，由离心率可求，结合可求，从而可得椭圆的方程；
（2）设，且，由，可得，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理及即可求解；
（3）设，设，假设存在点满足题意，则，根据韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意得的周长为12，即，所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，
又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得，则直线的方程为，
设，且，
由，得，
则，
所以，
因为，所以，
即的面积为.
（3）设，设，
由,得，
所以.
若点存在，设，由题意得，
所以，
所以，
即，
所以，得，
即在轴上存在一定点，使恰为的角平分线.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．设函数，其中,且是公差为的等差数列.
（I）若 求曲线在点处的切线方程；
（II）若，求的极值；
（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.
【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ) 的极大值为6，极小值为−6；(Ⅲ)
【分析】（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，=−1，可得切线方程为x+y=0；（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解得x= t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；函数极小值为f(t2+)=−6；（III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是
【详解】（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，
故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1，
又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0．
（Ⅱ）由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．
故=3x2−6t2x+3t22−9．
令=0，解得x=t2−或x=t2+．
当x变化时，，f(x)的变化如下表：
所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6，
函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6．
（Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，
令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0．
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．
=3x3+(1−d2)．
当d2≤1时，≥0，这时在上R单调递增，不合题意．
当d2>1时，=0，解得x1=，x2=．
易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增．
g(x)的极大值g(x1)=g()=>0．
g(x)的极小值g(x2)=g()=−．
若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．
若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．
所以，的取值范围是．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
x
(−∞，t2−)
t2−
(t2−，t2+)
t2+
(t2+，+∞)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