人教版高中物理新教材同步讲义选修第二册 第1章　专题强化5　带电粒子在叠加场中的运动（含解析）

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带电粒子在叠加场中的运动[学习目标]　1.掌握带电粒子在叠加场中常见的两种运动情景.2.会分析其受力情况和运动情况，能正确运用物理规律解决问题．叠加场：电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加．1．是否考虑粒子重力(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力．(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理．(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力．2．处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路一、带电粒子在叠加场中的直线运动例1　(多选)(2021·绵阳市月考)地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场(未画出)和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带电油滴沿着与竖直方向成α角的直线MN运动，如图所示，由此可以判断(　　)A．油滴一定做匀速运动B．油滴可以做变速运动C．如果油滴带正电，它是从N点运动到M点D．如果油滴带正电，它是从M点运动到N点答案　AD解析　油滴做直线运动，受重力、静电力和洛伦兹力作用，因为重力和静电力均为恒力，根据油滴做直线运动条件可知，油滴所受洛伦兹力亦为恒力．根据F＝qvB可知，油滴必定做匀速直线运动，A正确，B错误；根据做匀速直线运动的条件可知油滴的受力情况如图所示，如果油滴带正电，由左手定则可知，油滴从M点运动到N点，C错误，D正确．针对训练　如图所示，竖直平面内存在水平方向的匀强电场，电场强度为E，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，纸面内放置一光滑的绝缘细杆，与水平方向成θ＝45°角．质量为m、带电荷量为q的金属小环套在细杆上，以初速度v0沿着细杆向下运动，小环离开细杆后，恰好做直线运动，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　)A．小环可能带负电B．电场方向可能水平向右C．小环的初速度v0＝eq \f(\r(2)mg,qB)D．小环离开细杆时的速度v＝eq \f(E,B)答案　C解析　小环离开细杆后，恰好做直线运动，该运动一定是匀速直线运动，如果是变速运动，洛伦兹力大小会变化，而洛伦兹力又垂直速度方向，就一定要改变速度的方向，小环做曲线运动；如果小环带负电荷，静电力方向不管是向左还是向右，小环均不可能平衡，所以小环只能带正电，根据平衡条件，静电力向左，故电场方向水平向左，故选项A、B错误；小环离开杆后做匀速直线运动，根据平衡条件，在平行杆的方向则有mgsin 45°＝qEcos 45°，垂直杆的方向则有mgcos 45°＋qEsin 45°＝qvB，联立解得v＝eq \f(\r(2)mg,qB)，qE＝mg，故v＝eq \f(\r(2)E,B)；小环在杆上运动过程，重力和静电力的合力垂直杆不做功，而支持力和洛伦兹力也不做功，故小环在杆上的运动是匀速运动，小环的初速度为v0＝v＝eq \f(\r(2)mg,qB)，故选项C正确，D错误．二、带电粒子在叠加场中的匀速圆周运动例2　如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入由互相垂直的匀强电场E和匀强磁场B构成的叠加场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则(　　)A．小球可能带正电B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2UE,g))C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝eq \f(πE,Bg)D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加答案　B解析　小球在叠加场中做匀速圆周运动，则小球受到的静电力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A项错误；因为小球做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律和动能定理可得：qvB＝eq \f(mv2,r)，Uq＝eq \f(1,2)mv2，故小球做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2UE,g))，B项正确；由T＝eq \f(2πr,v)，得T＝eq \f(2πE,Bg)，与电压U无关，C、D项错误．例3　如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场区域，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向的夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g，求：(1)电场强度E的大小和方向；(2)小球从A点抛出时初速度v0的大小；(3)A点到x轴的高度h.答案　(1)eq \f(mg,q)　竖直向上　(2)eq \f(qBL,2mtan θ) 　(3)eq \f(q2B2L2,8m2g)解析　(1)小球在电场、磁场区域中恰能做匀速圆周运动，其所受静电力与重力平衡，有qE＝mg①则E＝eq \f(mg,q)②重力的方向竖直向下，静电力的方向应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上．(2)小球在叠加场中做匀速圆周运动，如图所示，O′为圆心，MN为弦长，∠MO′P＝θ，设轨道半径为r，由几何关系知eq \f(L,2r)＝sin θ③小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速度为v，有qvB＝eq \f(mv2,r)④由速度的合成与分解知eq \f(v0,v)＝cos θ⑤由③④⑤式得v0＝eq \f(qBL,2mtan θ).⑥(3)设小球在M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为vy＝v0tan θ⑦由匀变速直线运动规律有vy2＝2gh⑧由⑥⑦⑧式得h＝eq \f(q2B2L2,8m2g).