陕西省汉中中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份陕西省汉中中学2023-2024学年高二上学期期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若直线经过,两点,则直线AB的倾斜角为( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
2．已知圆,则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A.,5B.,5C.,D.,
3．关于抛物线,下列说法正确的是( )
A.开口向右B.焦点坐标为
C.准线为D.对称轴为x轴
4．已知向量,,则向量在向量方向上的投影数量为( )
A.B.C.D.
5．直线与双曲线有两个交点为A,B,则( )
A.2B.C.4D.
6．在四面体OABC中记,,,若点M、N分别为棱OA、BC的中点,则( )
A.B.
C.D.
7．已知圆与圆交于A,B两点,则直线与圆的位置关系是( )
A.相交B.相离C.相切D.不能确定
8．已知,分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一动点,关于直线的对称点为M,关于直线的对称点为N,当最大时,则的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( )
A.
B.若,则
C.点A关于平面对称的点的坐标为
D.
10．若方程所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是( )
A.若C为椭圆,则B.若C为双曲线,则或
C.曲线C可能是圆D.若C为双曲线,则焦距为定值
11．为了实现信息技术与数学课堂的深度融合,体现利用信息技术研究几何动态问题的优越性,唐老师让学生使用几何画板研究圆的动态弦长问题,以培养学生直观想象的核心素养课堂上唐老师先让A同学给出一个圆,再让B同学给出圆内的一个定点,最后要求同学们利用几何画板过点P作一条直线l与圆C交于M,N两点,并通过几何画板的度量功能得到M,N两点间的距离后提交答案,现选取4位同学提交的答案,则度量结果可能正确的是( )
A.4B.5C.6D.7
12．已知抛物线的焦点为F,过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于,两点,其中点M在第一象限,若,,则下列说法正确的是( )
A.焦点F到准线的距离为6B.
C.D.
三、填空题
13．若直线l的一个方向向量是,则直线l的斜率是_____________.
14．若抛物线上的一点到焦点的距离为,到x轴的距离为3,则___________ .
15．已知直线与双曲线无公共交点,则双曲线C离心率e的取值范围为_______________.
16．已知A,B两点之间的距离为2km,甲、乙两人沿着同一条线路跑步,这条线路上任意一点到A,B两点的距离之和为8km．当甲到A,B两点的距离相等时,甲、乙两人之间距离的最大值为__________km．
四、解答题
17．已知两条不同直线,．
（1）若,求实数a的值;
（2）若,求实数a的值;并求此时直线与之间的距离．
18．在①过点,②圆E恒被直线平分,③与y轴相切这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知圆E经过点,且______________
（1）求圆E的一般方程;
（2）设P是圆E上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程.
19．已知正三棱柱,底面边长,,点O、分别是边、的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求三棱柱的侧棱长;
（2）求与夹角的余弦值．
20．市为庆祝建党100周年,举办城市发展巡展活动,巡展的车队要经过一个隧道,隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成,尺寸如图（单位：m）.
（1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求该段抛物线所在抛物线的方程;
（2）若车队空车时能通过此隧道,现装载一集装箱,箱宽,车与集装箱总高,此车能否安全通过隧道？请说明理由.
21．双曲线的渐近线方程为,一个焦点到该渐近线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）是否存在直线l,经过点且与双曲线C于A,B两点,M为线段AB的中点,若存在,求l的方程：若不存在,说明理由．
22．已知椭圆过点,且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A,B,证明：的内心在一条定直线上．
参考答案
1．答案：B
解析：因为直线AB的斜率,
设直线AB的倾斜角为,则,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：,
所以该圆的圆心是,半径.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为抛物线方程为,则,即,
所以开口向左,焦点坐标为,准线为,对称轴为x轴,
即D正确,ABC错误.
故选：D.
4．答案：D
解析：依题意,向量在向量方向上的投影为,
故选：D.
5．答案：C
解析：由,得,,
.
故选：C．
6．答案：B
解析：由题意得：.
故选：B.
