2023届黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高三上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

2023届黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高三上学期开学摸底考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.

【详解】解：由已知得，解得且，

所以函数的定义域为，

故选：B.

3．下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

4．已知实数，，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求出当时，，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.

【详解】若，则，

当时，推不出；反之，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：A

5．若，，，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c的范围，即可比较大小，可得答案.

【详解】由函数为增函数可知，

由为增函数可得，由由为增函数可得，

，

，

故选:D

6．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.

【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.

故选：A.

7．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件构造函数，求函数的导数可得函数的单调性，再根据利用函数的单调性解不等式，即可得到结果．

【详解】设，

则，

因为，

所以，

即函数在定义域上单调递减，

因为，

所以不等式等价于，等价于，

解得，

故不等式的解集为.

故选：D．

8．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

9．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

10．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，作出函数的图象，分析可知函数在区间上有两个不等的实根，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】令，则，作的图象如图所示，

设的零点为、，

由图可知，要满足题意，则需在上有两不等的零点，

则，解得．

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

二、多选题

11．已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．

【详解】，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确

由选项A有，设，则在上单调递减.

所以，所以选项B正确

(当且仅当时取得等号)，

．所以选项C正确.

（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．

故A，B，C正确

故选：ABC

【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

12．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．若关于的不等式的解集是，则______.

【答案】1

【分析】由题意可得是方程的两个根，所以，从而可求得结果

【详解】解：因为关于的不等式的解集是，

所以是方程的两个根，

所以由根与系数的关系可得，得，

故答案为：1

14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则_____.

【答案】

【分析】可利用奇函数性质，由，先求出，再求即可

【详解】因为函数是奇函数，所以，当时，，则，则

故答案为：

【点睛】本题考查由函数的奇偶性求解具体函数值，属于基础题

15．已知函数，是的导函数，则__________.

【答案】

【分析】对求导后，令代入即可求解.

【详解】由，可得即.

故答案为：.

四、双空题

16．若函数的导数存在导数，记的导数为.如对任意，都有成立，则有如下性质：.其中，，，…，.若，则___________；根据上述性质推断：当且时，的最大值为___________.

【答案】         

【分析】对求导可得，由正弦函数的图象可知成立，

根据函数的性质，即可求得的最大值.

【详解】设，，则，

则，，由于恒成立

故有如下性质：.

则，

∴的最大值为，

故答案为：，.

五、解答题

17．已知全集，集合，非空集合．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先求Q的补集再求交集即可；

（2）由题意Q是P的真子集，据此可得不等式组，解之即可.

【详解】（1）当时，，

则,

又，所以；

（2）因为“”是“”的必要而不充分条件，所以且 ，

所以，解得，

故实数a的取值范围是.

18．已知函数是指数函数.

(1)求实数的值；

(2)解不等式

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得从而可求出实数的值；

（2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案

【详解】（1）由题可知解得

（2）由（1）得

∵在上单调递增，

∴，解得，

故原不等式的解集为

19．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：

(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）

(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．

参考数据：，，．

附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．

【答案】(1)，具有较高的线性相关程度

(2)，40.3亿元

【分析】(1)将已知数据代入相关系数公式计算即可得结论.

(2)求出回归直线方程，将代入线性回归方程计算即可.

【详解】（1）∵，，，

∴，

∴该中医药企业的研发投入x与产品收益y具有较高的线性相关程度．

（2）∵，

，

∴．

∴y关于x的线性回归方程为，

将代入线性回归方程可得，，

∴预测研发投入20（亿元）时产品的收益为40.3（亿元）．

20．已知函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.

（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】（1）由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即

（2）由,令解得

令解得,所以在上单调递减,在上单调递增.

所以当时,最小,且最小值为,,,

故最大值为

21．北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京，张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会，南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示．

女志愿者考核成绩频率分布表

若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀

(1)分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；

(2)若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望．

【答案】(1)男5人，女7人；

(2)答案见解析

【分析】（1）先由女志愿者考核成绩频率分布表求得被抽取的女志愿者的人数，然后求得m后求解；根据被抽取的志愿者人数是80，得到被抽取的男志愿者人数，然后利用男志愿者考核成绩频率分布直方图求解.

（2）X的可能取值为，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为．

因为，

所以，

所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为．

因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是．

由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知：

男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为

则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为．

（2）由题意可知X的可能取值为．

，

．

X的分布列为

故．

22．已知函数（且）．

(1)，求函数在处的切线方程．

(2)讨论函数的单调性；

(3)若函数有两个零点，且，证明：．

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；

（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；

（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.

【详解】（1）当时，，所以.

，所以.

所以函数在处的切线方程为，即.

（2）的定义域为(0，+∞)， .

当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；

当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.

（3）当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.

由题意可得：.由及得：.

欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.

由得 .所以

令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.

综上x1+x2>2e.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)利用导数判断单调性，证明不等式．

23．已知函数．

（1）讨论函数单调性；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）求出，分和讨论的单调性；

（2）不等式恒成立，等价于，令，求的最大值即可.

【详解】（1）函数的定义域为，，

当时，，所以函数在上单调递增；

当时，由，得，函数在上单调递增．

由，得，函数在上单调递减，

故有：当时，所以函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．

（2）不等式恒成立，

即，等价于，

由题意知，不等式，恒成立，

令，

则，

令，

则，

所以，

所以，

∴在上是减函数，

∴，

即实数的取值范围是．

24．已知函数．

（1）求函数图象在处的切线方程．

（2）证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）求出导函数，计算斜率后可得切线方程；

（2）设，用导数证明在时恒成立，即，从而得，然后由不等式的性质可证明题设结论．

【详解】（1）解：因为，

所以，

则．

因为，

所以所求切线方程为，

即．

（2）证明：设，则．

由，得；由，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，即，当且仅当时取等号．

因为，所以，

所以，所以．

当时，，

所以，

则，即．