黑龙江省鸡西市第一中学校2024届高三上册期末数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省鸡西市第一中学校2024届高三上册期末数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了已知集合，则的真子集个数为，已知，，，且，则的值为，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试题
考试时间：120分钟分值：150分
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（ ）
A．3B．4C．6D．12
4．2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720B．960C．1120D．1440
5．已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
7．已知，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．一组数据的第60百分位数为14
C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在上单调递增
C．函数在的值域为
D．将函数的图象向右平移个单位，所得函数为
11．已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（ ）
A．有可能为锐角B．以为直径的圆与相切
C．的最小值为32D．和面积之和最小值为32
12．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱上的动点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角取值范围是
B．三棱锥的体积为定值
C．平面与正方体的截面为梯形
D．当分别是棱的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行.现将甲､乙，丙､丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 种分配方案.（用数字作答）
14．在中，点在边上，且，若，则 .
15．已知椭圆的左，右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，分别交轴于两点，的周长为6，过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 .
16．已知函数，若关于的方程恰有6个不同实数根，则实数的取值范围为 .
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.
17．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：
(1)计算变量的相关系数（结果精确到0.01）.
(2)求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额.
参考数据：，
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距.
18．在中，内角的对边分别为，且
(1)求角C的大小；
(2)是的角平分线，若，求的面积.
19．某学校共有1000名学生参加数学知识竞赛，其中男生250人．为了了解该校学生在数学知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450~950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若样本中属于“高分选手”的男生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
参考公式：，其中．
20．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.
(1)证明：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.
21．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程．
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】先求出集合A，再求出，最后求出真子集个数即可.
【解答】因为，解得，
又，所以，
因为，
所以，
所以的真子集个数为个.
故选：A.
2．D
【分析】根据条件，得到，再利用共轭复数的定义得，即可求出结果.
【解答】因为，所以，
所以，其对应点为，位于第四象限.
故选：D.
3．A
【分析】设，表达出，方亭的高为，由棱台的体积公式列出方程，求出，得到答案.
【解答】因为上底面与下底面的面积之比为，设，则，
故方亭的高为，
故方亭的体积为，解得，
故m，即该方亭的上底面边长为3m.
故选：A
4．B
【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.
【解答】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，
先排除去丙的5个元素，共有种排法，
再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，
所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.
故选：B.
5．B
【分析】根据向量的共线求得m的值，结合与方向相反确定m，根据向量的投影向量的定义即可求得答案.
【解答】由题意知向量，共线，
故，解得或，
又因为且与方向相反，故，
所以，而，
则在方向上的投影向量是，
即在方向上的投影向量的坐标是，
故选：B
6．B
【分析】连接，结合，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【解答】由圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
又由双曲线的左右焦点为，
连接，
可得
,
当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值为.
故选：B.
7．C
【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.
【解答】因为，
所以，所以．
因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，
所以．
又，所以．
故选：C
8．D
【分析】构造函数，根据已知判断其单调性，利用函数的单调性，把条件转化为对任意恒成立，利用导数通过求的最大值可得结果.
【解答】记，则,
由题意，知当时，，即，
则在上单调递增，所以,
因为是偶函数，所以是奇函数，所以在R上单调递增,
又，即，
所以，即对任意恒成立.令，
则，由，得；当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，所以，即实数a的取值范围为，
故选：D.
【点评】分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路：
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.
一般地，若对恒成立，则只需;若对恒成立，则只需.
9．AC
【分析】由古典概型的概率可判断A，根据百分位数定义可判断B，由数据的平均数和方差的定义可判断C,D.
【解答】选项A：个体m被抽到的概率为，故A正确；
选项B：由于，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为，故B错误；
选项C：设数据的平均数为，方差为，
则数据的平均数为，
方差为
，
所以，故C正确；
选项D：设第一层数据为，第二层数据为，
则，，
所以，
，，
总体平均数，
总体方差
因为，则，
所以
，故D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】A选项，由图象求出，最小正周期，进而得到，，求出，A正确；B选项，得到，整体法求出函数的单调性；C选项，整体法求出函数的值域；D选项，利用左加右减求出函数的解析式.
【解答】A选项，由图象可以得到，，
因为，所以，解得，
再将代入解析式得，
因为，所以，，
故，解得，
所以，
则，A正确；
B选项，，则，
由于在上单调递增，
故函数在上单调递增，B正确；
C选项，时，，
由于在上的最大值为2，最小值为，
故函数在的值域为，C正确；
D选项，将函数的图象向右平移个单位，
得到，D错误.
故选：ABC
11．BCD
【分析】设出直线、，与抛物线联立后消去，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对A，将角度的锐钝问题可转换为向量数量积的正负，计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，表示出、的长度后结合基本不等式即可得；对D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求解即可得.
【解答】
由，故焦点坐标为，准线方程为，
设，、、、，
则，
联立，消去得：，，
有，，
则，
故为钝角，故A错误；
此时点坐标为，
，
故，
，
则为直径的圆以为圆心，为半径，
圆心到的距离为，
与半径相等，故以为直径的圆与相切，即B正确；
由，
同理可得，
即，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
，
由，则，
同理可得，，
即
，
当且仅当，时等号成立，
当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，，
即，可同时取等，故D正确.
故选：BCD.
12．AB
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，设，，设与的夹角为，利用向量夹角公式，结合二次函数的性质求解；对于B，计算三棱锥的体积；对于C，当与重合，B与F重合时，平面与正方体的截面为；对于D，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为R，则由列方程组，求解可得R，进而得外接球的表面积.