7．答案：C
解析：将圆,的方程相减可得直线的方程为,
又圆O的圆心为,半径,
则点O到直线的距离,
故直线与圆相切,
故选：C.
8．答案：D
解析：由椭圆的方程可得,,连接PM,PN,
则,所以当M,N,P三点共线时的值最大,
此时,,
所以,
在中,由余弦定理可得,
即,可得,
所以,
故选：D.
9．答案：AB
解析：,,
,,
A正确,D错误.
若,则,则,B正确,
点A关于平面对称的点的坐标为,故C错误,
故选：AB.
10．答案：BC
解析：若C为椭圆,则且,故且 ,所以选项A错误;
若C为双曲线,则,故或,所以选项B正确;
若C为圆,则,故,所以选项C正确;
若C为双曲线,则或,当时,双曲线化为标准形式为,此时,所以 不是定值,则焦距也不为定值,同理焦距也不为定值,故选项D错误.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：依题意,圆心,半径,
则当直线l过点,时,有最大值,
当直线时,有最小值,此时,故有最小值,
则,
故选：BC.
12．答案：BCD
解析：根据题意可得,故直线l的斜率,
设直线的方程为,联立抛物线方程
可得：,显然,
则,,,
,故,解得;
对A：焦点F到准线的距离为,故错误;
对B：,故正确;
对C：,故正确;
对D：因为,则即,
解得,则,故正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：因为直线l的一个方向向量是,所以直线l的斜率.
故答案为：.
14．答案：2
解析：抛物线上的一点到焦点的距离为,
该点到准线的距离为.
又该点到x轴的距离为3,
,解之可得或,
又,.
故答案为：2.
15．答案：
解析：双曲线的一条渐近线方程为,
因为直线与双曲线无公共点,
所以,即,
所以,
又,
所以离心率的取值范围为,
故答案为：.
16．答案：
解析：以所在直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
可知甲、乙两人的跑步线路是以A,B为焦点的椭圆,
则,,即,,可得,
故椭圆的方程为.
因为甲到A,B两点的距离相等,所以甲在上（下）顶点处,
根据对称性,不妨设甲所在点,乙所在位置为点,
则.
由得,
则,
因为对称轴为,且,
所以当时,取得最大值,且最大值为60,
故当甲到A,B两点的距离相等时,甲、乙两人之间距离的最大值为.
故答案为：.
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由,得,解得;
（2）当时,有,解得,
,,即,
两直线与的距离为．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为,
则,解得,
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分,所以恒过圆心,
所以圆心坐标为,
又圆E经过点,所以圆的半径r＝1,所以圆E的方程为,即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得,解得,
则圆E的方程为,即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点,所以,
因为点P是圆E上的动点,所以,即,
所以M的轨迹方程为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则、、、、、,
,,
,则,解得,
故正三棱柱的侧棱长为．
（2）由（1）可知,,,
则,
故与夹角的余弦值为．
20．答案：（1）;
（2）不能,理由见解析.
解析：（1）由题设,可设抛物线方程为,由图知：,,
所以,则,故抛物线所在抛物线的方程.
（2）由题设,令,要使装载集装箱的车能安全通过隧道,则,
由（1）并将点代入可得：,故.
所以此车不能安全通过隧道.
21．答案：（1）
（2）存在;.
解析：（1）双曲线的渐近线为,
因为双曲线的一条渐近线方程为,所以,
又焦点到直线距离,所以,
又,所以,,所以双曲线方程为
（2）假设存在,由题意知：直线的斜率存在,
设,,直线l的斜率为k,则,,
所以,,
两式相减得,即
即,所以,解得,
所以直线l的方程为,即,
经检验直线与双曲线C有两个交点,满足条件,
所以直线l的方程为.
22．答案：（1）
（2）证明见详解
解析：（1）依题意有,解得,
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设,,
联立,消整理得,
则,解得,
可得,,
所以,
所以,
所以,
又,
所以恒成立,则的平分线总垂直于x轴,
所以的内心在定直线上．