2024届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三上学期10月月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届四川省成都经济技术开发区实验中学校高三上学期10月月考数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合,，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用并集和补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合,，则或，
又因为全集，则.
故选：A.
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数除法求得，再由几何意义得出对应点坐标，从而可得结论．
【详解】由，
得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
3．空气质量指数是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是
A．该地区在该月2日空气质量最好
B．该地区在该月24日空气质量最差
C．该地区从该月7日到12日持续增大
D．该地区的空气质量指数与这段日期成负相关
【答案】D
【解析】利用折线图对每一个选项逐一判断得解.
【详解】对于选项A, 由于2日的空气质量指数最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；
对于选项B, 由于24日的空气质量指数最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；
对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日持续增大，所以该选项正确；
对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数与这段日期成正相关，所以该选项错误.
故选D
【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】判断由能否推出，再判断能否推出，结合充分条件和必要条件的定义即可判断结论.
【详解】当时，，但，故“”不是“”的充分条件；
当时，，但，故“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
5．“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的、、的值分别为、、，则输出的的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据程序框图写出程序的每一步，可得出输出结果.
【详解】执行程序框图，第一次循环，，不成立，不成立，；
第二次循环，，成立，；
第三次循环，，不成立，成立，跳出循环体，输出的值为.
故选：C.
6．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】讨论时，不等式显然成立；当时，运用参数分离和基本不等式求得最值，可得所求范围．
【详解】解：当时，不等式恒成立；
当时，由题意可得恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．
所以，解得．
综上可得，的取值范围是．
故选：B．
7．已知，，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．
详解：∵，，
∴，
∴，
．
∴．
故选A．
点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．
8．如图，已知双曲线E：，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由的长求出，由通径公式以及的长得到，再由，联立方程求出，即可得到双曲线的离心率.
【详解】因为，所以.因为，所以.
又，所以，解得或 (舍去)
故该双曲线的离心率
故选：B
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
9．若三棱锥中，已知底面，，，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设知三棱锥是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．
【详解】三棱锥中，已知底面，，，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径，则，
所以该球的表面积为．
故选：C．

10．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列不等式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估计、、的值或范围即可比较大小.
【详解】由，得，所以，的周期.又，且有，
所以，.
又，所以，即，
因为时，，
所以
又，所以，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强
11．设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的图象可得，x2，x1关于点（，0）对称，|x2﹣x1|最小，进而可得结果.
【详解】根据函数f（x）＝sin（2 x +）
∵f（x1）+f（x2）＝0，可得f（x1）＝﹣f（x2），
令x2＞x1，根据图象，可得x2，x1关于点（，0）对称时，|x2﹣x1|最小，
∵x1x2＜0，∴x2＞0，则x1．∴可得|x2﹣x1|，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于一般题目.
12．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】设即所以,令,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根，且，且则即可求解.
【详解】由方程，有
设即
所以
令 ，则
所以在上单调递增，在上单调递减,
且，，当时，其大致图像如下.
要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，
且.
结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根
且,
则.
所以


故选：D
【点睛】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.
二、填空题
13．的展开式中的系数为 ．
【答案】40
【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果.
【详解】展开式的通项公式为，
令，则，所以的系数为．
故答案为：40.
14．若实数、满足线性约束条件，则的最大值为 .
【答案】
【分析】令，作出不等式所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.
【详解】令，作出不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分区域所示：
联立，解得，即点，
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时，取最大值，即.
故答案为：.
15．如图，在直角梯形中，已知，是上一点，，，，，则线段的长度为 ．
【答案】6
【分析】先求得，利用正弦定理求得，进而求得的长.
【详解】由图可知，，则，
在中，，
．
在中，，得，
在中，，
∴
．
故答案为：6．
16．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是 .
【答案】
【分析】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，由，可得，进而可得出结果.
【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，
则有，，
因为，所以，
整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以线段长度的最大值为.
故答案为6
【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算，以及立体几何中的轨迹问题，常用坐标系的方法处理，属于常考题型.
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，根据条件列出方程组求解即可；
（2）用裂项相消法进行求和即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，
所以，
所以数列的通项公式为
（2）因为，
所以.
所以数列的前n项和.
18．如图，在边长为的菱形中，，现沿对角线把翻折到的位置得到四面体，如图所示.已知.
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段上的点，且，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取的中点，连接、，推导出、，利用线面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）推导出、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.
【详解】（1）在三棱锥中，取的中点，连接、，得到，
四边形是菱形，，，
又，，，，
又，，，
又，，、平面，平面，
又平面，平面平面；
（2），为中点，，、、两两垂直，
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，
设平面的法向量，
由，即，解得，取，则，
易知平面的一个法向量为，
.
由图可知二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．某部门为了解某企业生产过程中的用水情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据．从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：吨）．若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标．

