北师大版 （2019）第六章 立体几何初步 单元测试卷(含答案)

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北师大版 （2019）第六章  立体几何初步 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(   )A. B. C. D.2、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为(   )A. B. C. D.3、如图，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是(   )A.AB B.AD C.AC D.BC4、在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为(   )A.1 B. C.2 D.35、已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，，若球O的体积为，则AP的长度为(   )A. B. C.1 D.6、已知球O是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是(   )A. B. C. D.7、已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为(   )A. B. C. D.8、P，A，B，C在同一个球面上，是边长为6的等边三角形；三棱锥的体积最大值为，则三棱锥的外接球的体积为(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、已知l、m、n为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有(   )A.若，，，则B.若，，，若，则C.若，l、m分别与、所成的角相等，则D.若，，，则10、如图，四边形ABCD为正方形，平面，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则(   )A. B. C. D.三、填空题11、已知，，分别是平面，，的一个法向量，则，，三个平面中互相垂直的有___________对.12、在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为________.13、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，若，则对角线AC与平面DEF的位置关系是__________.14、已知P、A、B、C是球面上的四点，且，，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.四、解答题15、如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点.（1）设平面平面，证明：.（2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.16、如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知，，（1）求证：平面平面BCF.（2）设几何体，的体积分别为，，求的值.
参考答案1、答案：D解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则由题意可知，，因此有，即，解得，因为，所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选：D.2、答案：A解析：在三棱锥中，如图，，则，同理，而，，平面，因此平面，在等腰中，，，则，，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球O的表面积.故选：A.3、答案：C解析：是水平放置的的直观图，则在中，，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：C4、答案：A解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为是边长为2的等边三角形，，所以，，所以，又，所以，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，所以，故选A.5、答案：C解析：第一步：求AC在中，由余弦定理，得，故.第二步：求的外接圆半径设外接圆的半径为r，由正弦定理知，解得.第三步：利用球的体积公式求球O的半径由题可知球O的体积为，设球O的半径为R，则，解得.第四步：利用勾股定理求AP因为平面ABC，所以，即，得，故选C.6、答案：A解析：如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，由勾股定理得棱锥的高，设球O的半径为R，则，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，，当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A.7、答案：B解析：因为球的体积为，所以球的半径为1，又球与正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，高为2，则三棱柱外接球的半径为，即外接球的表面积为.8、答案：B解析：如图所示，设球心为O，H是底面的外心，连接，则平面，延长，当P点为延长线与球的交点时，三棱锥的体积最大.因为，所以，所以，设三棱锥的外接球半径为R，连接，，在直角三角形中，，所以，解得，所以三棱锥的外接球的体积为.故本题正确答案为B.9、答案：BD解析： 图一 图二对于A，如图1，若，，，则n可以与平行，故A错误；对于B，因为，，，且，，则，因为，，则，故，B对；对于C，如图2，若，l、m分别与、所成的角为时，l与m可以相交、平行或异面，故C错误；对于D，若，，则，又，则，D对.10、答案：CD解析：设，则，，，于是，.如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，OF，则，且有，.于是，即.因为平面，平面ABCD，所以，又，且，，平面BDEF，所以平面BDEF.因为平面BDEF，所以.又，，平面ACE，所以平面ACE，所以，所以，，，，所以选项A，B不正确，选项C，D正确，故选CD.11、答案：0解析：因为，，，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即，，中任意两个都不垂直.12、答案：解析：解法一：如图所示，设点，O分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，，则点，O分别为，的中点，连接，则即正四棱台的高，过点作，垂足为E，则.因为，，所以，，所以，又，所以，，所以，所以.解法二：如图，将正四棱台补形成正四棱锥，因为，，，所以，，，分别为PA，PB，PC，PD的中点，又，所以，即.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则平面ABCD，易知，所以，所以正四棱台的高为，所以.(或者，，所以)13、答案：平面DEF解析：因为，所以.又因为平面，平面DEF，所以平面DEF.14、答案：解析：设外接球的球心为O，要使三棱锥的体积取得最大值，则过点O作面ABC的垂线必过点P，因为，所以C点在以AB为直径的半圆上，  如图，过C作，交AB于点D，则所以设P在面ABC的射影为，，则，所以，所以，设，在中，，所以，解得所以故答案为：  
15、（1）答案：见解析解析：因为，平面PDC，平面PDC，所以平面PDC.又因为平面平面，且平面PAB，所以.（2）答案：存在点M，使得平面MBD，此时，理由见解析解析：存在点M，使得PA∥平面MBD，此时.证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO.因为，且，所以，又因为，，所以，因为平面，平面，所以平面.16、（1）答案：见解析解析：如图，矩形ABCD中，，平面平面平面平面ABEF，所以平面ABEF又平面ABEF，又AB为圆O的直径，则，BC，平面BCF，所以平面BCF，且平面ADF所以平面平面BCF.（2）答案：6解析：几何体是四棱锥，是三棱锥，过F点作，交AB于H平面平面ABEF，平面ABCD则，，所以.