人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积一课一练

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模块1：正多边形和圆
模块2：圆中的计算
模块3：阴影部分面积的求法
【重要考点讲解】
模块1：正多边形和圆
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（1）（2019•青海）如图，小莉从点出发，沿直线前进10米后左转，再沿直线前进10米，又向左转，，照这样走下去，她第一次回到出发点时，一共走的路程是
A．150米B．160米C．180米D．200米
（2）（2020•赤峰）一个正边形的内角和是它外角和的4倍，则 ．
（3）（2022•遂宁）如图，正六边形的顶点、分别在正方形的边、上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为 ．
例题2．（1）（2021•兴安盟）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是
A．3B．6C．8D．12
（2）（2019•成都）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为
A．B．C．D．
（3）（2022•成都）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为
A．B．C．3D．
（4）（2017•贵阳）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为 ．
（5）（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为 ．
例题3．（1）如图，内接正五边形与等边三角形，则 ．
（2）如图，有一个圆和两个正六边形，．的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆相切（我们称，分别为圆的外切正六边形和内接正六边形），若设，的周长分别为，，圆的半径为，则 ； ；正六边形，的面积比的值是 ．
模块2：圆中的计算
【知识精讲】
【典例精讲】
例题4．（1）（2022•温州）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ．
（2）（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为
A．B．C．D．
例题5．（1）（2022•广东）扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积（结果保留为 ．
（2）（2022•哈尔滨）一个扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角是 度．
（3）（2022•鞍山）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为
A．B．C．D．
例题6．（1）（2022•济宁）已知圆锥的母线长，底面圆的直径，则这个圆锥的侧面积是
A．B．C．D．
（2）（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是
A．B．C．D．
（3）（2022•聊城）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为 ．
（4）（2020•云南）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是
A．B．1C．D．
（5）（2021•镇江）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线长为，满足，这样的圆锥的侧面积
A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值
（6）（2020•浙江自主招生）如图，已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为母线的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点爬行到点的最短路线长为 ．
模块3：阴影部分面积的求法
【知识精讲】
【典例精讲】
例题7．（1）（2022•荆州）如图，以边长为2的等边顶点为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于，，则图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
（2）（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
（3）（2022•贵港）如图，在中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ．
例题8．（1）（2022•河南）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为 ．
（2）（2021•遂宁）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点，若的半径为，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
例题9．（1）（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形的对角线交于点，以为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是 ．
（2）（2021•兴安盟）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形的圆心是的中点，且扇形绕着点旋转，半径、交于点，半径、交于点，则图中阴影面积等于
A．B．C．D．
例题10．（1）（2020•泰安）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是 ．
（2）（2020•十堰）如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则 ．
（3）（2021•大庆）如图，作的任意一条直径，分别以、为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点、和、，顺次连接、、、、、，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为 ．
（4）（2020•资阳）如图，中，，．将绕着点顺时针旋转90度到△的位置，则边扫过区域的面积为
A．B．C．D．
（5）（2018•乐山）如图，的顶点在坐标原点，边在轴上，，，把绕点按顺时针方向旋转到△，使得点的坐标是，则在旋转过程中线段扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
（6）（2007•襄阳）如图所示，两个半圆中，长为4的弦与直径平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积是 ．
例题11．（1）（2017•乌鲁木齐）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 ．
（2）如图，在正方形的边长为6，以为圆心，4为半径作圆弧．以为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为、，时，则 ．（结果保留
第4讲：正多边形和圆与圆中的计算课后巩固
1．（2021•株洲）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则
A．B．C．D．
2．（2020•西藏）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是
A．8B．9C．10D．11
3．（2022•雅安）如图，已知的周长等于，则该圆内接正六边形的边心距为
A．B．C．D．3
4．（2018•广元）如图，是正五边形的外接圆，点是的一点，则的度数是
A．B．C．D．
5．（2022•绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点，则的度数
为 度．
6．（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 ．
7．（2022•广西）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接并延长交于点，当时，的长是
A．B．C．D．
8．（2022•大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是
A．B．C．D．
9．（2022•宿迁）用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．
10．（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 ．
11．（2018•烟台）如图，点为正六边形的中心，点为中点，以点为圆心，以的长为半径画弧得到扇形，点在上；以点为圆心，以的长为半径画弧得到扇形，把扇形的两条半径，重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为；将扇形以同样方法围成的圆锥的底面半径记为，则 ．
12．（2021•德州）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
13．（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是
A．9B．6C．3D．12
14．（2022•遵义）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
15．（2022•赤峰）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
16．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形中，，点为的中点，交于点，以点为圆心，的长为半径作交于点．若，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
17．（2021•凉山州）如图，将绕点顺时针旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
18．（2020•黔西南州）如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
19．如图，在中，，，分别以、为直径作半圆，则图中阴影部分面积是
A．B．C．D．
20．如图，在中，，边经过圆心且与的另一个交点为，的平分线交于点，点在上，若，，则线段、与劣弧所围成的阴影部分面积为
A．B．C．D．
定 义
示例剖析
正多边形的定义：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
（2）正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
正多边形的性质：
（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；
（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；
（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．

正偶数边正多边形有两类对称轴；正奇数边正多边形只有一类对称轴．
定 义
示例剖析
设的半径为，圆心角所对弧长为，
1．弧长公式：
2．扇形面积公式：
3．圆柱体表面积公式：
4．圆锥体表面积公式：（为母线）

常见组合图形的周长、面积的几种常见方法
直接公式法
①；②；③；④⑤；⑥；⑦；⑧
和差法
①直接和差法求面积的基本图形：
②构造和差法求面积的基本图形：
等积转化法
①全等法： ②等面积法：
③对称法：
④移位法：
⑤旋转法：
容斥法
当阴影部分面积是由几个图形叠加形成时，求解阴影部分的面积需先找出叠加前的几个图形，然后理清图形之间的重叠关系，计算方法为：阴影部分面积=叠加前的几个图形面积之和-（多加部分面积+空白面积．如图，阴影部分是扇形和扇形的重叠部分，则．