江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题

这是一份江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）．
A．1B．0C．D．
3．二项式的展开式中的常数项为（ ）．
A．B．C．6D．
4．已知向量,满足，且,，则与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
5．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为（ ）．
A．B．
C．D．
6．如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（ ）．
A．B．C．D．
7．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合要求）
29．关于双曲线：与双曲线：，下列说法正确的是（ ）．
A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等
10．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到该函数图象
11．若随机变量，，其中，下列等式成立有（ ）．
A．B．
C．D．
12．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．当时，
三、填空题（只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）
13．已知点在抛物线：（）的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为______．
14．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是______．
15．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是______．
16．若实数，满足，则的最大值为______．
四、解答题（评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在中，角，，的对边分别为，，，且______．
（1）求角；
（2）若，求周长的最大值．
【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设数列的前项和为，点，均在函数的图象上．
（1）数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
（1）根据表中统计的数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？
（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为，求的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：
参考公式：，其中．
20．如图，直三棱柱的侧棱长为4，，且，点，分别是棱，上的动点，且．
（1）求证：无论点在何处，总有；
（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的余弦值．
21．如图，已知直线:（）关于直线对称的直线为，直线，与椭圆：分别交于点，和，，记直线的斜率为．
（1）求的值；
（2）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
22．已知函数，，其中是自然对数的底数．
（1）若函数的极大值为，求实数的值；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
江苏省泰州中学2021届高三第一次月度检测 参考答案（数学）
一、单选题
1．A2．B3．D4．D5．D
6．A7．B8．B
二、多选题
9．CD10．ACD11．AC
12．AD 【解析】解：
A．正确；因为令，在上是增函数，
∴当时，，∴即．
B．错误；因为令，∴，
∴时，，单调递增，时，，单调递减．
∴与无法比较大小．
C．错误；因为令，，
∴时，，在单调递减，
时，，在单调递增，
∴当时，，
∴，∴，∴．
当时，∴，
∴，∴．
D．正确；因为时，单调递增，又∵A正确，
∴
．
故选AD．
三、填空题
13．14．15．
16． 【解析】因为，，
，设，，
故原问题可转化为“已知，求的最大值”．
又因为，
所以的最大值为，当且仅当时取等号．
故答案为：．
四、解答题
17．【解析】（1）解：（1）选①∵，，且，
∴．化简得，，
由余弦定理得，又因为，∴．
选②根据正弦定理，由得，
又因为，所以，
又因为，所以，又因为，所以．
选③由，得，
即，所以，
又因为，所以，因此．
（2）由余弦定理，得．
又∵，∴，当且仅当时等号成立，
∴，解得，，当且仅当时，等号成立．
∴．∴的周长的最大值为12．
18．【解析】解：（1）依题意得，即．当时，，
当时，，∴．
（2）∵，
∴，
又，∴，解得或，即实数的取值范围为．
19．【解析】（1）
所以．
所以有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．
（2）的取值为0，1，2，3，4．
，，，
，．
所以的分布列为
所以．
20．【解析】解：根据题意，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，．
（1）证明：设（），则．得，，
故，即总有．
（2）易知，
当且仅当时，取等号．
此时，，则，．
设平面的法向量为，则即
令，则，所以．
同理可得平面的一个法向量．
所以，
所以二面角的余弦值为．
21．【解析】（1）设直线上任意一点关于直线对称的点为，直线与直线的交点为，∴：，：，，，
由，得，①
由，得，②
由①②得 ∴．
（2）由得．设，，
∴，．
同理可得,，
，
直线：，即，
即．
∴当变化时，直线过定点．
alnx a（l-Inx）
22．【解析】（1）因为，则，因为，所以，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，的极大值，解得；
（2）由题意可知，对任意恒成立，
整理得对任意恒成立，设，
由（1）可知，在上单调递增，且当时，，
当时，，若，则，
若，因为，且在上单调递增，所以，
综上可知，对任意恒成立，即，
设，，则，所以单调递增，
所以，即的取值范围为．
等级
水平一
水平二
水平三
水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
实践损伤能力较弱
实践损伤能力较强
合计
男生/名
女生/名
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
实践损伤能力较弱
实践损伤能力较强
合计
男生/名
12
18
30
女生/名
14
6
20
合计
26
24
50
0
1
2
3
4