三、带电粒子在叠加场中的一般曲线运动例4　(多选)(2021·扬州中学高二期中)空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向(垂直纸面向里)的匀强磁场，如图所示，已知一离子在静电力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为运动的最低点．不计重力，则(　　)A．该离子带负电B．A、B两点位于同一高度C．到达C点时离子速度最大D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点答案　BC解析　离子开始仅受到静电力作用由静止开始向下运动，可知离子受到的静电力方向向下，与电场方向同向则该离子带正电，A错误；洛伦兹力不做功，从A到B，动能变化为零，根据动能定理知，静电力做功为零，A、B两点等电势，因为该电场是匀强电场，所以A、B两点位于同一高度，B正确；根据动能定理知，离子到达C点时静电力做功最多，则速度最大，C正确；离子在B点的状态与A点的状态(速度为零，电势能相等)相同，如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域，离子将在B点的右侧重复前面的曲线运动，不可能沿原曲线返回A点，D错误．1.(多选)如图所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L做直线运动，L与水平方向成β角，且α>β，则下列说法中正确的是(　　)A．液滴一定做匀速直线运动B．液滴一定带正电C．电场线方向一定斜向上D．液滴有可能做匀变速直线运动答案　ABC解析　液滴受重力、静电力、洛伦兹力的共同作用而做匀速直线运动，合力为零，可判断出洛伦兹力与静电力的方向，判断出液滴只有带正电才可能所受合力为零而做匀速直线运动，此时电场线方向必斜向上，故A、B、C正确，D错误．2.如图所示，空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，有一带电液滴在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，已知电场强度为E，磁感应强度为B，重力加速度为g，则液滴环绕速度大小及方向分别为(　　)A.eq \f(E,B)，顺时针 B.eq \f(E,B)，逆时针C.eq \f(BgR,E)，顺时针 D.eq \f(BgR,E)，逆时针答案　C解析　液滴在叠加场中做匀速圆周运动，知重力和静电力平衡，则液滴受到向上的静电力，可知液滴带负电，根据左手定则可知液滴做顺时针的匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,R)又因为重力和静电力平衡，则有qE＝mg解得v＝eq \f(BgR,E)故A、B、D错误，C正确．3.(多选)如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场(图中未画出)．一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线所示．关于带电小球的运动，下列说法中正确的是(　　)A．OAB轨迹为半圆B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向C．小球在整个运动过程中机械能守恒D．小球在最低点A时受到的洛伦兹力与重力大小相等答案　BC解析　因为重力改变速度的大小，而洛伦兹力仅改变速度的方向，又洛伦兹力大小随速度大小的变化而变化，故小球运动的轨迹不可能是圆，故A错误；整个过程中由于洛伦兹力不做功，即只有重力做功，故小球机械能守恒，故C正确；因为只有重力做功，根据动能定理，小球在最低点时重力做功最多，mgh＝eq \f(1,2)mv2－0，得v＝eq \r(2gh)，最低点处h最大故速度最大，小球做曲线运动的速度方向为该点的切线方向，该点的切线方向沿水平方向，故B正确；若小球在最低点A处时所受洛伦兹力与重力大小相等，根据平衡条件可知小球将水平向右做匀速直线运动，不可能沿轨迹AB运动，故D错误．4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂直于纸面向里．三个带正电的微粒a、b、c电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc.已知在该区域内，a在纸面内做匀速圆周运动，b在纸面内向右做匀速直线运动，c在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是(　　)A．ma＞mb＞mc B．mb＞ma＞mcC．mc＞ma＞mb D．mc＞mb＞ma答案　B解析　设三个带正电微粒的电荷量均为q，a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与静电力平衡，则mag＝qE①b在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则mbg＝qE＋qvB②c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则mcg＋qvB＝qE③比较①②③式得：mb>ma>mc，选项B正确．5.如图所示，在水平地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m、带电荷量为－q(q>0)的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动．(重力加速度大小为g)(1)求此区域内电场强度的大小和方向；(2)若某时刻微粒运动到距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示，则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到距地面最高点？最高点距地面多高？答案　(1)eq \f(mg,q)　方向竖直向下(2)eq \f(3πm,4qB)　H＋eq \f(2＋\r(2)mv,2qB)解析　(1)要满足带负电微粒做匀速圆周运动，则：qE＝mg，得E＝eq \f(mg,q)，方向竖直向下．(2)微粒的部分运动轨迹如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，α＝135°，则t＝eq \f(α,360°)T＝eq \f(135°,360°)T＝eq \f(3T,8)由qvB＝eq \f(mv2,R)得R＝eq \f(mv,qB)则T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)所以：t＝eq \f(3πm,4qB)，最高点距地面的高度为：H1＝R＋Rsin 45°＋H＝H＋eq \f(2＋\r(2)mv,2qB).6.