【解答】对于A，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，
，
设与的夹角为，，则，
令，则，
当时，，则；
当时，，
因为，所以，所以，当时取等号，
所以，则，
综上，，故A正确；
对于B，因为面，
所以三棱锥的体积
,故B正确；
对于C，当与E重合，B与F重合时，平面与正方体的截面为，如图，故C错误；
对于D，以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
又E、F分别是棱、的中点，则，
设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为R，
则由，得
，
即，解得，
所以，，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D错误.
故选：AB.
【点评】本题考查空间异面直线，空间体积，空间多面体结构，外接球表面积等，利用空间向量结合图像能较好解决此类题型.
具体为对于A，建立空间直角坐标系，设，，设与的夹角为，利用向量夹角公式，结合二次函数的性质求解；对于B，计算三棱锥的体积；对于C，当与重合，B与F重合时，平面与正方体的截面为；对于D，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为R，则由列方程组，求解可得R，进而得外接球的表面积.
13．36
【分析】根据题意，分2步分析，先将4名志愿者分成3组，由组合数公式可得其分组方法数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的场馆，由排列数公式可得其对应方法数目，再由分步计数原理计算即可.
【解答】根据题意，先将4名志愿者分成3组，有1种分组方法，
即分成1、1、2的三组，有种方法，
再将分好的三组对应3个不同的场馆，有种情况，
则共有种分配方案.
故答案为：36.
14．2
【分析】根据向量的线性运算，化简得到，结合，列出方程，求得，即可求解.
【解答】如图所示，，
因为，
可得，
即，所以，所以.
故答案为：.
15．##
【分析】根据椭圆的定义可得的周长为4a，结合的周长可求出a的值，再根据外角平分线性质求出，由勾股定理即可求得答案.
【解答】由题意知过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，
则,
故的周长为，
由于，且O是的中点，O在上，则为的中位线，
则的周长为周长的一半，而的周长为6，
即，则椭圆方程为，
则,
设外角平分线为，又过作外角平分线的垂线与直线交于点，
故，则，
故，
故答案为：
16．
【分析】求得，求得函数的单调性与极值，根据题意转化为，在上有两个不同的实数根据，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【解答】当时，，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递增，且，
画出函数的图象，如图所示，
关于的方程恰有6个不同的实根，
令，令，
则在上有两个不同的实数根据，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)0.99
(2)，986万元.
【分析】（1）直接代入相关系数方程即可.
（2）求出线性回归方程，再代入即可.
【解答】（1）
（2）因为，
所以，
所以变量之间的线性回归方程为，
当时，（万元）.
所以预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和正弦展开式计算可得；
（2）由余弦定理和三角形的面积公式解方程可得到.
【解答】（1）由正弦定理，得，
又，所以，
所以，即.
因为，
所以，即.
（2）在中，得：①，
又，
得：，
化简得：②，
由①②得：，所以.
19．(1)，670分
(2)列联表见解析，有
【分析】（1）根据频率之和等于“1”可以求的值；根据平均数的定义求平均数；
（2）根据独立性检验的方法求解.
【解答】（1），解得，
平均数估计值为
（分）．
（2）由题意可知，样本中男生有人，则女生有75人，
属于“高分选手”的有人，其中男生10人，
则高分中女生为人，不属于“高分选手”的男生为人，
不属于“高分选手”的女生为人，
因此，得到列联表如下：
因此，的观测值，
所以有95%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．
20．(1)证明见解析
(2)存在，点为线段的靠近点的四等分点
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立如图所示建立空间直角坐标系，设，表示出点坐标，分别求出平面与平面夹角的法向量，再由二面角的向量公式可求出，即可知位置.
【解答】（1）因为底面为菱形，所以，又，
面，所以面，
面，所以.
又，所以.
结合，面，得面.
（2）取线段的中点，结合题设及（1）的结论，如图所示建立空间直角坐标系.
不妨设，则，
假设存在符合条件，设
即，即，
所以.
设平面的法向量，
,
则，令，则，即.
注意到，设平面的法向量，
则，令，则，即.
题设知，
即，所以，得（舍）或.
综上，时符合条件，此时点为线段的靠近点的四等分点.
21．(1)
(2)是定值，
【分析】（1）首先根据离心率，和双曲线方程，列式即可求解；
（2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解.
【解答】（1）设双曲线的半焦距为．
由题意可得，解得，
所以的方程为．
（2）为定值，理由如下：
由（1）知，设直线，
联立方程得，消去，整理可得，
，
，同理．
直线过点且与的左、右两支分别交于两点，
两点在轴同侧，，此时，即．
，
，为定值．
【点评】关键点点评：本题考查直线与双曲线联立，解决定值的问题，本题的关键是利用坐标表示和，并求解.
22．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；
（3）根据存在两个极值点可得，且，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果.
【解答】（1）当时，，定义域为，
所以，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；
当时，有两个极值点，即方程有两个正根，
所以，则在上是减函数．所以，
因为，
所以
，
令，则，
，
所以在上单调递减，
又，且，
所以，
由，
又在上单调递减，
所以且，所以实数的取值范围为．
【点评】方法点评：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将化为后，设，化为关于的函数，再利用导数进行处理.
月份
1
2
3
4
5
带货金额万元
350
440
580
700
880
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
女生
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
属于“高分选手”
不属于“高分选手”
合计
男生
10
15
25
女生
15
60
75
合计
25
75
100