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_广西南宁市邕宁区民族中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份_广西南宁市邕宁区民族中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，文件包含湖南师大附中数学附中3次pdf、湖南师大附中数学答案附中3次pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
3．（3分）画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，则BC是（ ）
A．4B．4C．4D．16
6．（3分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（3分）若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．55°B．40°C．55°或40°D．20°或40°
8．（3分）如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2（ ）
A．AASB．SSSC．ASAD．SAS
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝2ABC．∠BAD＝∠CADD．AD⊥BC
10．（3分）如图，是由三个边长相等的正方形拼成的一个长方形，那么图中两个三角形的面积S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不确定
11．（3分）如图，在△ABC中，OB，过点O的直线MN∥BC，交AB，N．若MN＝6cm，则BM+CN＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，下列说法：①AE平分∠DAB，②点E到AD的距离等于CE，④AD＝AB+CD．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）五边形的内角和为 ．
14．（2分）如图，AC＝DB，AO＝DO，则A，B两点间的距离为 m．
15．（2分）如图所示，图中的x等于 ．
16．（2分）平面直角坐标系中，点A（3，﹣7）关于x轴对称点B的坐标是 ．
17．（2分）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
18．（2分）如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，则点D到AB的距离是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（4，4）
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PB最小．
21．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）求∠BDC的度数．
23．（10分）如图，B、F、C、E在同一直线上，AB＝DE，且AB∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是点E、F
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线MN交BC
于D，连接AD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若BD＝2，求BC的长．
26．（10分）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，且∠BAC＝∠DAE，则有 ≌ ．
[深入研究]如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，CD，求证：BE＝CD．
[拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，交于点P，请判断BD和CE的关系
2023-2024学年广西南宁市邕宁区民族中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】解：A、2+4＝2；
B、4+6＝10＞6；
C、6+7＝13＜14；
D、3+3＝5＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
3．（3分）画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、CD不是△ABC的边BC上的高；
B、AD不是△ABC的边BC上的高；
C、BD不是△ABC的边BC上的高；
D、AD是△ABC的边BC上的高；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，则BC是（ ）
A．4B．4C．4D．16
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝AB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵AB＝8，
∴BC＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
6．（3分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝5，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7．（3分）若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．55°B．40°C．55°或40°D．20°或40°
【分析】根据三角形的内角和计算即可．
【解答】解：70°是底角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8．（3分）如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2（ ）
A．AASB．SSSC．ASAD．SAS
【分析】由于∠B＝∠C，∠1＝∠2，再加上公共边AD，则可根据“AAS”判断△ABD≌ACD．
【解答】解：在△ABD≌ACD中，
，
∴△ABD≌ACD（AAS）．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝2ABC．∠BAD＝∠CADD．AD⊥BC
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（故A正确），
∠BAD＝∠CAD（故C正确），
AD⊥BC（故D正确），
无法得到AD＝2AB，（故B不正确）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
10．（3分）如图，是由三个边长相等的正方形拼成的一个长方形，那么图中两个三角形的面积S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不确定
【分析】如图，设小正方形的边长为a．利用三角形面积公式求解．
【解答】解：如图，设小正方形的边长为a．
由题意，BC＝CD＝DE＝AE＝a，
∴S1＝•BC•AE＝a5，S2＝•DE•AE＝a2，
∴S1＝S2．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（3分）如图，在△ABC中，OB，过点O的直线MN∥BC，交AB，N．若MN＝6cm，则BM+CN＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后即可求得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴BM+CN＝MO+ON＝MN＝6（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
12．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，下列说法：①AE平分∠DAB，②点E到AD的距离等于CE，④AD＝AB+CD．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．4个
【分析】根据平行线的性质和据全等三角形全等的判定判断即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD；
如图，
作EF⊥AD垂足为点F，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，点E到AD的距离等于CE
∴∠FDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△DEF≌△DCE；
∴CE＝EF，DC＝DF，
又∵∠B＝∠C＝∠DFE＝90°，AE＝AE，
∴△AFE≌△ABE；
∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，
∴AE平分∠DAB，①正确
AD＝AF+DF＝AB+CD④正确；
∵AB≠CD，AE≠DE；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，关键是根据平行线的性质和据全等三角形全等的判定判断．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）五边形的内角和为 540° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
【解答】解：（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
14．（2分）如图，AC＝DB，AO＝DO，则A，B两点间的距离为 200 m．
【分析】根据题意和题目中的条件可以证得△AOB≌△DOC，从而可以得到AB＝DC，然后根据CD＝200m，即可求得AB的长度，本题得以解决．
【解答】解：∵AC＝DB，AO＝DO，
∴BO＝CO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝DC，
∵CD＝200m，
∴AB＝200m，
即A，B两点间的距离是200m，
故答案为：200．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（2分）如图所示，图中的x等于 110° ．
【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝110°，
即x＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
16．（2分）平面直角坐标系中，点A（3，﹣7）关于x轴对称点B的坐标是 （3，7） ．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点A（3，﹣7）关于x轴对称点B的坐标是（8，
故答案为：（3，7）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17．（2分）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 17 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于5+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+8＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
18．（2分）如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE＝CD．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE＝CD＝3，
∴点D到AB的距离为3，
故答案为：8．
【点评】此题考查了角平分线的性质，此题比较简单，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【分析】先算乘方，再算括号里面的和乘除法，最后算加减．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣4
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关键
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（4，4）
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PB最小．
【分析】（1）由已知△ABC的顶点坐标，根据对称性可求得△A1B1C1的顶点坐标，即可得到△A1B1C1；
（2）利用轴对称的性质，即可求得PA+PB的最小值时点P的位置．
【解答】解：（1）∵△ABC的三个顶点分别为：A（1，2），5），4），
∴关于y轴对称的点为：A1（﹣3，2），B1（﹣6，1），C1（﹣8，4），
依次连接顶点A1，B6，C1即可得到△A1B7C1．
（2）∵点B（3，2）关于x轴的对称点B'（3，
连接AB'，AB'与x轴的交点即为点P．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
21．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据作角平分线的作法作出角平分线即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，根据角平分线定义得到∠CBD＝∠ABD＝ABC＝25°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）∵∠BAC＝70°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝70°+25°＝95°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，B、F、C、E在同一直线上，AB＝DE，且AB∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
【分析】（1）先求出BC＝EF，再根据“边角边”证明△ABC与△DEF全等；
（2）由全等三角形的性质可得出∠ACB＝∠DFE，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC＝EF，得到三角形全等是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是点E、F
【分析】根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，再根据全等三角形的性质可得DE＝DF，然后根据角平分线的判定即可证明结论成立．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是△ABC的角平分线，
即AD平分∠BAC．
【点评】本题主要考查角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线MN交BC
于D，连接AD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若BD＝2，求BC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出∠DAB＝∠B＝∠C＝30°，再求出∠DAC＝90°；
（2）再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵线段AB的垂直平分线MN交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°；
（2）∵∠DAC＝90°，∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝ABD＝4，
∴BC＝BD+CD＝3．
【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
26．（10分）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，且∠BAC＝∠DAE，则有 △ABD ≌ △ACE ．
[深入研究]如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，CD，求证：BE＝CD．
[拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，交于点P，请判断BD和CE的关系
【分析】[初步把握]易证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS）即可；
[深入研究]易证∠DAC＝∠BAE，再证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；
[拓展延伸]易证∠CAE＝∠BAD，再证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由三角形的外角性质证出∠BPC＝∠BAC＝90°，则BD⊥CE即可．
【解答】[初步把握]解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：△ABD，△ACE；
[深入研究]证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
[拓展延伸]解：BD＝CE，BD⊥CE
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BPC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