如图所示的虚线区域内，充满垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，一带电微粒A以一定初速度由左边界的O点射入虚线区域，恰好沿水平直线从区域右边界O′点穿出，射出时速度大小为vA，若仅撤去磁场，其他条件不变，另一个相同的微粒B仍以相同的速度由O点射入并从区域右边界穿出，射出时速度的大小为vB，则微粒B(　　)A．穿出位置一定在O′点上方，vBvAC．穿出位置一定在O′点下方，vBvA答案　D解析　设带电微粒从O点射入时的速度为v0，若带电微粒A带负电，其静电力、重力、洛伦兹力均向下，与运动方向垂直，不可能做直线运动，故微粒A一定带正电，且满足mg＝Eq＋Bqv0，做匀速直线运动，故vA＝v0.若仅撤去磁场，由于mg>Eq，带电微粒B向下偏转，穿出位置一定在O′点下方，合力对其做正功，vB>vA，故D正确．7．(多选)(2021·安康市高二期末)如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里．一带电小球恰能以速度v0做直线运动，其轨迹如图虚线所示，虚线与水平方向成37°角，小球最终穿过一轴线沿小球运动方向且固定摆放的光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径)，已知sin 37°＝0.6，下列说法正确的是(　　)A．小球可能带负电B．磁感应强度B和电场强度E的大小关系为eq \f(E,B)＝eq \f(3,5)v0C．若小球从管道的甲端运动到乙端，则小球机械能增加D．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球将在管道中做匀速直线运动答案　BD解析　小球做匀速直线运动，当带正电时，静电力水平向左，重力竖直向下．从甲端运动到乙端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向右上三力恰好平衡，能保证小球沿图中虚线运动．当小球带负电时，静电力水平向右，重力竖直向下．从甲端运动到乙端时或者从乙端运动到甲端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向左下或者右上，均不能使小球沿直线运动，故A错误；由A项分析可知，静电力和洛伦兹力关系为sin 37°＝eq \f(qE,qv0B)，整理得eq \f(E,B)＝eq \f(3,5)v0，故B正确；小球从管道的甲端运动到乙端，静电力做负功，小球的机械能减少，故C错误；未撤磁场时，小球受三力平衡，其中静电力和重力沿虚线方向的合力为零，当撤去磁场时，在管道中所受重力和静电力均没有变化，故沿虚线方向(管道方向)合力仍为零．而管道的支持力垂直于管道，即小球所受的合力仍为零，做匀速直线运动，故D正确．8.如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)．一带正电的小球从O点由静止释放后，运动轨迹如图中曲线OPQ所示，其中P为运动轨迹中的最高点，Q为与O同一水平高度的点．下列关于该带电小球运动的描述，正确的是(　　)A．小球在运动过程中受到的洛伦兹力先增大后减小B．小球在运动过程中电势能先增加后减少C．小球在运动过程中机械能守恒D．小球到Q点后将沿着曲线QPO回到O点答案　A解析　小球由静止开始向上运动，可知静电力大于重力，在运动的过程中，洛伦兹力不做功，静电力和重力的合力先做正功后做负功，根据动能定理知，小球的速度先增大后减小，则小球受到的洛伦兹力先增大后减小，故A正确；小球在运动的过程中，静电力先做正功后做负功，则电势能先减少后增加，故B错误；小球在运动的过程中，除重力做功以外，静电力也做功，机械能不守恒，故C错误；小球到Q点后，将重复之前的运动，不会沿着曲线QPO回到O点，故D错误．9.如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的液滴，以速度v沿与水平方向成45°角斜向上进入正交的足够大匀强电场和匀强磁场叠加区域，电场强度方向水平向右，磁场方向垂直纸面向里，液滴在区域内做直线运动，重力加速度为g，求：(1)电场强度E和磁感应强度B各多大；(2)当液滴运动到某一点A时，电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，不考虑因电场变化而对磁场的影响，此时液滴加速度的大小；(3)在满足(2)的前提下，液滴从A点到达与A点同一水平线上的C点(图中未画出)所用的时间．答案　(1)eq \f(mg,q)　eq \f(\r(2)mg,qv)　(2)eq \r(2)g　(3)eq \f(3\r(2)πv,4g)解析　(1)液滴带正电，受力分析如图所示：根据平衡条件有：qE＝mgtan θ＝mgqvB＝eq \f(mg,cos θ)＝eq \r(2)mg故E＝eq \f(mg,q)，B＝eq \f(\r(2)mg,qv)(2)电场方向突然变为竖直向上，大小不改变，故静电力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，液滴做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：a＝eq \f(F洛,m)＝eq \r(2)g(3)液滴做匀速圆周运动，由Bqv＝eq \f(mv2,R)及T＝eq \f(2πR,v)可得T＝eq \f(2πm,qB)又t＝eq \f(3,4)T可得t＝eq \f(3\r(2)πv,4g).10．如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点，Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v和重力加速度g为已知量．求：(1)微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)微粒做圆周运动的半径r；(3)电场变化的周期T.答案　(1)eq \f(mg,E0)　eq \f(2E0,v)　(2)eq \f(v2,2g)　(3)eq \f(d,2v)＋eq \f(πv,g)解析　(1)微粒从N1沿直线运动到Q点的过程中受力平衡，则mg＋qE0＝qvB到Q点后电场方向变为竖直向上，微粒做圆周运动，则mg＝qE0联立以上两式解得：q＝eq \f(mg,E0)，B＝eq \f(2E0,v)(2)微粒做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，解得：r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(v2,2g)(3)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则eq \f(d,2)＝vt1，2πr＝vt2解得：t1＝eq \f(d,2v)，t2＝eq \f(πv,g)电场变化的周期T＝t1＋t2＝eq \f(d,2v)＋eq \f(πv,g).