陕西省千阳县中学2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题（二）

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
2、已知正三棱柱的棱长均为a，D是侧棱的中点，则平面ABC与平面所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.0
3、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( )
A.10B.3C.D.
4、已知向量，且，则x的值为( )
A.4B.2C.3D.1
5、如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，且，，则( )
A. B.
C.D.
6、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为( )
A.10B.3C.D.
7、已知，，，则点A到直线BC的距离为( )
A.B.1C.D.
8、已知向量，，且与互相垂直，则k的值是( )
A.1B.C.D.
9、已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0B.C.9D.
10、在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是，AD的中点，那么异面直线OE和所成角的余弦值等于( )
A.B.C.D.
11、如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B.C. D.
12、在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
13、在四面体OABC中，点M在OA上，且，N为BC的中点，若，则使G，M，N三点共线的x的值为( )
A.1B.2C.D.
14、如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为( )
A.B.C.D.
15、在三棱锥中，分别是的中点，底面，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
16、已知向量，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.不存在实数，使得D.若，则
17、如图，在正方体中，点E在棱上，且，F是棱上一动点，则下列结论正确的有( )
A.
B.存在一点F，使得
C.三棱锥的体积与F点的位置无关
D.直线与平面AEF所成角的正弦值的最小值为
18、如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，给出下列结论，其中正确的结论为( ).
A.直线AM与是相交直线B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与是异面直线D.直线MN与AC所成的角为
19、若空间向量a，b，c不共面，则( )
A.，，a共面B.，，2b共面
C.，a，共面D.，，c共面
20、已知向量，，，则下列等式中成立的是( )
A.B.
C.D.
21、如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )
A.直线与底面ABCD所成的角为
B.平面与底面ABCD夹角的余弦值为
C.直线与直线AE的距离为
D.直线与平面的距离为
22、已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是 B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为 D.点P到直线AB的距离为
三、填空题
23、已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则____________.
24、如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为___________.
25、设，，若，则___________.
26、如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.
27、已知空间向量，，则向量b在向量a上的投影向量是_________.
28、已知正方体的棱长为,过点作平面的垂线,垂足为,有以下四个命题:
①点是的垂心;
②垂直于平面;
③二面角的正切值为;
④点到平面的距离为.
其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)
四、双空题
29、已知直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,且,则_____________,____________.
30、如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点，平面PAC，则二面角的大小为_________，平面PAC与平面ABC所成角的大小为__________.
31、如图所示，在棱长为2的正方体中，O为AC与BD的交点，G为的中点，则在上的投影的数量为___________，在平面ABCD上的投影为__________.
五、解答题
32、在四棱锥中，底面，，，，.
（1）证明：.
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
33、如图，PO是三棱锥的高，，，E为PB的中点.
（1）证明：平面PAC.
（2）若，，，求二面角的正弦值.
34、如图，在三棱锥中，，，，O为AC的中点.
（1）证明：平面PBO；
（2）若M为棱BC的中点，求二面角的正弦值.
35、如图，在四棱锥中，，且.
（1）证明：平面平面PAD；
（2）若，，求二面角的余弦值.
36、如图,四棱锥的底面是正方形, 底面,点在棱上.
1.求证:平面平面;
2.当且为的中点时,求与平面所成的角的大小.
37、如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点C到平面的距离.
38、已知几何体ABCDGEF，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上.
（1）求证：.
（2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为?若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
39、如图，四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，.
（1）证明：平面平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值.
40、如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
41、在如图所示的几何体中,四边形是菱形, 是矩形,平面平面,是中点.
1.求证: 平面;
2.在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
42、如图，在棱柱中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，点N为AD的中点，且.
(1)设M是线段上一点，且.试问：是否存在点M，使得直线平面MNC？若存在，请证明平面MNC，并求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求二面角的余弦值.
43、如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.
(1)求证：平面平面AEG.
(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析：设，则，，，所以，，，
因为，所以，解得，
所以，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
2、答案：B
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则取，得.又平面ABC的一个法向量为，
所以，即平面ABC与平面所成角的余弦值为.
3、答案：D
解析：由，得点P到平面的距离.
4、答案：A
解析：因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，
所以x的值为4，
故选：A.
5、答案：A
解析：如图，连接MB，则
.
故选A.
6、答案：D
解析：由已知得，故点P到平面的距离为.故选D.
7、答案：A
解析：方法一：，，，所以点A到直线BC的距离为.
方法二：作，交BC于点Q，设，又，所以，所以，则.又，所以，得，因此，从而可知点A到直线BC的距离为.
8、答案：D
解析：，，，.
9、答案：D
解析：不能构成空间的一个基底，，，共面，则，其中，则，解得故选：D.
10、答案：B
解析：设，，，且，则，，所以，又，，所以，故选B.
11、答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
12、答案：A
解析：如图，设，则，，，，
，
，
.
故选A.
13、答案：A
解析：由题意，得，.若G，M，N三点共线，则存在实数使得
，得解得故选A.
14、答案：B
解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.
