专题2.5 新定义问题（压轴题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题2.5 新定义问题


【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，12）＝　 　，f（5，3）＝　 　；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　 　．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，12）．

【思路点拨】
（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；
（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．

【解题过程】
解：（1）f（4，12）=12÷12÷12÷12=4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；
故答案为：4； 127．
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f（3，6）＝6÷6÷6=16，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（1a）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，12）
=127×9×（-18）×16
=-23．


1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．32 D．-32
【思路点拨】
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）2=-12-1=-32．
故选：D．
2．（2021秋•东港区期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣（﹣2※3）等于（　　）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
【思路点拨】
原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题中的新定义得：3※2＝6，﹣2※3＝﹣（2×3﹣2）＝﹣（6﹣2）＝﹣4，
则原式＝6﹣（﹣4）＝10．
故选：D．
3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣9 C．-12 D．0
【思路点拨】
根据a*b＝b3﹣1，可以求得所求式子的值．
【解题过程】
解：∵a*b＝b3﹣1，
∴12*[3*（﹣1）]
=12*[（﹣1）3﹣1]
=12*[（﹣1）﹣1]
=12*（﹣2）
＝（﹣2）3﹣1
＝（﹣8）﹣1
＝﹣9，
故选：B．
4．（2021秋•洪山区期末）定义：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法中正确的有（　　）个．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④log2128＝log216+log28；
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】
根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可．
【解题过程】
解：∵61＝6，
∴log66＝1，故①不符合题意；
∵34＝81，
∴log381＝4，故②符合题意；
∵44＝256，
∴a+14＝256，
∴a＝242，故③不符合题意；
∵27＝128，
∴log2128＝7，
∵24＝16，
∴log216＝4，
∵23＝8，
∴log28＝3，
∵7＝4+3，
∴log2128＝log216+log28，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有2个，
故选：C．
5．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1-23=2×1×23-1，2-35=2×2×35-1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　）
A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） D．（6，713）
【思路点拨】
根据“同心有理数对”的定义判断即可．
【解题过程】
解：∵﹣3-47=-257，2×（﹣3）×47-1=-217，-257≠-217，
∴数对（﹣3，47）不是“同心有理数对”；
故选项A不合题意；
∵4-49=329，2×4×49-1=239，329≠239，
∴（4，49）不是“同心有理数对”，
故选项B不合题意；
∵-5-611=-6111，2×(-5)×611-1=-6611，-6111≠-6611，
∴（﹣5，611）不是“同心有理数对”，
故选项C不合题意；
∵6-713=7113，2×6×713-1=7113，
∴（6，713）是“同心有理数对”，
故选项D符合题意；
故选：D．
6．（2020秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k；（其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：

