2023-2024学年度初三秋季A版第8讲：圆与相似三角形(讲义+课后测+答案）

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模块1：圆与直角三角形的结合
模块2：圆幂定理
【重要考点讲解】
模块1：圆与直角三角形的结合
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（2023•西藏）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点，垂足为点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
例题2．（2022•河池）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
例题3．（2022•广西）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
例题4．（2020•广西）如图，在中，以为直径的交于点，连接，且，连接并延长交的延长线于点，与相切于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，求证：；
（3）若，求的值．
模块2：圆幂定理
【知识精讲】
【典例精讲】
例题5．（2018•东营）如图，是的切线，点在直径的延长线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
例题6．（2022•遂宁）如图是的外接圆，点在上，的角平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求点到的距离．
例题7．（2022•桂林）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）延长和交于点，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
例题8．（2022•柳州）如图，已知是的直径，点是上异于，的点，点是的中点，连接，，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求的值；
（3）若，，求的直径．
例题9．（2022•黄石）如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连、，若，求的值．
例题10．（2018•广东）如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
（1）证明：；
（2）若，证明：与相切；
（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．
第8讲：圆与相似三角形课后巩固
1．（2023•广西模拟）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
2．（2023•柳州一模）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线相交于，弦平分，交直径于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
3．（2022•宜宾）如图，点是以为直径的上一点，点是的延长线上一点，在上取一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，，，求的长．
4．（2020•怀化）如图，在中，为直径，点为圆上一点，延长到点，使，且．
（1）求证：是的切线．
（2）分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为、两点，过点作的垂线，垂足为点．求证：．
5．（2023•宜宾）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果是的中点，且，求的长．
基本图形
重要结论
如图，已知，以为直径的交于点，于点，则．
如图，已知，点在上，切、于点、．
则①，；②．
如图，已知，点在上，切于点．
则①平分；②．
如图，是的直径，为上一点，且平分，于．则①与相切；②．
圆幂定理
重要结论
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．
如图：圆内任意弦交于点，则
八字模型:
如图：，．
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
如图，是的割线，则
“A字”模型与“反A字”模型
如图：①(反形, 不与平行) ；
②(形, )．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
如图：是的切线，是切点，是割线，则．
子母相似
如图：①；
②特殊地，当是直径时，,
(射影定理) ．