初中数学北师大版七年级上册4.3 角巩固练习

这是一份初中数学北师大版七年级上册4.3 角巩固练习，共15页。

【典例1】已知如图1，∠AOB=40°
(1)若∠AOC=13∠BOC，则∠BOC= ;
(2)如图2，∠AOC=20°，OM为∠AOB内部的一条射线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
求4∠AON+∠COM的值；
(3)如图3，∠AOC=20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+
∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
【思路点拨】
（1）分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部时，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=32∠AOB．
（2）设∠CON=x°，根据题意用x表示有关角的度数，最终得4∠AON+∠COM的值；
（3）按OM和ON的不同位置分五种情况分别讨论，记OM转过的角度为α，第一种情况：当0＜α≤60°，即0＜t≤12时；第二种情况：当60°＜α≤180°时，即12＜t≤36时；第三种情况：当180°＜α≤240°时，即36＜t≤48时；第四种情况：当240°＜α≤340°，即48＜t≤68时；第五种情况：当340°＜α≤360°，即68＜t≤72时．用t表示出有关角的度数，再求4∠AON+∠BOM的最后结果．
【解题过程】
解：（1）分两种情况讨论：①C在∠AOB内部时，如下图，
∵∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=34∠AOB=×40°=30°，
②OC在∠AOB外部时，如下图，
∠AOC=13∠BOC，
∴∠BOC=32∠AOB=32×40°=60°，
综上所述：∠BOC=30°或60°；
故答案为：30°或60°．
（2）证明：设∠AON=x° ，
则∠CON=（20-x）°，
∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，
∠COM=(80-4x）° ，
所以4∠AON+∠COM=80°．
（3）记OM的旋转角度为α，分五种情况讨论：
第一种，当0°＜α≤60°，即0＜t≤12时，如下图，
射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转得∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
∴∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t°，
∴0≤t≤12时，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．
第二种情况：当60°＜α＜180°，即12＜t＜36时，如下图，
∵∠MOB=5t°，
∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，
∵∠CON=14∠COM，
∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t°+20°，
∴12＜t＜36时，4∠AON+∠BOM不是定值．
第三种情况：当180°≤α≤240°，即36≤t≤48时，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，
∵ON是∠MOC四等分线，且3∠CON=∠NOM，
∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t°=380°，
∴当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；
第四种情况：当240°＜α＜340°时，即48＜t＜68，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-54t°，
∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t°，
∴48＜t＜68时，4∠AON+∠COM不是定值；
第五种情况：当340°≤α≤360°，即68≤t≤72时，如下图，
由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，
∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（420°-5t°）=54t°-85°，
∴4∠AON+∠BOM=4（54t°-85°）+360°-5t°=20°，
∴68≤t≤72时，4∠AON+∠COM为定值20°．
综上所述：当36≤t≤48时，4∠AON+∠COM为定值380°；当68≤t≤72时，4∠AON+∠COM=20°，为定值20°．
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转一周．
(1)三角板从图1位置旋转到图2位置（OM落在射线OA上），ON旋转的角度为 ______；
(2)在三角板从图1旋转到图3位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM所在直线恰好平分∠BOC时，求出三角板绕点O运动的时间．
2．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系
3．（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
4．（2022·湖南永州·七年级期末）如图所示，是某一种旋转灯光聚合装置简易图，光线的多少可由控制器控制，已知AO⊥BC，垂足为O．现从点O同时发出两条旋转光线，一条光线为OD，从OB开始，绕点O顺时针方向旋转，旋转速度为每秒3°，另一条光线OE，从OC开始，绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒2°；设两条光线同时旋转的时间为t秒．
(1)旋转多少秒，两条光线第一次重合？
(2)当0(3)05．（2022·成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校七年级期末）如图所示，OA,OB,OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以点O为端点作射线OP,OQ分别与射线OF,OC重合，射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1°/s，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止），两条射线同时开始旋转，设旋转时间为t秒．（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）
(1)当射线OP平分∠AOC时，求射线OP旋转的时间．
(2)当射线OQ的转速为4°/s,t=21s时，求∠POQ的值．
(3)若射线OQ的转速为3°/s，
①当射线OQ和射线OP重合时，求∠COQ的值．
②当∠POQ=70°时，求射线OP旋转的时间．
6．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．
(1)如图1，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数；
(2)点F在射线OB上，若射线OF绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．当∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠DOE的两边在射线OC的两侧（图3）时，∠FOE和∠EOC的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
7．（2022·全国·七年级专题练习）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
(1)一个角的平分线________这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
(2)如图，∠MPN=60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为________度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45′的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t(s)．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
8．（2022·浙江台州·七年级阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AOD．
(1)如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
(2)如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
(3)如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
9．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
10．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点O逆时针旋转t s．
(1)当t=10时，求∠COD的度数；
(2)若0≤t≤15．
①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；
②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD的值．
12．（2022·浙江·七年级专题练习）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当t=5时，∠BPD=__________°；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2022·江苏·七年级专题练习）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分线OM．
(1)求∠AOC与∠MOD的度数；
(2)作射线OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；
(3)如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON=20°时，求旋转的时间．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=13∠AOC，∠BON=13∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
(1)如图2，当∠COD绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，则∠MON= °；
(2)如图3，当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转80°（即∠BOC=80°)时，求∠MON的度数；
(3)当∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（即∠BOC=n°，015．（2022·江苏·七年级单元测试）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
16．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
17．（2022·江苏·七年级专题练习）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
18．（2022·湖南师大附中博才实验中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠BOD=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为每秒12°，运动时间为t秒（0(1)当t=2时，∠AOM的度数为________度，∠NOM的度数为________度．
(2)t为何值时，∠AOM=∠AON．
(3)当射线OM在∠BOC的内部时，探究13∠DOM−4∠AON3∠MON是不是一个定值？若是，请求出这个定值．
19．（2022·四川省广安花桥中学校七年级期末）【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB=60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线OQ从OB出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为ts．
(1)如图①，角的平分线 这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若∠AOB=90°，射线OC为∠AOB的“2倍角线”，则∠AOC= ．
(3)如图②，当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
(4)如图②，若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于180°的角）．
20．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1，∠AOB=40°,∠COD=60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
(1)若∠MON=70°，则∠BOC= °；
(2)如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得∠BOP−∠MON′的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．