若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（　　）
A．68 B．78 C．88 D．98
【思路点拨】
根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．
【解题过程】
解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，
即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，
即152÷23＝19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21＝49，
再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2021÷6＝336……5，
则第2021次“F运算”的结果是98．
故选：D．
7．（2021秋•大连月考）我们对任意四个有理数a，b，c，d定义一种新的运算：abcd=ad﹣bc．则-4-231的值为 　2　．
【思路点拨】
直接利用已知定义将原式变形计算得出答案．
【解题过程】
解：-4-231
＝﹣4×1﹣（﹣2）×3
＝﹣4+6
＝2．
故答案为：2．
8．（2021秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为　﹣3　．
【思路点拨】
先认真读题，再根据列出算式，最后根据有理数的加法法则进行计算即可．
【解题过程】
解：+
＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7）
＝2﹣3+4﹣5+6﹣7
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
9．（2020秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b=a+1b，则（13*12）*2＝　116　．
【思路点拨】
先计算出13*12=83，再计算（13*12）*2=83*2即可．
【解题过程】
解：13*12=13+112
=4312
=83，
∴（13*12）*2
=83*2
=83+12
=1132
=116，
故答案为：116．
10．（2021秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a、b，当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝　24　；(-23)△(-3)=　﹣6　．
【思路点拨】
根据当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，可以计算出所求式子的值．
【解题过程】
解：∵2＜6，
∴2△6
＝22×6
＝4×6
＝24，
∵-23＞-3，
∴(-23)△(-3)
＝（-23）×（﹣3）2
＝（-23）×9
＝﹣6，
故答案为：24，﹣6．
11．（2021秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x⨂y=x2-2y，x＞y1，x=y-2xy，x＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝　13　．
【思路点拨】
根据题目中的新定义，可以将所求式子转化，然后即可求出所求式子的值．
【解题过程】
解：由题意可得，
[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）
＝﹣2×（﹣3）×（﹣1）+42﹣2×（﹣2）﹣1
＝﹣6+16+4﹣1
＝13，
故答案为：13．
12．（2021•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：
（1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11；
（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4；
根据以上规则，计算[1Θ(-12)]+[(-2)Θ194]=　﹣1　．
【思路点拨】
根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值．
【解题过程】
解：由题意可得，
[1Θ(-12)]+[(-2)Θ194]
＝[4×1+（-12）]+[4×（﹣2）+194]
＝[4+（-12）]+[（﹣8）+194]
＝[3.5]+[-134]
＝3+（﹣4）
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2021秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=a+b+|a-b|2．
（1）计算：（﹣6）☆5＝　5　．
（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是 　9　．
【思路点拨】
（1）根据a☆b=a+b+|a-b|2，可以求得所求式子的值；
（2）根据题意，可以分两种情况讨论，分别求出对应的最大值即可．
【解题过程】
解：（1）∵a☆b=a+b+|a-b|2，
∴（﹣6）☆5
=(-6)+5+|(-6)-5|2
=(-6)+5+112
=102
＝5，
故答案为：5；
（2）由题意可得，
当a＞b时，a☆b=a+b+|a-b|2=a+b+a-b2=a≤9，
a≤b时，a☆b=a+b+|a-b|2=a+b+b-a2=b≤9，
由上可得，所有运算结果中的最大值是9，
故答案为：9．
14．（2021秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．
（1）计算3⨂（﹣5）的值．
（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．
【思路点拨】
（1）将a＝3，b＝﹣5代入公式计算即可；
（2）先由非负数的性质得出a、b的值，再代入计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|，
∴3⨂（﹣5）
＝|3﹣5|﹣|3+5|
＝2﹣8
＝﹣6．
（2）∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，
∴（a+2）2＝0，|b﹣1|＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a⨂b
＝|﹣2+1|﹣|﹣2﹣1|
＝1﹣3
＝﹣2．
5．（2021秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：
（1）（﹣3）⨂6的值；
（2）[⨂（-32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．
【思路点拨】
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解题过程】
解：（1）（﹣3）⨂6，
＝（﹣3）2+（﹣3）×6﹣5
＝9﹣18﹣5
＝﹣14；
（2）[2⨂（-32）]﹣[（﹣5）⨂9]，
＝[22+2×（-32）﹣5]﹣[（﹣5）2+（﹣5）×9﹣5]
＝（4﹣3﹣5）﹣（25﹣45﹣5）
＝﹣4+25
＝21．
16．（2021秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．
（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号 　取正　，异号 　取负　，并把绝对值 　相加　；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得 　绝对值　．
（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝　11　．
（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b+1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．
【思路点拨】
（1）根据已知算式得出法则：两数进行*（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
（2）依据所得法则计算可得；
（3）根据非负数的性质求出a，b，再代入后拆分抵消法计算即可求解．
【解题过程】
解：（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值．
故答案为：取正，取负，相加，绝对值；
（2）（﹣7）※（﹣4）＝11．
故答案为：11；
（3）∵（1﹣a）※（b﹣3）＝0，
∴1﹣a＝0，b﹣3＝0，
解得a＝1，b＝3，
1a×b+1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)
=11×3+13×5+15×7+17×9+19×11
=12×（1-13+13-15+15-17+17-19+19-111）
=12×（1-111）
=12×1011
=511．
17．（2021秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a，b满足等式a﹣b＝ab．那么称a，b是“关联有理数对”，记作（a，b）．如：因为3-34=124-34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．
（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是　①③　（只填序号）；
（2）若（m，n）是“关联有理数对”，则（﹣m，﹣n）　不是　“关联有理数对”（填“是”或“不是”）；
（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．
【思路点拨】
（1）根据“关联有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“关联有理数对”的定义即可解决问题；
（3）根据“关联有理数对”的定义，先设a＝5，代入等式可得b的值．
【解题过程】
解：（1）①因为1-12=12，1×12=12，
