2024届黑龙江省鸡西市鸡西实验中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届黑龙江省鸡西市鸡西实验中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式判断即可.
【详解】根据导数的四则运算法则和常用函数导数公式知，故选项B不正确.
故选：B
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．
【详解】函数的定义域为，
不等式，可化为或，所以，
所以，，
所以．
故选：A．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】先求出，根据所给角的范围求出，再根据余弦二倍角公式求得结果.
【详解】由得出，
又，则.
所以.
故选：A.
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义判断函数为奇函数，排除B，C，求函数的零点，再取特殊点排除D可得答案.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
令，可得，
所以或，
所以或，，
当时，，排除D；
故选：A.
5．函数的零点个数是( )
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】将函数的零点问题转化为方程的根的问题，进一步转化为函数图象的交点问题．
【详解】由题意可得x＞0，求函数的零点个数，
即求方程lnx的解的个数．
数形结合可得，
函数y＝lnx的图象和函数y的图象有1个交点，
故有一个零点，
故选C．
【点睛】函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角关系分析运算，注意三角函数值的符号的判断.
【详解】由题意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因为，可得，
所以.
故选：D.
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题干条件可知，函数表示以4为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，根据周期性和对称性将所求转到内求值，即可比较大小.
【详解】由题意得，因为，则，
所以函数表示以4为周期的周期函数，
又因为为奇函数，所以，
所以，，
，
所以.
故选：B.
8．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，利用导数说明函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得解.
【详解】解：设，，
则，由已知当时，
所以，所以在上为增函数，
因为，所以，
所以不等式等价于，
所以，解得．
故不等式的解集为.
故选：D
二、多选题
9．下列说法正确的有( )
A．命题“”的否定是“”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．
【详解】命题“”的否定是“”，故A正确；
∵命题“，”为假命题，则关于x的方程无实数根，故，解得，故B正确；
∵可得；但当，时，有；∴“若，则”是“”的充分不必要条件，故C错误；
当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD﹒
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若幂函数的图像过点，则
B．函数的定义域为，则的定义域为
C．，若是奇函数，是偶函数，则
D．函数的零点所在区间可以是
【答案】AC
【分析】根据幂函数的定义、指数函数的单调性、奇偶函数的性质、对数函数和反比例函数的单调性逐一判断即可.
【详解】A：设，由题意可知：，
因此本选项正确；
B：因为的定义域为，所以，
即的定义域为，由，
因此的定义域为，所以本选项不正确；
C：因为是偶函数，所以，
因为是奇函数，所以由，
因此函数的周期为，故，
所以本选项正确；
D：因为函数在时单调递增，而
，
所以该函数在时没有零点，
故选：AC
11．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点中心对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，结合图象及三角函数的性质可得结论．
【详解】由函数的图象可得，由，求得.
再根据五点法作图可得，即，
又，求得，∴函数，
，是最值，故A成立；
，不等于零，故B不成立；
将函数的图象向左平移个单位得到函数
的图象，故C不成立；
当时，，
，，
函数在上的图象如下，

由图可知，时，函数与直线有两个交点，
故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立.
故选：AD.
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．在上有两个极值点B．在处取得最小值
C．在处取得极小值D．函数在上有三个不同的零点
【答案】AC
【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，
当时，，，恒成立；
可作出图象如下图所示，

对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确；
对于B，不是的最小值，B错误；
对于C，在处取得极小值，C正确；
对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若，则 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【详解】由，得，解得，而，则，
所以.
故答案为：
14．已知，则的值为 ．
【答案】16
【分析】根据分段函数不等式可得，再代入求值即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：16.
15．曲线在点处的切线与直线平行，则 .
【答案】/
【分析】由题意可得，从而可求出的值.
【详解】由，得，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，得，
故答案为：
16．已知函数，的最大值为M，最小值为m，则 .
【答案】
【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求解．
【详解】令，且，
，
所以为奇函数，且在上连续，
根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，
则，故．
故答案为：．
四、解答题
17．（1）已知角终边所在直线经过点，求的值；
（2）已知求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式化简即可求解；
（2）利用同角三角关系与和差公式即可求解.
【详解】（1）角终边所在直线经过点，
，，.
.
（2）
，，
.
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，设，则，借助奇函数性质可求得解析式；
（2）根据函数的解析式，分，，三种情况讨论，解出.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
则.
（2）当时，，，
，，，即，
当时，，满足不等式．
当时，，恒成立，
满足不等式，即，
综上所述，不等式的解集为：．
19．苍苍黑土，漭漭龙江．北国骊珠，普育名庠．2023年10月6日，哈三中将迎来建校百年庆典．某公司为哈三中百年校庆设计了文创产品，并批量生产进行售卖．经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，产品销售周可增加千个，其中每千个的销售价格为万元，另外每生产1千个吉祥物还需要投入其他成本0.5万元．
(1)写出该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
(2)当为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
【答案】(1)
(2)万元时，利润最大为8万元
【分析】（1）由利润的计算公式，结合与的函数关系，分段写出增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系；
（2）利用基本不等式和函数的单调性，求利润最大值.
【详解】（1）本季度增加的利润，
当时，，
当时，，
所以该公司本季度增加的利润与（单位：万元）之间的函数关系为.
（2）当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时有最大值8；
当时，单调递减，在时，有最大值5.5，
综上可知，为4万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为8万元
20．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若在上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)极小值，无极大值；
(2)
【分析】（1）当时，，明确函数的单调性，可得函数的极值；
（2）原问题等价于的图象与直线有唯一的交点.
【详解】（1）当时，，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
故的减区间为，增区间为，
所以时，函数取到极小值，无极大值；
（2）令，可得，
记，原问题等价于的图象与直线有唯一的交点，，在上单调递增，且，
∴在上单调递减，在上单调递增，且，，当，
做出函数图象：
由图可知，当或时，的图象与直线有唯一的交点，
故实数a的取值范围为.
21．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求解函数的单调递减区间；
（2）根据伸缩变换和平移变换得到，根据，得到，结合正弦函数图象求解出值域.
【详解】（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为：．
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，
得到的图象，
因为，所以，
所以的值域为．
22．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解.
【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ，
，
即，
(i)若，
则在定义域上恒成立，
此时函数在上单调递增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上单调递减，上单调递增.
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，上单调递增.
（2）当时，，
要证明，只用证明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解设为，且，
所以，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得证.
单调递减
单调递增