设平面的一个法向量为,则即
令,则.
点到平面的距离.
15、答案：D
解析：平面.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则.
设，则，
..
.
设平面的法向量为.
由得
取，则，
可得平面的一个法向量为，
.
设与平面所成的角为，则.
16、答案：AC
解析：由得，
解得，故A选项正确；由
得，解得，故B选项错误；
若存在实数，使得，则，
，，显然无解，
即不存在实数使得，故C选项正确；
若，则，解得，
于是，故D选项错误.
17、答案：ABC
解析：以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，点F在上，可设.由题知，，，，，，所以，所以，A项正确；
，，当时，，此时，B项正确；
，其中d为F点到平面的距离.当点F在上运动时，由于平面，所以d不随F点的运动而改变，C项正确；
，，设平面AEF的法向量为，则所以，故，当时，取得最小值，D项错误.
18、答案：CD
解析：在正方体中，M，N分别为棱，的中点.
在A中，直线AM与是异面直线，故A错误；
在B中，直线AM与BN是异面直线，故B错误；
在C中，直线BN与是异面直线，故C正确；
在D中，以D为原点，DA为x轴、DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2，
则，，，，，，
则，所以直线MN与AC所成的角为，故D正确.
19、答案：BCD
解析：因为，所以，，2b共面，故B正确.因为，所以，a，共面，故C正确.因为，所以，，c共面，故D正确.对于A，若，，a共面，则存在实数，，使得，所以a，b，c共面，与a，b，c不共面矛盾，所以，，a不共面，故A错误.
20、答案：BCD
解析：对于A，左边为向量，右边为实数，显然不相等，A错误；
对于B，左边，右边，左边=右边，B正确；
对于C，，左边，右边，左边=右边，C正确；
对于D，由C可得左边，，，左边=右边，D正确.
21、答案：BCD
解析：如图，以点D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，平面ABCD的法向量.
设直线与底面ABCD所成的角为，则，
所以直线与底面ABCD所成的角不为，故错误.
易知，.设平面的法向量为，则取，则，，所以.
设平面与底面ABCD的夹角为，则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确.
易知，所以直线与直线AE的距离，故C正确.
因为，平面，平面，所以平面.又，平面的一个法向量，所以直线与平面的距离，故D正确.选BCD.
22、答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.
23、答案：
解析：因为点P与A，B，C三点共面，所以 QUOTE ，解得.
24、答案：
解析：由于平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，故AF，AB，AD两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，所以，，，
设平面AGC的一个法向量为，则
令，得，
因此GB与平面AGC所成角的正弦值为.
25、答案：9
解析：由，得，
解得，，，.
26、答案：
解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.
27、答案：
解析：向量b在向量a上的投影是，所以向量b在向量a上的投影向量是，故答案为：.
28、答案：①②③
解析：,,两两垂直,故点为的垂心.
∵平面平面,故垂直于平面.
连接,与交于点,则为的平面角, ,
故①②③正确.而④中由向量法求得点到平面的距离不为.
29、答案：;6
解析：.
30、答案：；
解析：连接BD，交AC点于点O，连接SO.由题意得平面ABCD.以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设底面正方形的边长为a，则，，，，.显然平面ACB的一个法向量为.因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为.，所以，设二面角的平面角为，则观察图形知为钝角，所以，故所求二面角的大小为.平面PAC与平面ABC所成角的范围为，所以平面PAC与平面ABC所成角的大小为.
31、答案：；
解析：在上的投影的数量为，在平面ABCD上的投影为.
32、
（1）答案：证明见解析
解析：证明：，，，
四边形ABCD是等腰梯形.
如图，过点C作于点E，过点D作于点F，
则，.
又，.
又，.
又，，，.
平面，平面，.
又，
平面PAD.
平面，.
（2）答案：
解析：以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面PAB的法向量为，
则即
取，得，，则.
设直线PD与平面PAB所成的角为，
则.
与平面PAB所成的角的正弦值为.
33、
（1）答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接OA.
因为PO是三棱锥的高，
所以平面ABC，所以，，
所以.
又，，
所以，所以.
取AB的中点D，连接OD，DE，则有.
又，所以.
因为平面，平面PAC，
所以平面PAC.
因为D，E分别为AB，PB的中点，所以.
因为平面，平面PAC，所以平面PAC.
因为，平面，，所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）答案：二面角的正弦值为
解析：由（1）知.以D为原点，分别以DB，DO所在直线为x轴、y轴，以过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.
因为，，且，，所以.
又，所以，，
所以，，，，
所以，.
设平面AEB的法向量为，
则
即所以.
取，得，所以.
设，则，
所以.
设平面AEC的法向量为，
则即
所以.
取，得，所以.
所以.
所以二面角的正弦值为.
34、
（1）答案：证明见解析
解析：，O为AC的中点，.
，O为AC的中点，.
，，，平面PBO，平面PBO，
平面PBO.
（2）答案：
解析：，，，O为AC的中点，，
，，，.
又，，平面PAC，
平面PAC.
分别以OB，OC，OP为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，如图.
