陕西省汉中中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份陕西省汉中中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共8小题，每小题5分，计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求直线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】因为直线AB的斜率，
设直线AB的倾斜角为，则，
所以.
故选：B.
2. 已知圆，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ，5B. ，5C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
写出圆的标准方程，求圆心和半径.
【详解】，
所以该圆的圆心是，半径.
故选：C
3. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向右B. 焦点坐标为C. 准线为D. 对称轴为x轴
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程结合抛物线的性质逐项分析判断.更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 【详解】因为抛物线方程为，则，即，
所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴，
即D正确，ABC错误.
故选：D.
4. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用求得向量在向量方向上的投影.
【详解】依题意，向量在向量方向上的投影为，
故选：D.
5. 直线与双曲线有两个交点为，，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离．
【详解】由，得，，
∴.
故选：C．
6. 在四面体OABC中记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算，即得.
【详解】由题意得：.
故选：B.
7. 已知圆：与圆：交于，两点，则直线与圆：的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离C. 相切D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】圆，的方程相减得直线的方程，利用点到直线的距离公式得到点到直线的距离再与其半径比较即可判断.
【详解】将圆，的方程相减可得直线的方程为，
又圆的圆心为,半径,
则点到直线的距离,
故直线与圆：相切,
故选：C.
8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可.
【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN，
则，所以当M，N，P三点共线时的值最大，
此时，，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以，
故选：D
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A. B. 若，则
C. 点A关于平面对称的点的坐标为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.
【详解】，
,，
A正确,D错误.
若，则则,B正确，
点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，
故选：AB.
10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若为椭圆，则B. 若为双曲线，则或
C. 曲线可能是圆D. 若为双曲线，则焦距为定值
【答案】BC
【解析】
【分析】二次曲线要表示椭圆需要满足且，要表示双曲线需要满足，要表示圆需要满足.
【详解】若为椭圆,则且，故且 ，所以选项A错误；
若为双曲线,则，故或，所以选项B正确；
若为圆,则，故，所以选项C正确；
若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以 不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选:BC.
11. 为了实现信息技术与数学课堂的深度融合，体现利用信息技术研究几何动态问题的优越性，唐老师让学生使用几何画板研究圆的动态弦长问题，以培养学生直观想象的核心素养课堂上唐老师先让同学给出一个圆：，再让同学给出圆内的一个定点，最后要求同学们利用几何画板过点作一条直线与圆交于，两点，并通过几何画板的度量功能得到，两点间的距离后提交答案，现选取4位同学提交的答案，则度量结果可能正确的是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】BC
【解析】
【分析】由圆的性质得的取值范围后求解，
【详解】依题意，圆心，半径，
则当直线过点，时，有最大值，
当直线时，有最小值，此时，故有最小值，
则，
故选：BC
12. 已知抛物线：焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，若，，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点到准线的距离为6B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据题意可得，故直线的斜率，
设直线的方程为，联立抛物线方程
可得：，显然，
则，，，
，故，解得；
对A：焦点到准线的距离为，故错误；
对B：，故正确；
对C：，故正确；
对D：因为，则即，
解得，则，故正确.
故选：BCD.
三、填空题（共4小题，每小题5分，计20分．）
13. 若直线的一个方向向量是，则直线的斜率是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据方向向量与直线斜率的关系，直接可以求得斜率.
【详解】因为直线的一个方向向量是，所以直线的斜率.
故答案为：
14. 若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则___________ .
【答案】2
【解析】
【分析】由抛物线的定义可得，解之即可求得.
【详解】抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，
该点到准线的距离为.
又该点到轴的距离为3，
，解之可得或，
又.
故答案为：.
15. 已知直线l：x＋y＝0与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】双曲线的一条渐近线方程为，由直线与双曲线无公共点，得，进而可得答案．
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与双曲线无公共点，
所以，即，
所以，
又，
所以离心率的取值范围为，
故答案为：
16. 已知A，B两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A，B两点的距离之和为8km．当甲到A，B两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为__________km．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆定义可判断跑步路线是以A，为焦点的椭圆，进而可得椭圆方程，进而根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解最值.
【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
可知甲、乙两人的跑步线路是以A，为焦点的椭圆，
则，即，可得，
故椭圆的方程为.
因为甲到A，两点的距离相等，所以甲在上（下）顶点处，
根据对称性，不妨设甲所在点，乙所在位置为点，
则.
由得，
则，
因为对称轴为，且，
所以当时，取得最大值，且最大值为60，
故当甲到A，两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演示步骤）
17. 已知两条不同直线：，：．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由，列出方程能求出；
（2）由，求出，再由两平行线间的距离求解即可.
【小问1详解】
由，得，解得；
【小问2详解】
当时，有，解得，
∴：，：，即，
∴两直线与的距离为．
18. 在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
（1）求圆E的一般方程；
（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，
（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.
【小问1详解】
方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
【小问2详解】
设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
19. 已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边、的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求三棱柱的侧棱长；
（2）求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，可知即可求三棱柱的侧棱长.
（2）用求解即可.
【小问1详解】
设，则、、、、、，
∴，，
∵，则，解得，
故正三棱柱的侧棱长为．
【小问2详解】
由（1）可知，，，
则，
故与夹角的余弦值为．
20. 某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：）.
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；
（2）若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高，此车能否安全通过隧道？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）设抛物线方程为且过，，代入求参数即可得抛物线的方程；
（2）由题图，设抛物线上的点，只需与的大小关系即可判断是否能安全通过隧道.
【小问1详解】
由题设，可设抛物线方程为，由图知：，，
所以，则，故抛物线所在抛物线的方程.
【小问2详解】
由题设，令，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则，
由（1）并将点代入可得：，故.
所以此车不能安全通过隧道.
21. 双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存；.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
【小问1详解】
双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
【小问2详解】
假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
22. 已知椭圆C：（，）过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程；
（2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论．
【小问1详解】
依题意有，解得，
所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
设，，
联立，消整理得，
则，解得，
可得，，
所以，
所以，
所以，
又，
所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴，
所以的内心在定直线上．