3．（3分）画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，则BC是（ ）
A．4B．4C．4D．16
6．（3分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（3分）若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．55°B．40°C．55°或40°D．20°或40°
8．（3分）如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2（ ）
A．AASB．SSSC．ASAD．SAS
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝2ABC．∠BAD＝∠CADD．AD⊥BC
10．（3分）如图，是由三个边长相等的正方形拼成的一个长方形，那么图中两个三角形的面积S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不确定
11．（3分）如图，在△ABC中，OB，过点O的直线MN∥BC，交AB，N．若MN＝6cm，则BM+CN＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，下列说法：①AE平分∠DAB，②点E到AD的距离等于CE，④AD＝AB+CD．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）五边形的内角和为 ．
14．（2分）如图，AC＝DB，AO＝DO，则A，B两点间的距离为 m．
15．（2分）如图所示，图中的x等于 ．
16．（2分）平面直角坐标系中，点A（3，﹣7）关于x轴对称点B的坐标是 ．
17．（2分）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
18．（2分）如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，则点D到AB的距离是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（4，4）
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PB最小．
21．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）求∠BDC的度数．
23．（10分）如图，B、F、C、E在同一直线上，AB＝DE，且AB∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是点E、F
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线MN交BC
于D，连接AD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若BD＝2，求BC的长．
26．（10分）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，且∠BAC＝∠DAE，则有 ≌ ．
[深入研究]如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，CD，求证：BE＝CD．
[拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，交于点P，请判断BD和CE的关系
2023-2024学年广西南宁市邕宁区民族中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】解：A、2+4＝2；
B、4+6＝10＞6；
C、6+7＝13＜14；
D、3+3＝5＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
3．（3分）画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、CD不是△ABC的边BC上的高；
B、AD不是△ABC的边BC上的高；
C、BD不是△ABC的边BC上的高；
D、AD是△ABC的边BC上的高；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，则BC是（ ）
A．4B．4C．4D．16
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝AB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵AB＝8，
∴BC＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
6．（3分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，则EC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC＝AB＝5，
∴EC＝AC﹣AE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7．（3分）若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．55°B．40°C．55°或40°D．20°或40°
【分析】根据三角形的内角和计算即可．
【解答】解：70°是底角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8．（3分）如图，用∠B＝∠C，∠1＝∠2（ ）
A．AASB．SSSC．ASAD．SAS
【分析】由于∠B＝∠C，∠1＝∠2，再加上公共边AD，则可根据“AAS”判断△ABD≌ACD．
【解答】解：在△ABD≌ACD中，
，
∴△ABD≌ACD（AAS）．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝2ABC．∠BAD＝∠CADD．AD⊥BC
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（故A正确），
∠BAD＝∠CAD（故C正确），
AD⊥BC（故D正确），
无法得到AD＝2AB，（故B不正确）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
10．（3分）如图，是由三个边长相等的正方形拼成的一个长方形，那么图中两个三角形的面积S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不确定
【分析】如图，设小正方形的边长为a．利用三角形面积公式求解．
【解答】解：如图，设小正方形的边长为a．
由题意，BC＝CD＝DE＝AE＝a，
∴S1＝•BC•AE＝a5，S2＝•DE•AE＝a2，
∴S1＝S2．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．（3分）如图，在△ABC中，OB，过点O的直线MN∥BC，交AB，N．若MN＝6cm，则BM+CN＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后即可求得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴BM+CN＝MO+ON＝MN＝6（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
12．（3分）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，下列说法：①AE平分∠DAB，②点E到AD的距离等于CE，④AD＝AB+CD．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．4个
【分析】根据平行线的性质和据全等三角形全等的判定判断即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD；
如图，
作EF⊥AD垂足为点F，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，点E到AD的距离等于CE
∴∠FDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△DEF≌△DCE；
∴CE＝EF，DC＝DF，
又∵∠B＝∠C＝∠DFE＝90°，AE＝AE，
∴△AFE≌△ABE；
∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，
∴AE平分∠DAB，①正确
AD＝AF+DF＝AB+CD④正确；
∵AB≠CD，AE≠DE；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，关键是根据平行线的性质和据全等三角形全等的判定判断．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）五边形的内角和为 540° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