所以，，，，，
所以，.
记为平面AMP的法向量，
则，即，不妨令，则
而平面APC的法向量，
易知二面角的平面角为锐角记为，
则，.
35、
（1）答案：证明见解析
解析：由已知，
得，.
由于，故，
从而平面PAD.
又平面PAB，
所以平面平面PAD.
（2）答案：二面角的余弦值为
解析：如图，在平面PAD内作，垂足为F.
由（1）可知，平面PAD，故，可得平面ABCD.
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，，，.
所以，，，.
设是平面PCB的法向量，则，
即，可取.
设是平面PAB的法向量，则，
即，可取.
则.
所以二面角的余弦值为.
36、答案：1.如图,以为原点建立空间直角坐标系.
设,,
则,,,,.
∵,,,
∴,,∴,.
又∵,且平面,平面,
∴平面.
又∵平面,
∴平面平面.
2.当且为的中点时, ,.
设,则,
连接.
由1问知平面于.
∴为与平面所成的角.
∵,,
∴.
∴即与平面所成的角为.

解析：
37、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点，
平面ABCD，，
以D为原点，DA，DE，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，
设平面的法向量为，
则即
取，则.
，平面，
平面.
(2)由(1)得，
，
而平面的一个法向量，
点C到平面的距离.
38、
（1）答案：证明见解析
解析：四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，
，，.
以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，.
又点M在棱DG上，故可设，
，，
，.
（2）答案：当点M在DG上，且时，直线MB与平面BEF所成的角为
解析：假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为.
设平面BEF的一个法向量为，
由（1）知，，
令，得，
.
直线MB与平面BEF所成的角为，
，解得.
又，，存在点满足题意.
当点M在DG上，且时，直线MB与平面BEF所成的角为.
39、答案：（1）证明：由题意可得，，从而.
又是直角三角形，所以.
如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则，.
又是正三角形，所以.
所以为二面角的平面角.
在中，.
又，所以，
故.
所以平面平面ABC.
（2）由题设及（1）知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则，，，.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.
故，，.
设是平面DAE的法向量，则即
可取.
设m是平面AEC的法向量，则同理可取，
则.
所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为.
解析：
40、
（1）答案：见解析
解析：解法一：如图，设点P为AB的中点，连接PN，PM，
因为N为AC的中点，所以PN为的中位线，所以.
又平面，平面，所以平面.
因为M为的中点，所以.
又平面，平面，所以平面.
又，，平面MPN，所以平面平面MPN.
因为平面MPN，所以平面.
解法二：如图，取BC的中点D，连接，DN.
在三棱柱中，，.
因为M，N，D分别为，AC，BC的中点，
所以，，，，
则且，
所以四边形为平行四边形，因此.
又平面，平面，
所以平面.
（2）答案：
解析：因为侧面为正方形，所以，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，而平面，所以.
选条件①：由（1）解法二得，因为，所以，
又，所以平面，
在三棱柱中，BA，BC，两两垂直，
故以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
所以，，.
设平面BMN的法向量为，
由得，得，令，得.
设直线AB与平面BMN所成角为，
则，
所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.
选条件②：由（1）解法一知，，而，故.
又因为，所以.
在和中，，，，则，
因此，即，故.
在三棱柱中，BA，BC，两两垂直，
故以B为坐标原点，分别以BC，BA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面BMN的法向量为，
由，得，令，得.
设直线AB与平面BMN所成角为，
则，
所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.
41、答案：1.证明: 设与交于,连接.
由已知可得四边形是平行四边形,所以是的中点.
因为是的中点,所以.
又平面,平面,
所以平面.
2.由于四边形是菱形, 是中点,可得.
又四边形是矩形,面面,
∴面,如图建立空间直角坐标系,
则
设平面的法向量为,则,
∴,令∴,
又平面的法向量,
∴,解得,
∴在线段上是否存在点P,当时使二面角的大小为.
解析：
42、答案：(1)存在，.
(2)余弦值为.
解析：(1)取的中点P，连接CP交于点M，点M即为所求.
证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是的中点，所以，
又平面MNC，平面MNC，
所以直线平面MNC.
因为，所以.
所以.
(2)连接AC.
由(1)知.
又平面ABCD，所以平面ABCD.
因为，四边形ABCD是菱形，
所以为正三角形，所以.
以N为坐标原点，NC，ND，NP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
又，所以，
所以点，
则.
设平面的法向量，
则即
令，得.
设平面的法向量，
则即
令，得，
所以，
由图易得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
43、答案：(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且
解析：(1)因为，所以，
又，所以.
因为，，
所以四边形ABDE为等腰梯形，
又，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面AEG，
又平面GEBF，所以平面平面AEG.
(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.
以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，四边形GEBF是矩形，所以，
即，，.
假设线段FG上存在点M满足题意，
令，则，，.
设平面MAB的一个法向量为，
则令，则.
由题知平面AEG的一个法向量为.
设平面MAB与平面AEG所成角为，
则，，
所以，所以，即.
综上，线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且.