所以数对（1，12）是“关联有理数对”；
②因为﹣1﹣0＝﹣1，﹣1×0＝0，
所以数对（﹣1，0）不是“关联有理数对”；
③因为52-57=3514-1014=2514，52×57=2514，
所以数对（52，57）是“关联有理数对”；
故答案为：①③；
（2）（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”；
理由：因为（m，n）是“关联有理数对”
所以m﹣n＝mn，
因为﹣m﹣（﹣n）＝n﹣m，﹣m•（﹣n）＝mn＝m﹣n，
所以（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”；
故答案为：是，不是；
（3）设a＝5，（a，b）是“关联有理数对”，
所以a﹣b＝ab，即5﹣b＝5b，
解得b=56，
设b＝5，（a，b）是“关联有理数对”，
所以a﹣b＝ab，即a﹣5＝5a，
解得a=-54，
所以另一个有理数是56或-54．
18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．
理解运用：
（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　﹣3　，d（1）＝　0　；
（2）“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（mn）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：d(a3)d(a)=　3　；（a为正数）
（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；
（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．
【思路点拨】
（1）根据新定义及法则进行运算即可；
（2）根据新定义运算法则运算即可；
（3）根据新定义运算法则运算即可；
（4）根据新定义运算法则分别运算即可．
【解题过程】
解：（1）∵10b＝10﹣3，
∴b＝﹣3，
∴d（10﹣3）＝﹣3，
∵10b＝1＝100，
∴b＝0，
∴d（1）＝d（100）＝0，
（2）d(a3)d(a)
=d(a×a×a)d(a)
=d(a)+d(a)+d(a)d(a)
=3d(a)d(a)
＝3；
（3）∵d（2）＝0.310，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝2×0.3010
＝0.6020，
d（5）
＝d（102）
＝d（10）﹣d（2）
＝1﹣0.3010
＝0.6990；
（4）∵d（2）＝2m+n，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝2（2m+n）
＝4m+2n，
d（8）
＝d（2×2×2）
＝d（2）+d（2）+d（2）
＝3d（2）
＝3（2m+n）
＝6m+3n
∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，
∴4m+2n=3m+2n+p6m+3n=6m+2n+p
∴m＝n＝p，
故答案为：（1）﹣3，0；
（2）3；
（3）0.6020，0.6990；
（4）证明见解析．
19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，a-c2，b-c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1-32=-1，-2-33=-53，所以1，﹣2，3的“分差”为-53．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为　-53　；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是　23　；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【思路点拨】
（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．
【解题过程】
解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，a-c2=-2-12=-32，b-c3=-4-13=-53，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为-53
故答案为：-53
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，a-c2=-2-(-4)2=1，b-c3=1-(-4)3=53，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，a-c2=-4-12=-52，b-c3=-2-13=-1
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为-52
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，a-c2=-4-(-2)2=-1，b-c3=1-(-2)3=1
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，a-c2=1-(-2)2=32，b-c3=-4-(-2)3=-23
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为-23
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，a-c2=1-(-4)2=52，b-c3=-2-(-4)3=23
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为23
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为23
故答案为：23
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，a-c2=6-(-1)2=72，b-c3=x-(-1)3=x+13
若6﹣x＝2，得x＝4，x+13=53＜2，不符合
若x+13=2，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，a-c2=6-x2，b-c3=-1-x3
若6-x2=2，得x＝2，-1-x3=-1-23=-1＜2，不符合
若-1-x3=2，得x＝﹣7，6-x2=6-(-7)2=132＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，a-c2=x+12，b-c3=73
若x﹣6＝2，得x＝8，x+12=92＞2，符合
若x+12=2，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
　
　第一列
　第二列
　第一排
　1
　2
　第二排
4　
　3
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 　 　．
（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．
【思路点拨】
（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（2）利用分类讨论的方法，分0＜a＜6和a＞8两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（3）利用分类讨论的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可．
【解题过程】
解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组：

∴以上分组方式的“M值”为：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4；
（2）①当0＜a＜6时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：

∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6．
∴a＝3；
②当a＜8时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：

∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6．
∴a＝11；
综上，a＝3或11．
故答案为：3或11；
（3）∵c+d＝2，且c＜d，
∴c＝2﹣d，c＜1，d＞1．
①当c＜﹣5时，则d＞7，
将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：

∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|2﹣d﹣d|+|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．
解得：d=72（不合题意，舍去）．
②当﹣5＜c＜﹣2时，则4＜d＜7，
将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：

∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|﹣5﹣d|+|2﹣d﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．
∴d=72（不合题意，舍去）．
③当﹣2＜c＜1时，则1＜d＜4，
将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：

∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣d|+|2﹣d﹣2|＝18．
∴d=72（符合题意）．
④当1＜d＜2时，

∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|+|2﹣d﹣d|＝18．
∴d=72（不合题意，舍去）．
综上分析可得：d=72．