2022-2023学年黑龙江省鸡西市第四中学高二上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省鸡西市第四中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由向量的坐标运算即可得出答案.

【详解】，

故选：C.

2．已知直线l经过两点，则直线l的斜率是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】直接由斜率公式计算可得.

【详解】由题意可得直线l的斜率.

故选：B.

3．过点且倾斜角为的直线方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；

【详解】解：由倾斜角为知，直线的斜率，

因此，其直线方程为，

化简得，，

故选：A.

【点睛】本题考查了点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．圆心为，半径为2的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】用直接法写出圆的方程.

【详解】因为圆心为，半径为2，所以圆的方程是.

故选：D

5．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　)

A．1 B．2

C． D．2

【答案】C

【详解】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.

【解析】直线与圆的位置关系

【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.

6．圆的半径是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆的半径.

【详解】圆的标准方程为，因此，该圆的半径为.

故选：A.

【点睛】本题考查通过圆的一般方程求圆的半径，将一般形式化成标准形式是关键，属于基础题．

7．已知过两点的直线与直线垂直，则的值（　   ）

A．4 B．－8 C．2 D．－1

【答案】B

【分析】由两直线的斜率乘积为得结论．

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，．

故选：B．

8．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.

【详解】由得，

即所求圆的圆心坐标为.

由该圆过点，得其半径为1，

故圆的方程为.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

9．若直线与直线平行，则

A．2或－1 B．－1 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.

【详解】由与平行得：，解得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数值，易错点是忽略直线不能重合，造成增根.

10．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：3x﹣4y﹣4＝0，则直线l被圆C所截得的弦长为（　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长．

【详解】圆心到直线的距离为，圆半径为1，

所以弦长为．

故选：A．

11．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（    ）

A．2 B．3 C．5 D．7

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义即可求解.

【详解】由可得，所以，

设椭圆的两个焦点分别为，，，

由椭圆的定义可知，即，所以，

所以到另一焦点的距离为，

故选：D.

12．椭圆的长轴长、短轴长分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将椭圆方程化简成标准方程，根据椭圆的概念即可求出结果.

【详解】把化成标准形式为，得，则长轴长为4，短轴长．

故选：C.

【点睛】本题主要考查了椭圆的概念和标准方程，属于基础题.

二、填空题

13．已知，，且，则_______.

【答案】2

【分析】由向量垂直的坐标表示列出式子直接得出答案.

【详解】，，且，

，

解得：，

故答案为：2.

14．求过点A(2，1)与圆相切的直线方程________

【答案】

【分析】首先说明切线斜率存在，设出切线方程后由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程．

【详解】显然斜率不存在的直线与圆不相切，

因此设切线方程为，即，

圆心是，圆半径为，

所以，解得，

所以切线方程为，即．

故答案为：．

15．若圆的一条直径的两个端点是，则圆的标准方程为__________________.

【答案】

【解析】由中点坐标公式求出圆心，由两点之间距离公式求出半径，然后写出圆的标准方程即可.

【详解】由题意得圆心为点A和B的中点，则坐标为，半径为，所以圆的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了中点坐标公式和两点之间距离公式的应用，考查了圆的标准方程的书写，属于基础题.

16．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为________.

【答案】

【分析】根据椭圆的标准方程及几何性质，求得，结合离心率的定义，即可求解.

【详解】由题意，椭圆的一个焦点为，可得，

又由，可得，解得，

所以椭圆的离心率为.

故答案为：.

三、解答题

17．写出满足下列条件的直线的方程：

(1)经过点且与轴垂直；

(2)斜率是，在轴上的截距是 ；

(3)在轴、轴上的截距分别为；

(4)经过两点；

(5)已知两点，求线段的垂直平分线的方程.

【答案】(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

【分析】（1）直线斜率不存在，直接写答案；

（2）利用斜截式求直线方程；

（3）利用截距式求直线方程；

（4）利用两点式求直线方程并化简；

（5）求出的中点坐标和斜率，得中垂线的斜率，利用点斜式写出中垂线的方程.

【详解】(1)经过点且与轴垂直的直线方程为即；

(2)斜率是，在轴上的截距是直线方程为即；

(3)在轴、轴上的截距分别为的直线方程是，即；

(4)经过两点的直线方程为化简得；

（5）

由得中点，，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以中垂线的方程为，化简得.

18．在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点，求证：平面ADE；

【答案】证明见解析

【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，列出各点的坐标，再分别证明＝0，＝0，结合线面垂直的判定证明即可.

【详解】以D为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0），

则＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），

则＝0，＝0，

，，即，，

又，平面ADE．

故平面ADE．

19．(1)求与椭圆有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意可确定椭圆的标准方程的形式，根据离心率及求出后可得所求方程；

（2）由题意得到椭圆的标准方程的形式，然后根据求出，进而得到所求方程．

【详解】（1）由题意得，

故所求椭圆的焦点坐标为．

设所求椭圆的方程为．

∵,

∴a＝5，

∴b2＝a2－c2＝20，

故所求椭圆的标准方程为.

（2）由于椭圆的焦点在x轴上，

故设它的标准方程为．

∵2c＝8，

∴c＝4.

又a＝6，

∴b2＝a2－c2＝20.

所以椭圆的标准方程为.

【点睛】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体步骤为：先定形，再定量，即先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，求出a，b后即可得到椭圆的标准方程．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式，求出m,n后即可得到椭圆的方程．

20．如图，正方体的棱长为，点为的中点．

(1)求点到平面的距离；

(2)求二面角的余弦值

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）取中点，连接，得等腰梯形，然后利用体积法求得点面距；

把二面角的两个面在正方体中作完整，然后作，垂足为，在矩形中作交于，则，所以就是二面角的平面角，在三角形中由余弦定理计算可得．

【详解】(1)取中点，连接，则，又正方体中，所以，即在平面内，

到平面的距离就是到平面的距离，

正方体棱长为2，则，，，

是等腰梯形，它的高为，

，

又，

设到平面的距离为，

由得，

所以；

(2)作，垂足为，在矩形中作交于，则，所以就是二面角的平面角，

，平面，

所以平面，所以平面，

平面，所以，，又，

所以，由（1），，

由余弦定理得．

所以二面角的余弦值为．