(1)从这12天的数据中随机抽取3个数据，求至多有1天是用水量超标的概率；
(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天用水量超标的天数．记随机变量表示未来3天用水量超标的天数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
【分析】（1）由茎叶图得出12天的数据中超标的数据个数，然后根据组合知识确定基本事件个数后求得概率；
（2）分析计算后得出，的可能取值为0，1，2，3，求得各概率后得分布列，再由二项分布期望公式求得期望．
【详解】（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个数据，至多有1天用水量超标”为事件，
则至多有1天是用水量超标的概率：．
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率为概率，其概率为，
的可能取值为0，1，2，3，，
，
，．
的分布列为：
，．
20．已知椭圆C：的右焦点，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不经过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）证明见解析；定点的坐标为 .
【解析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为，联立方程组，求得，根据点B在以线段MN为直径的圆上，得到，结合向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，椭圆C的右焦点，长半轴的长与短半轴的长的比值为2，
可得，解得，所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题意，易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立消去，可得，
所以，
因为点B在以线段MN为直径的圆上，所以，
因为，
所以，
整理得，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，
故直线l过定点，且该定点的坐标为.
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
21．已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求的最小值；
(2)当常数时，若函数在上有两个零点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义可知，进而，构造，求出其最小值即可；
（2）化简并求导，可得，且，由零点存在性定理可知，，由此得证；再令，可知；
【详解】（1），
曲线在点处的切线为：
，即，
所以，
所以，
设，则，
易知当时，时，单调递增，
当时，时，单调递减，
所以，即的最小值为；
（2）因为，
所以，
又，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
又，
所以，
又，
所以存在，使得，
由知，当时，，
所以存在，使得，
所以，
所以，
即；
当时，
，
令，
则，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
又，在上单调递增，
所以；
综上，
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sinθ＝ρ.
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点M在直角坐标系中的坐标为（2，2），若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB|的值．
【答案】（1）直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0；曲线C的直角坐标方程为x2＝4y；（2）16.
【解析】（1）由直线的参数方程，消去参数t，即可求得直线l的普通方程，再结合极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入抛物线方程x2＝4y中，根据直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，得到t1t2＝－16，即可求解|MA|·|MB|的值．
【详解】（1）由为参数），消去参数t可得，
所以直线l的普通方程为.
因为，所以，
因为，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
（2）将代入抛物线方程x2＝4y中，可得（2＋t）2＝4（2＋t），
即t2＋（8－8）t－16＝0.
因为Δ>0，且点M在直线l上，
所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，
所以t1t2＝－16，
所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.
(1)当k＝1时，若不等式f(x)<4的解集为{x|x1(2)当x∈R时，若关于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值．
【答案】(1)1 (2)3
【解析】(1)根据题意分情况求解绝对值不等式再求得x1＋x2即可.
(2)先利用特殊值将k的范围缩小，再分情况参变分离求最值即可.
【详解】(1)由题意,得|x－2|＋|x＋1|<4.
当x>2时,原不等式可化为,即2x<5,
所以；
当x<－1时,原不等式可化为,即－2x<3,
所以；
当－1≤x≤2时,原不等式可化为即3<4恒成立.
所以－1≤x≤2.
综上,原不等式的解集为,
即.
所以x1＋x2＝1.
(2)由题意,得|x－2|＋k|x＋1|≥k.
当x＝2时,即不等式3k≥k成立,所以k≥0.
当x≤－2或x≥0时,
因为|x＋1|≥1,
所以不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立．
当－2＜x≤－1时,
原不等式可化为2－x－kx－k≥k,
可得,
所以k≤3.
当－1原不等式可化为2－x＋kx＋k≥k,可得,
所以k＜3.
综上,可得0≤k≤3,即k的最大值为3.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法以及含参问题的参变分离求恒成立问题等.属于中等题型.
0
1
2
3