广东省广州市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析）

这是一份广东省广州市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若集合，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得，由此判断出中元素的个数.
【详解】依题意，有个元素.
故选：D
【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
2. 与角终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的关系，求得与角终边相同的最小正角.
【详解】与角终边相同的最小正角为.
故选：C
【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.
3. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由计算出的值，由此求得的值.
【详解】由由解得，所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.
4. 已知幂函数在为单调增函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为幂函数，求得的可能取值，再由在上的单调性，求得的值.
【详解】由于为幂函数，所以，当时，在上递减，不符合题意，当时在上递增，符合题意.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.
5. 若的周期为，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据的周期求得，由此求得的值.
【详解】依题意，所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
6. 已知实数x，y，z满足，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案.
【详解】，
，
，而，所以，
所以.
故选：C
7. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.
【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.
故选：C
【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.
8. 已知函数是定义在R上的偶函数，对于，，且，都有成立，若实数m满足，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性化简不等式，进而求得的取值范围.
【详解】依题意，函数是定义在R上的偶函数，，
构造函数，则，
所以是奇函数，图象关于原点对称.
由于，，且，都有成立，
即，所以在上递减，
所以在上递减.
由，
即，，
即，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.
9. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.
【详解】对应关系和定义域显然相同，故A正确；
B选项中，因为，所以B正确；
C选项中，的定义域为，的定义域为R，故C不正确；
D选项中，显然的定义域都为，又，，故D正确.
故选：ABD
10. 下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D. 命题“，”的否定是“，”
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，
若，取，则，即“”“”，
故“”是“”的充分不必要条件，A对；
对于B选项，若，不妨取，，则，即“”“”，
若，取，，则，即“”“”，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错；
对于C选项，取为无理数，则为有理数，C错；
对于D选项，命题“，”的否定是“，”，D对.
故选：AD.
11. 已知函数的最小正周期为，若m，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的值为1B.
C. 是函数图象的一个对称中心D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】化简的解析式，根据的最小正周期求得，再结合的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
由于的最小正周期为，
所以，A选项正确.
所以，由于，
所以，
当时，要使，则，B选项错误.
，，
所以是函数图象的一个对称中心，C选项正确.
当时，，，
由，解得，
所以，
所以的最大值为，D选项正确.
故选：ACD
12. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是( )
A. 函数为偶函数
B. 的值域为
C. 为周期函数，且最小正周期
D. 与的图像恰有一个公共点
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.
【详解】对于A，由于，
所以，所以不是偶函数，故A错；
对于B，由于为整数，的值有三种情况，所以的值域为故B正确；
对于C，由于，所以，故C正确；
对于D，由B得，令，得或，而不是公共点的横坐标. 令，得或，而，所以是两个函数图像的一个公共点. 令，得或，而，所以不是两个函数图像的一个公共点.
综上所述，两个函数图像有一个公共点，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则关于x的不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较和的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】因为关于x的不等式可化为：
，又因为，所以，
所以不等式的解集为，
则关于x的不等式的解集是，
故答案为：.
14. 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.
【详解】


.
故答案为：
15. 将函数的图像向左平移个单位后得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】函数的图像向左平移个单位后，
得到，其图像关于轴对称，
所以，
由于，所以最小值为.
故答案为：
16. 已知函数，，当时，关于x的方程解的个数为______.
【答案】4
【解析】
【分析】令，得到，由的图象得到根t的分布， 再由
的图象，得到的根的个数即可.
【详解】解：令，则，化为，
的图象如图所示：
因为，
所以有三个不同的根，其中，
函数的图象如图所示：
由图象知：有2个不同的根，有1个根，有1个根，
所以当时，关于x的方程解的个数为4，
故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)解一元二次不等式求得集合，由补集和并集的定义可运算求得结果；
(2)分别在和两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
由题意得，或，
，
.
【小问2详解】
，
当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为．
18. 已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】(1)结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；
(2)条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
，
，
∵，∴.
19. 已知函数．
(1)判断在定义域内的单调性，并给出证明；
(2)求在区间内的值域．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)利用复合函数的单调性性质，结合对数函数与反比例函数的单调性，可得答案，利用单调性的定义证明即可；
(2)根据(1)所得的函数单调性，可得其最值，可得答案.
【小问1详解】
由函数，则函数在其定义域上单调递减.
证明如下：
由函数，则，，，解得，即函数的定义域为，
取任意，设，
，
由，则，即，故，
所以，则函数在其定义域上单调递减.
【小问2详解】
由(1)可知函数在其定义域上单调递减，则函数在上，，
所以函数在上的值域为.
20. 已知函数为定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)设，当()时，函数的最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由求得的值.
(2)求得的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得的取值范围.
【小问1详解】
由于函数是定义在上奇函数，
所以，经检验符合题意.
【小问2详解】
，
，
令，，
则，
所以是奇函数，且在上单调递增，
当时，，
要使的最小值为，则，
所以，所以.
21. 生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产万件，需要另外投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完.
(1)写出利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；(年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【解析】
【分析】(1)根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得.
(2)结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
由(1)得，
当，所以的最大值为；
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，；当时，；
由于，
所以当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
22. 已知函数，.
(1)若在区间上不单调，求的取值范围；
(2)已知关于x的方程在区间内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；
(2)令，方程在区间内有两个不相等的实数解，等价于函数在上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.
【小问1详解】
函数的对称轴为，
由在区间上不单调，
所以，解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
令，
方程在区间内有两个不相等的实数解，
等价于函数在上存在两个零点，
因为，
且在处图像不间断，
当时，无零点；
当时，由于在上单调，
所以在内最多只有一个零点，
不妨设的两个零点为，，且，
若有一个零点为0，则，于是，
零点为0或1，所以满足题意，
若0不是函数的零点，则函数在上存在两个零点有以下两种情形：
(i)若，，则，
即，解得.
(ii)若，则，解得
综上所述，的取值范围为.