上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份上海市洋泾中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 用列举法写出所有小于13的素数组成的集合__________.
【答案】
【解析】
【分析】找出所有小于13的素数，即可用列举法表示集合.
【详解】小于13的素数有，所以所有小于13的素数组成的集合为.
故答案为：
2. 已知等式对任意实数成立，则___________.
【答案】24
【解析】
【分析】根据赋值法即可列方程求解的值.
【详解】对任意的实数成立，
因此令 ，则，
对任意的实数成立，将 代入得，因此可得
进而，取 以及，代入即可求解，因此
故答案为：24
3. 已知，则实数___________.
【答案】
【解析】
【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可.
【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性；
当时，由上不符合，而时，此时集合为.
综上，.
故答案为：
4. 已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出方程组的解，根据集合交集的含义，即可得答案.
【详解】解，得或，
故，
故答案为：
5. 用反证法证明命题“若且，则”时，第一步应该假设__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用反证法的步骤，假设结论不成立，故得到答案.
【详解】根据反证法的步骤可知，第一步应该假设：.
故答案为：
6. 已知集合，若有两个子集，则的值是______.
【答案】0或-1
【解析】
【分析】由题意可得方程只有一个解，对参数进行讨论即可.
【详解】因为有两个子集，
则可得方程只有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，方程只有一个解，则，
即解得
故答案为：0或-1
【点睛】本题考查了集合的子集个数判断方程的解，考查了对参数的讨论思想，属于较易题.
7. 已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】得到为的真子集，从而得到不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得为的真子集，
要满足（等号不同时成立），解得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：
8. 已知一元二次方程的两个实数根分别为、，则__________.
【答案】##5.25
【解析】
【分析】韦达定理得，，把变形为，代入求值即可.
【详解】一元二次方程的两个实数根分别为、，
则有，，
所以.
故答案为：.
9. 设集合，若集合S的所有非空真子集的元素之和是300，则__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据给定条件，求出含每个元素的集合个数，再进行求和即可.
【详解】集合的所有非空真子集中含有的子集有：
，共15个，
同理集合的所有非空真子集中含有的子集都各有15个，
依题意，，所以.
故答案为：20
10. 设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则______
【答案】
【解析】
【分析】任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，从而，的是否属于，由是否属于确定，求得的表达式，即可求解.
【详解】任取偶数，将除以2，
若商仍为偶数，再除以，，经过次后，商必为奇数，此时商为，
从而，其中为奇数，，
由题意知，若，则等价于为偶数；
若，则等价于为奇数，
所以是否属于，由是否属于确定，
设是中所有奇数的集合，所以是的子集个数，
当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数为（或），
所以，所以.
故答案为：.
二、选择题
11. 下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一判断即可.
【详解】若，则，故A正确
若，则，故B错误
当时不成立，故C错误
当时，满足，但，故D错误
故选：A
【点睛】本题考查的是不等式和方程的知识，较简单.
12. 已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，中有n个元素，若，则的元素个数为（ ）
A. mnB.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由公式可得.
【详解】由题知，
所以.
故选：D
13. 设U为全集，A、B为集合，则“存在集合C使得，”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分也非必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合运算的性质判断即可.
【详解】充分性：若存在集合C使得，，则，
所以，所以，充分性成立；
必要性：若，取，则，，必要性成立.
故选：C
14. 设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则
其中正确命题的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S.
对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；
对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l=，可得，则.∴③对
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.
三、解答题
15. 已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明.
【详解】证明：（充分性）将代入方程，
得，即，
解得，为整数根；
将代入方程，
得，即，
解得或，整数根；
所以是两个方程的根都是整数的充分条件；
（必要性）若方程有实根，
则，即，
若方程有实根，
则即，即，
所以上述两个方程都有实根等价于，
，，
当时，方程可化为，无整数根；
当时，方程可化为，无整数根；
当时，上述两个方程都有整数根，
所以上述两个方程都有整数根的必要条件是；
综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是.
16. 已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1），或；
（2）
【解析】
【分析】（1）求得集合，利用并集与交集的定义可求，；
（2）由题意可得，分或两种情况求解即可求得实数m的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
；
，或，
所以或或；
【小问2详解】
当，则，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：实数m的取值范围为.
17. 若一元二次方程的两个实数根为、.
（1）若，求实数k的值；
（2）若，请根据实数k的不同取值范围讨论的值.（用k表示）
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，将平方后，即可求得答案；
（2）讨论当时，和当时，两根的正负情况，化简或脱掉的绝对值符号，结合根与系数的关系，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知一元二次方程的两个实数根为、,
则，即恒成立，
故，
因为，故，
即，解得；
【小问2详解】
由于，由可知；
当时，，
则；
当时，，则
故；
综上，当时，，当时，.
18. 已知，，.：关于x方程的解集中最多有一个元素.
（1）若，求实数c的取值范围；
（2）若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，化简集合并求出，再结合判别式求出，然后利用集合的包含关系求出的范围.
（2）由及（1）求出，再按成立不成立和不成立成立分类求解即可.
【小问1详解】
由有意义，得，解得，此时，
因此，，
由关于x的方程的解集中最多有一个元素，得，
解得，由，得，则，即，
所以实数c的取值范围是.
【小问2详解】
当时，，，，
当成立，不成立时，且，则，
当不成立，成立时，且，则，因此，
所以实数m的取值范围是.
19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
（2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
（3）若为正整数，求：“完美集”.
【答案】（1），理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据“完美集”定义，进行判断即可；
（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
（3）设中，得到，分，，进行分类讨论，
小问1详解】
由，，则集合是“完美集”，
【小问2详解】
若是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），
所以，又均为正数，
所以至少有一个大于2.
【小问3详解】
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.