【解答】解：（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题．
14．（2分）如图，AC＝DB，AO＝DO，则A，B两点间的距离为 200 m．
【分析】根据题意和题目中的条件可以证得△AOB≌△DOC，从而可以得到AB＝DC，然后根据CD＝200m，即可求得AB的长度，本题得以解决．
【解答】解：∵AC＝DB，AO＝DO，
∴BO＝CO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝DC，
∵CD＝200m，
∴AB＝200m，
即A，B两点间的距离是200m，
故答案为：200．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（2分）如图所示，图中的x等于 110° ．
【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝110°，
即x＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
16．（2分）平面直角坐标系中，点A（3，﹣7）关于x轴对称点B的坐标是 （3，7） ．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由点A（3，﹣7）关于x轴对称点B的坐标是（8，
故答案为：（3，7）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17．（2分）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 17 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于5+3＜7，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为7+7+8＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
18．（2分）如图所示，BD为∠ABC的角平分线，∠C＝90°，则点D到AB的距离是 3 ．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，由在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，即可得DE＝CD．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DE＝CD＝3，
∴点D到AB的距离为3，
故答案为：8．
【点评】此题考查了角平分线的性质，此题比较简单，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【分析】先算乘方，再算括号里面的和乘除法，最后算加减．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣4
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关键
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（3，1），C（4，4）
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PB最小．
【分析】（1）由已知△ABC的顶点坐标，根据对称性可求得△A1B1C1的顶点坐标，即可得到△A1B1C1；
（2）利用轴对称的性质，即可求得PA+PB的最小值时点P的位置．
【解答】解：（1）∵△ABC的三个顶点分别为：A（1，2），5），4），
∴关于y轴对称的点为：A1（﹣3，2），B1（﹣6，1），C1（﹣8，4），
依次连接顶点A1，B6，C1即可得到△A1B7C1．
（2）∵点B（3，2）关于x轴的对称点B'（3，
连接AB'，AB'与x轴的交点即为点P．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
21．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，
（1）尺规作图：求作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据作角平分线的作法作出角平分线即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，根据角平分线定义得到∠CBD＝∠ABD＝ABC＝25°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；
（2）∵∠BAC＝70°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝ABC＝25°，
∴∠BDC＝∠BAC+∠ABD＝70°+25°＝95°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，B、F、C、E在同一直线上，AB＝DE，且AB∥DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
【分析】（1）先求出BC＝EF，再根据“边角边”证明△ABC与△DEF全等；
（2）由全等三角形的性质可得出∠ACB＝∠DFE，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC＝EF，得到三角形全等是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是点E、F
【分析】根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，再根据全等三角形的性质可得DE＝DF，然后根据角平分线的判定即可证明结论成立．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是△ABC的角平分线，
即AD平分∠BAC．
【点评】本题主要考查角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线MN交BC
于D，连接AD．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若BD＝2，求BC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出∠DAB＝∠B＝∠C＝30°，再求出∠DAC＝90°；
（2）再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵线段AB的垂直平分线MN交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°；
（2）∵∠DAC＝90°，∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝ABD＝4，
∴BC＝BD+CD＝3．
【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
26．（10分）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，且∠BAC＝∠DAE，则有 △ABD ≌ △ACE ．
[深入研究]如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，CD，求证：BE＝CD．
[拓展延伸]如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，交于点P，请判断BD和CE的关系
【分析】[初步把握]易证∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS）即可；
[深入研究]易证∠DAC＝∠BAE，再证△ABE≌△ADC（SAS），即可得出结论；
[拓展延伸]易证∠CAE＝∠BAD，再证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由三角形的外角性质证出∠BPC＝∠BAC＝90°，则BD⊥CE即可．
【解答】[初步把握]解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
故答案为：△ABD，△ACE；
[深入研究]证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
[拓展延伸]解：BD＝CE，BD⊥CE
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BPC＝∠BAC＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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