广东省广州市七区2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析）

这是一份广东省广州市七区2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析），共17页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校，班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D
2. 下列函数为增函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把函数化成分段函数由单调性判断A；利用二次函数、指数函数、对数函数单调性判断CBD作答.
【详解】对于A，函数，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，A不是；
对于B，函数在R上单调递增，B是；
对于C，函数在上单调递减，在定义域R上不单调，C不是；
对于D，函数在上单调递减，D不是.
故选：B
3. 设a，，则“”是的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性质，充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】因为，
所以当时，，
所以即，
当时，取，得不到，
所以是充分不必要条件，
故选:A.
4. 已知，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.
【详解】，，，
所以.
故选：B
5. 已知是第四象限角，且，则( )
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答.
【详解】由得：，即，而是第四象限角，
则有，，
所以.
故选：A
6. 已知，则的最小值为( )
A. B. 4
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用配凑的方法，结合均值不等式求解作答.
【详解】因为，则，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D
7. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
.
故选：C.
8. 已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析给定的函数性质，画出函数的部分图象，确定a的取值范围，进而求出范围作答.
【详解】函数，当时，单调递增，，
当时，单调递减，，
当时，在上递减，在上递增，，
作出函数的部分图象，如图，
方程有四个不同根，不妨令，即直线与函数的图象有4个公共点，
观察图象知，，，
显然有，且，由得，
即，则有，因此，
所以的取值范围为.
故选：B
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分析各选项中函数的定义域，再利用奇函数的定义判断作答.
【详解】对于A，函数的定义域为，，是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，是奇函数，B是；
对于C，函数中，，解得，即的定义域为，
，是奇函数，C是；
对于D，函数的定义域为，，是奇函数，D是.
故选：BCD
10. 下列命题为真命题的是( )
A. 任意两个等边三角形都相似B. 所有的素数都是奇数
C. ，D. ，
【答案】AC
【解析】
【分析】利用判定全称量词命题、存在量词命题真假的方法，逐项判断作答.
【详解】对于A，因为所有的等边三角形的每个内角都为，因此任意两个等边三角形都相似，A正确；
对于B，2是素数，而2是偶数，即“所有的素数都是奇数”是假命题，B错误；
对于C，因为，，即，C正确；
对于D，因为，，D错误.
故选：AC
11. 记函数，，其中．若，则( )
A. B.
C. 为奇函数D. 为奇函数
【答案】BD
【解析】
【分析】由对称性得到为对称轴，故，代入解析式得到或，求出函数解析式或，分两种情况计算出，及判断和的奇偶性，推断出四个选项的正误.
【详解】A选项，因为，所以为的对称轴，
故，A错误；
B选项，，解得：，
因为，所以，解得：，
因为，所以或1，
当时，，当时，，
故或，
当时，，
当时，，B正确；
C选项，当时，，
此时不满足，不奇函数，
当时，，
不满足，不是奇函数，C错误；
D选项，当时，，
此时的定义域为R，且，为奇函数，
当时，，
此时的定义域为R，且，即，
为奇函数，D正确.
故选：BD
12. 已知正实数x，y，z满足，则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答.
【详解】是正实数，令，则，，
对于A，，A错误；
对于B，因为，则，B正确；
对于C，因为，则，即，
因此，即有，C正确；
对于D，，
因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数只有一个零点，则实数a的值为_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用判别式等于零求解.
【详解】因为函数只有一个零点，
所以解得.
故答案为:1.
14. 计算_____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用对数的运算性质及指数幂的运算可得答案.
【详解】.
故答案为：.
15. 已知函数，分别由下表给出，
则_____________；满足的x的值是_____________．
【答案】 ①. 2 ②. 1
【解析】
【分析】根据列表法给定的函数，x分别取0，1，2依次计算、即可作答.
【详解】依题意，；
，，，，
，，因此当且仅当时，成立，
所以满足的x的值是1.
故答案为：2；1
16. 已知，(且)，若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数在上最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答.
【详解】当时，，则，
因为对任意的，都存在，使得成立，
因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值，
而当时，，，不符合题意，
于是，函数在上单调递增，则，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，利用三角函数定义计算作答.
(2)利用诱导公式化简，结合(1)的结论，用齐次式法计算作答.
【小问1详解】
角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，
所以.
18. 已知函数，且，．
(1)求函数解析式；
(2)根据定义证明函数在上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)直接根据条件列方程组求解即可；
(2)任取，计算判断的符号即可证明单调性.
【小问1详解】
由已知，解得，
；
【小问2详解】
任取，
则，
，
，
，即，
函数在上单调递增.
19. 已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.
(2)由(1)中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.
【小问1详解】
依题意，
，
所以函数的周期为.
【小问2详解】
由(1)知，，
在中，，有，于是，解得，则，
，
显然，，因此当，即时，，
所以的最大值为.
20. 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为．
(1)将面积S表示为角的函数；
(2)当角取何值时，S最大？并求出这个最大值．
【答案】(1)；
(2)，.
【解析】
【分析】(1)根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.
(2)利用(1)中函数，结合正弦函数的性质求解作答.
【小问1详解】
依题意，在中，，则，
，在中，，则，
因此，
，
所以面积S表示为角的函数是.
【小问2详解】
由(1)知，当时，，则当，即时，，
所以当时，.
21. 已知函数的最大值为．
(1)求a的值：
(2)当时，求函数的最小值以及取得最小值时x的集合．
【答案】(1)
(2)最小值为-5，的取值构成的集合为
【解析】
【分析】(1)换元法，分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值；
(2)利用二次函数的性质求最值以及三角函数的性质求时x的集合．
【小问1详解】
，
令，则，对称轴，
当即时，
在单调递减，
所以不满足题意；
当即时，
在单调递增，单调递减，
所以，
即解得或(舍)；
当即时，
在单调递增，
所以，
解得不满足题意，
综上.
【小问2详解】
由(1)可得在单调递增，单调递减，
所以当时函数有最小值为，
此时，则的取值构成的集合为.
22. 已知函数，其中e为自然对数的底数，记．
(1)解不等式；
(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，解指数不等式作答.
(2)求出的取值范围，分离参数并换元构造函数，利用对勾函数求出函数的值域作答.
小问1详解】
函数，则不等式化为：，即，
，而，因此，解得，
所以原不等式的解集是
【小问2详解】
依题意，，当时，，
，则，
令，，，
，因为，则，
因此，即，则有函数在上单调递增，
于是当时，，即，，
，从而，
所以实数k的取值范围是．
【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域得解.
x
0
1
2
1
2
1
x
0
1
2
2
1
0