2023-2024学年人教版（2012）九年级下册第二十八章锐角三角形单元测试卷(含答案)
展开2023-2024学年 人教版（2012）九年级下册 第二十八章 锐角三角形 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，那么的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
5．如下图，的半径为，以A为圆心，为半径的弧交于B，C两点，则弦的长度为（ ）
A． B． C．8 D．
6．如图，在中，，平分，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，内接于，，，则的半径为（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．如图，已知梯形中，，，点P从点B出发，沿、边到D停止运动，设点P 运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如右图，则梯形的面积是（ ）
A．20 B． C． D．
二、多选题
9．在中，，是外一动点，满足，设，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．设四边形的面积为，则
C．若，则的最大值为
D．若，则的长度为
10．如图，在中，，，在边取一点D，使，连接，过点C作的垂线l，交于点M，交 于点N，连接，过点B作，交直线l于点E．给出以下四个结论，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
11．将一对直角三角板如图放置，点在同一直线上，，点B在上，，若，则的长度是 ．
12．在中，，点D、E分别在上，且，若沿翻折，点C恰好落在边上，则的长为 ．
13．在中，，，，那么 ．
14．如图，在中，，在边上取一点，使，连接，点为线段上一点，点为中点，若，，则 .
四、计算题
15．先化简，再求代数式的值，其中，
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，求证：；
(3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．
2．A
【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可．
【详解】解：如图，
由正方形的性质可得，，，
∴，
∵，，
∴，
由题意知，，，，，
∴，，
∴，整理得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．B
【分析】分子分母同时除以化简求值即可得到答案；
【详解】解：分子分母同时除以得，
，
∴，解得：，
故选：B；
【点睛】本题考查三角函数运算问题，解题的关键是熟练掌握：．
4．C
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
5．A
【分析】如图：连接，根据题意可知，继而即可推出，再根据特殊角的三角函数值解直角三角形以及垂径定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵的半径为，以A为圆心，为半径的弧交于，两点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，推出并掌握解直角三角形是解答本题的关键．
6．B
【分析】作于E，根据等腰直角三角形的性质证明，设,表示出的长，根据角平分线的性质证明，得到答案．
【详解】解：作于E，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
则，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．C
【分析】连接并延长交于点D，连接，根据是的直径得到，进而求出，根据勾股定理求出，即可得到的半径．
【详解】解：连接并延长交于点D，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，根据角的正切值求线段，正确连出辅助线解决问题是解题的关键．
8．D
【分析】过点D作交于E，利用矩形的判定可得四边形为矩形，在中，利用解直角三角形可得，则利用即可求解．
【详解】解：过点D作交于E，如图所示：
由右图可知梯形中，，
，，
四边形为矩形，
,
在中，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象；认真观察图形，由右图可知梯形中，是正确解答本题的关键．
9．ABCD
【分析】根据，可判定点四点共圆，根据圆周角定理可判定选项；根据几何图形面积的计算方法即可判断选项；当时直径时可判定选项；如图所示，过点作延长线于点，过点作于点，过点作于点，根据即可求解的长，判定选项．
【详解】解：、，
∵，
∴点四点共圆，
∴，，
∵，
∴，则，故原选项正确，符合题意；
、设四边形的面积为，则
∵，
当时，即，，取得最大值，
∴，故原选项正确，符合题意
、若，则的最大值为，
当时，，
∵，
当为直径时，的值最大，此时，
∴的最大值为，故原选项正确，符合题意；
、若，则的长度为，
如图所示，过点作延长线于点，过点作于点，过点作于点，
当时，，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故原选项正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握等腰三角形的性质，三角形面积的计算方法，圆的基础知识，最值的计算方法等知识的灵活运用是解题的关键．
10．ABD
【分析】先证明，然后利用证明即可判断A；证明，得到， 推出，即可判断B；由，得到，设，则，，由相似三角形的性质得到，进而推出，则，即可得到，即可判断C；如图所示，过点D作于Q，由勾股定理得，，解直角三角形求出，则，即可判断D．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，故A符合题意；
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故B符合题意；
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C不符合题意；
如图所示，过点D作于Q，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，故D符合题意；
故选ABD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定， 解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
11．/
【分析】过点B作于点M，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
【详解】解：过点B作于点M，
在中，，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意利用所学的三角函数的关系进行解答．
12．
【分析】如图点为点在上的对应点，过点作交点为N，过点作交点为M，设，根据三角函数得出，再由相似三角形的判定和性质代入求解即可．
【详解】解：如图点为点在上的对应点，过点作交点为N，过点作交点为M，设，
在中，，
∵
∴，，
∴
∴，
∴，
∴，
在中
∵，，
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数，三角形相似，勾股定理等知识．解题的关键在于利用相似比找出线段的数量关系．
13．
【分析】设，则，求出，然后解出的值即可解题．
【详解】解：∵，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
14．
【分析】过E作交于点G， 根据，得出，再根据，设，表示出，再根据即可解答；
【详解】过E作交于点G，
，
，
，
，
，
又点为中点，
设，
，
，
，
；
故答案为：；
【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，解答该题的关键是做辅助线，得出相似比．
15．，
【分析】先将分式化简，再利用特殊角的三角函数值计算a,b之后代入计算即可．
【详解】解：
，
当，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
16．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出B和C的坐标，运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）求出顶点D的坐标，然后求出，即可证明结论；
（3）求出直线的解析式，然后计算出点的坐标，然后分两种情况：和计算解题．
【详解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标为，
令，则，解得，
∴点B的坐标为，
把，代入得
，解得：，
∴；
（2）解：，
∴点D的坐标为，
过点D作垂直于点F，连接，
则点F的坐标为，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴，
令，则，
∴点E的坐标为，
∴，
，，
，
∵，
∴当时，，
即，解得，
∴，
∴点P的坐标为，
当时，，
即，解得，
∴，
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图像和解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键．
